लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना। लघुगणक के गुण और उनके समाधान के उदाहरण
कार्य, जिनका समाधान है लघुगणकीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना, परीक्षा में काफी आम हैं।
कम से कम समय में उनका सफलतापूर्वक सामना करने के लिए, बुनियादी लघुगणकीय पहचानों के अलावा, आपको कुछ और सूत्रों को जानने और सही ढंग से उपयोग करने की आवश्यकता है।
ये हैं: एक लॉग ए बी = बी, जहां ए, बी> 0, ए ≠ 1 (यह लॉगरिदम की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है)।
लॉग ए बी = लॉग सी बी / लॉग सी ए या लॉग ए बी = 1 / लॉग बी ए
जहां ए, बी, सी> 0; ए, सी 1.
लॉग ए एम बी एन = (एम / एन) लॉग | ए | |बी |
जहां ए, बी> 0, और 1, एम, एन Є आर, एन ≠ 0।
एक लॉग सी बी = बी लॉग सी ए
जहां ए, बी, सी> 0 और ए, बी, सी ≠ 1
चौथी समानता की वैधता दिखाने के लिए, आइए आधार a के साथ बाएँ और दाएँ पक्षों का लघुगणक करें। हमें लॉग ए (बी के साथ लॉग) = लॉग ए (बी लॉग ए के साथ) या बी के साथ लॉग = लॉग ए बी के साथ लॉग मिलता है; बी के साथ लॉग = एक के साथ लॉग इन करें (बी के साथ लॉग इन करें / ए के साथ लॉग इन करें); बी के साथ लॉग = बी के साथ लॉग इन करें।
हमने लघुगणक की समानता को सिद्ध कर दिया है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के अंतर्गत व्यंजक भी समान हैं। फॉर्मूला 4 साबित हो गया है।
उदाहरण 1।
81 परिकलित करें लघुगणक 27 5 लघुगणक 5 4।
समाधान।
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
लघुगणक 27 5 = 1/3 लघुगणक 3 5, लघुगणक 5 4 = लघुगणक 3 4 / लघुगणक 3 5. इसलिए,
लॉग 27 5 लॉग 5 4 = 1/3 लॉग 3 5 (लॉग 3 4 / लॉग 3 5) = 1/3 लॉग 3 4।
फिर 81 लघुगणक 27 5 लघुगणक 5 4 = (3 4) 1/3 लघुगणक 3 4 = (3 लघुगणक 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 4.
आप निम्न कार्य को अपने आप पूरा कर सकते हैं।
गणना करें (8 लॉग 2 3 + 3 1 / लॉग 2 3) - लॉग 0.2 5.
संकेत के रूप में 0.2 = 1/5 = 5 -1; लॉग 0.2 5 = -1।
उत्तर : 5.
उदाहरण 2।
गणना (√11) लॉग √3 9-लॉग 121 81.
समाधान।
व्यंजक बदलें: 9 = 3 2, 3 = 3 1/2, लघुगणक 3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, लघुगणक 121 81 = 2 लघुगणक 11 3 (सूत्र 3 का उपयोग किया गया था)।
फिर (√11) लॉग √3 9- लॉग 121 81 = (11 1/2) 4-2 लॉग 11 3 = (11) 2- लॉग 11 3 = 11 2 / (11) लॉग 11 3 = 11 2 / ( 11 लघुगणक 11 3) = 121/3.
उदाहरण 3.
लॉग 2 24 / लॉग 96 2-लॉग 2 192 / लॉग 12 2 की गणना करें।
समाधान।
हम उदाहरण में लघुगणक को आधार 2 से लघुगणक से प्रतिस्थापित करते हैं।
लॉग 96 2 = 1 / लॉग 2 96 = 1 / लॉग 2 (2 5 3) = 1 / (लॉग 2 2 5 + लॉग 2 3) = 1 / (5 + लॉग 2 3);
लॉग 2 192 = लॉग 2 (2 6 3) = (लॉग 2 2 6 + लॉग 2 3) = (6 + लॉग 2 3);
लॉग 2 24 = लॉग 2 (2 3 3) = (लॉग 2 2 3 + लॉग 2 3) = (3 + लॉग 2 3);
लॉग 12 2 = 1 / लॉग 2 12 = 1 / लॉग 2 (2 2 3) = 1 / (लॉग 2 2 2 + लॉग 2 3) = 1 / (2 + लॉग 2 3)।
फिर 2 24 / लॉग 96 2 - लॉग 2 192 / लॉग 12 2 = (3 + लॉग 2 3) / (1 / (5 + लॉग 2 3)) - ((6 + लॉग 2 3) / (1 / ( 2 + लॉग 2 3)) =
= (3 + लॉग 2 3) (5 + लॉग 2 3) - (6 + लॉग 2 3) (2 + लॉग 2 3)।
कोष्ठकों का विस्तार करने और समान पदों को कम करने के बाद, हमें संख्या 3 प्राप्त होती है। (व्यंजक को सरल करते समय, आप लॉग 2 3 को n से निरूपित कर सकते हैं और व्यंजक को सरल बना सकते हैं।
(3 + एन) (5 + एन) - (6 + एन) (2 + एन))।
उत्तर: 3.
आप निम्न कार्य को स्वतंत्र रूप से पूरा कर सकते हैं:
मूल्यांकन करें (लॉग 3 4 + लॉग 4 3 + 2) लॉग 3 16 लॉग 2 144 3.
यहां लॉगरिदम को आधार 3 में बदलना और बड़ी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन करना आवश्यक है।
उत्तर: 1/2
उदाहरण 4.
तीन संख्याएँ दी गई हैं A = 1 / (लॉग 3 0.5), B = 1 / (लॉग 0.5 3), C = लॉग 0.5 12 - लॉग 0.5 3. उन्हें आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
समाधान।
संख्याओं को परिवर्तित करना ए = 1 / (लॉग 3 0.5) = लॉग 0.5 3; सी = लॉग 0.5 12 - लॉग 0.5 3 = लॉग 0.5 12/3 = लॉग 0.5 4 = -2।
आइए उनकी तुलना करें
लॉग 0.5 3> लॉग 0.5 4 = -2 और लॉग 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
या 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
उत्तर। इसलिए, संख्याओं का क्रम है: C; ए; वी
उदाहरण 5.
अंतराल में कितने पूर्णांक हैं (लॉग 3 1/16; लॉग 2 6 48)।
समाधान।
संख्या 3 की किन घातों के बीच संख्या 1/16 निर्धारित करें। हमें 1/27 . मिलता है< 1 / 16 < 1 / 9 .
चूँकि फलन y = लघुगणक 3 x बढ़ रहा है, तो लघुगणक 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
लॉग 6 48 = लॉग 6 (36 4/3) = लॉग 6 36 + लॉग 6 (4/3) = 2 + लॉग 6 (4/3)। लॉग 6 (4/3) और 1/5 की तुलना करें। ऐसा करने के लिए, संख्याओं 4/3 और 6 1/5 की तुलना करें। आइए दोनों नंबरों को 5वीं शक्ति तक बढ़ाएं। हमें मिलता है (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243< 6. Следовательно,
लॉग 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
इसलिए, अंतराल (लॉग 3 1/16; लॉग 6 48) में अंतराल [-2; 4] और इसमें पूर्णांक -2 है; -एक; 0; एक; 2; 3; 4.
उत्तर: 7 पूर्णांक।
उदाहरण 6.
3 एलजीएलजी 2 / एलजी 3 - एलजी 20 की गणना करें।
समाधान।
3 एलजी एलजी 2 / एलजी 3 = (3 1 / एलजी 3) एलजी एलजी 2 = (3 एलओ जी 3 10) एलजी एलजी 2 = 10 एलजी एलजी 2 = एलजी 2।
फिर 3 loglg2 / log3 - log 20 = log 2 - log 20 = log 0.1 = -1।
उत्तर 1।
उदाहरण 7.
यह ज्ञात है कि लघुगणक 2 (√3 + 1) + लघुगणक 2 (√6 - 2) = A. लघुगणक 2 (√3 -1) + लघुगणक 2 (√6 + 2) खोजें।
समाधान।
संख्याएं (√3 + 1) और (√3 - 1); (√6 - 2) और (√6 + 2) संयुग्म हैं।
आइए भावों के निम्नलिखित परिवर्तन को अंजाम दें
3 - 1 = (√3 - 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2 / (√3 + 1);
6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2 / (√6 - 2)।
फिर लॉग 2 (√3 - 1) + लॉग 2 (√6 + 2) = लॉग 2 (2 / (√3 + 1)) + लॉग 2 (2 / (√6 - 2)) =
लॉग 2 2 - लॉग 2 (√3 + 1) + लॉग 2 2 - लॉग 2 (√6 - 2) = 1 - लॉग 2 (√3 + 1) + 1 - लॉग 2 (√6 - 2) =
2 - लॉग 2 (√3 + 1) - लॉग 2 (√6 - 2) = 2 - ए।
उत्तर: 2 - ए।
उदाहरण 8.
सरलीकृत करें और व्यंजक का अनुमानित मान ज्ञात करें (लॉग 3 2 · लॉग 4 3 · लॉग 5 4 · लॉग 6 5 ·… · लॉग 10 9.
समाधान।
सभी लघुगणक एक सामान्य आधार 10 तक कम हो जाते हैं।
(लॉग 3 2 लॉग 4 3 लॉग 5 4 लॉग 6 5… लॉग 10 9 = (लॉग 2 / लॉग 3) · (लॉग 3 / लॉग 4) · (लॉग 4 / लॉग 5) · (लॉग 5 / एलजी 6) ... · (एलजी 8 / एलजी 9) · एलजी 9 = एलजी 2 ≈ 0.3010। (एलजी 2 का अनुमानित मूल्य एक टेबल, स्लाइड नियम या कैलकुलेटर का उपयोग करके पाया जा सकता है)।
उत्तर: 0.3010।
उदाहरण 9.
लॉग ए 2 बी 3 (ए 11 बी -3) की गणना करें यदि लॉग √ ए बी 3 = 1। (इस उदाहरण में, 2 बी 3 लॉगरिदम का आधार है)।
समाधान।
अगर लॉग ए बी 3 = 1, तो 3 / (0.5 लॉग ए बी = 1. और लॉग ए बी = 1/6।
फिर लॉग ए 2 बी 3√ (ए 11 बी -3) = 1/2 लॉग ए 2 बी 3 (ए 11 बी -3) = लॉग ए (ए 11 बी -3) / (2लॉग ए (ए 2 बी 3) ) = (लॉग ए 11 + लॉग ए बी -3) / (2 (लॉग ए 2 + लॉग ए बी 3)) = (11 - 3लॉग ए बी) / (2 (2 + 3लॉग ए बी)) में लेना खाता है कि लॉग एबी = 1/6 हम प्राप्त करते हैं (11 - 3 1/6) / (2 (2 + 3 1/6)) = 10.5/5 = 2.1।
उत्तर : 2.1.
आप निम्न कार्य को स्वतंत्र रूप से पूरा कर सकते हैं:
लॉग 3 6 2.1 की गणना करें यदि लॉग 0.7 27 = ए।
उत्तर: (3 + ए) / (3 ए)।
उदाहरण 10.
6.5 4 की गणना करें / लॉग 3 169 3 1 / लॉग 4 13 + लॉग125।
समाधान।
6.5 4 / लॉग 3 169 3 1 / लॉग 4 13 + लॉग 125 = (13/2) 4/2 लॉग 3 13 3 2 / लॉग 2 13 + 2लॉग 5 5 3 = (13/2) 2 लॉग 13 3 3 2 लॉग 13 2 + 6 = (13 लॉग 13 3/2 लॉग 13 3) 2 (3 लॉग 13 2) 2 + 6 = (3/2 लॉग 13 3) 2 2 + 6 = (3 2 / (2 लॉग 13 3 ) 2) · (2 लॉग 13 3) 2 + 6.
(2 लघुगणक 13 3 = 3 लघुगणक 13 2 (सूत्र 4))
हमें 9 + 6 = 15 मिलता है।
उत्तर: 15.
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लघुगणक के साथ व्यंजकों को परिवर्तित करते समय सूचीबद्ध समानताओं का उपयोग दाएं से बाएं और बाएं से दाएं दोनों में किया जाता है।
यह ध्यान देने योग्य है कि गुणों के परिणामों को याद रखना जरूरी नहीं है: परिवर्तनों को करते समय, आप लॉगरिदम और अन्य तथ्यों के मूल गुणों के साथ प्राप्त कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि बी≥0 के लिए), जिसमें से संगत परिणाम आते हैं। इस दृष्टिकोण का एकमात्र "दुष्प्रभाव" यह है कि समाधान थोड़ा लंबा होगा। उदाहरण के लिए, परिणाम के बिना करना, जो सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है 
, और केवल लघुगणक के मूल गुणों से शुरू करते हुए, आपको निम्नलिखित रूप के परिवर्तनों की एक श्रृंखला को पूरा करना होगा: 
.
उपरोक्त सूची से अंतिम संपत्ति के बारे में भी यही कहा जा सकता है, जो सूत्र से मेल खाती है 
, क्योंकि यह लघुगणक के मूल गुणों से भी अनुसरण करता है। समझने वाली मुख्य बात यह है कि घातांक में एक लघुगणक के साथ एक सकारात्मक संख्या की शक्ति के लिए शक्ति के आधार और लघुगणक के संकेत के तहत संख्या को स्वैप करना हमेशा संभव होता है। निष्पक्षता में, हम ध्यान दें कि ऐसे परिवर्तनों के कार्यान्वयन के उदाहरण व्यवहार में शायद ही कभी सामने आते हैं। हम पाठ में नीचे कई उदाहरण देंगे।
लघुगणक के साथ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना
हमें लघुगणक के गुण याद आ गए, अब यह सीखने का समय है कि व्यंजकों को बदलने के लिए उन्हें व्यवहार में कैसे लागू किया जाए। संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करके शुरू करना स्वाभाविक है, न कि चर के साथ अभिव्यक्ति, क्योंकि उन पर मूल बातें सीखना अधिक सुविधाजनक और आसान है। तो हम ऐसा करेंगे, और हम यह सीखने के लिए बहुत ही सरल उदाहरणों से शुरू करेंगे कि लघुगणक के वांछित गुण का चयन कैसे करें, लेकिन धीरे-धीरे हम उदाहरणों को जटिल बना देंगे, जब तक कि अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए, एक पंक्ति में कई गुण लागू करने के लिए आवश्यक हो।
लघुगणक के वांछित गुण का चयन
लघुगणक के गुण इतने कम नहीं हैं, और यह स्पष्ट है कि आपको उनमें से उपयुक्त एक को चुनने में सक्षम होने की आवश्यकता है, जो इस विशेष मामले में आवश्यक परिणाम की ओर ले जाएगा। आमतौर पर रूपांतरित लघुगणक या व्यंजक के रूप की तुलना लघुगणक के गुणों को व्यक्त करने वाले सूत्रों के बाएँ और दाएँ पक्षों के विचारों के साथ करना आसान होता है। यदि किसी एक सूत्र का बायाँ या दायाँ पक्ष दिए गए लघुगणक या व्यंजक से मेल खाता है, तो, सबसे अधिक संभावना है, इस गुण का उपयोग परिवर्तन में किया जाना चाहिए। निम्नलिखित उदाहरण इसे स्पष्ट करते हैं।
आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए व्यंजकों को रूपांतरित करने के उदाहरणों के साथ प्रारंभ करें, जो सूत्र a log a b = b, a> 0, a 1, b> 0 के संगत है।
उदाहरण।
गणना करें, यदि संभव हो तो: ए) 5 लॉग 5 4, बी) 10 एलजी (1 + 2 ), सी) 
, डी) 2 लॉग 2 (−7), ई)।
समाधान।
पत्र ए के तहत उदाहरण में), संरचना ए लॉग ए बी स्पष्ट रूप से दिखाई दे रही है, जहां ए = 5, बी = 4। ये संख्याएँ a> 0, a ≠ 1, b> 0 की शर्तों को पूरा करती हैं, ताकि आप समानता a log a b = b का सुरक्षित रूप से उपयोग कर सकें। हमारे पास 5 लघुगणक 5 4 = 4 है।
बी) यहां ए = 10, बी = 1 + 2 , शर्तें ए> 0, ए 1, बी> 0 संतुष्ट हैं। इस मामले में, समानता 10 एलजी (1 + 2 · ) = 1 + 2 · रखती है।
सी) और इस उदाहरण में हम एक लॉग ए बी के रूप की डिग्री के साथ काम कर रहे हैं, जहां बी = एलएन15। इसलिए 
.
एक ही रूप a log a b (यहाँ a = 2, b = −7) से संबंधित होने के बावजूद, अक्षर d के अंतर्गत व्यंजक को a log a b = b सूत्र द्वारा रूपांतरित नहीं किया जा सकता है। इसका कारण यह है कि यह अर्थहीन है क्योंकि इसमें लघुगणक के चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या होती है। इसके अलावा, संख्या b = −7 b> 0 की स्थिति को संतुष्ट नहीं करती है, जिससे सूत्र a log ab = b का सहारा लेना असंभव हो जाता है, क्योंकि इसके लिए a> 0, a 1, b> शर्तों की पूर्ति की आवश्यकता होती है। 0. इसलिए, हम 2 लॉग 2 (−7) के मान की गणना के बारे में बात नहीं कर सकते। इस मामले में, 2 लॉग 2 (−7) = −7 लिखना एक त्रुटि होगी।
इसी तरह, अक्षर d के तहत उदाहरण में), फॉर्म का समाधान लाना असंभव है 
चूंकि मूल अभिव्यक्ति अर्थहीन है।
उत्तर:
ए) 5 लॉग 5 4 = 4, बी) 10 एलजी (1 + 2 ) = 1 + 2 , सी) , d), e) भावों का कोई मतलब नहीं है।
रूपांतरण अक्सर उपयोगी होता है, जिसमें एक सकारात्मक संख्या को घातांक में एक लघुगणक के साथ कुछ सकारात्मक और गैर-एक संख्या की शक्ति के रूप में दर्शाया जाता है। यह लघुगणक की एक ही परिभाषा पर आधारित है a log ab = b, a> 0, a 1, b> 0, लेकिन सूत्र को दाएं से बाएं, यानी b = a log a b के रूप में लागू किया जाता है। . उदाहरण के लिए, 3 = ई ln3 या 5 = 5 लॉग 5 5।
आइए व्यंजकों को बदलने के लिए लघुगणक के गुणों को लागू करने के लिए आगे बढ़ते हैं।
उदाहरण।
व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3.75 1, h) log 5 7 1.
समाधान।
अक्षरों a), b) और c) के उदाहरणों में व्यंजक log −2 1, log 1 1, log 0 1 दिए गए हैं, जिनका कोई अर्थ नहीं है, क्योंकि लघुगणक के आधार में ऋणात्मक संख्या नहीं होनी चाहिए, शून्य या एक, क्योंकि हमने लॉगरिदम को केवल एक सकारात्मक और गैर-इकाई आधार के लिए परिभाषित किया है। इसलिए, उदाहरणों में a) - c) किसी व्यंजक का अर्थ खोजने का प्रश्न ही नहीं उठता।
अन्य सभी कार्यों में, जाहिर है, लॉगरिदम के आधार में सकारात्मक और गैर-एक संख्या 7, ई, 10, 3.75 और 5 · 7 हैं, और लॉगरिदम के संकेतों के तहत हर जगह इकाइयां हैं। और हम एकता के लघुगणक के गुण को जानते हैं: किसी भी a> 0, a 1 के लिए 1 = 0 लॉग करें। इस प्रकार, भावों के मान b) - f) शून्य के बराबर हैं।
उत्तर:
ए), बी), सी) अभिव्यक्तियों का कोई मतलब नहीं है, डी) लॉग 7 1 = 0, ई) एलएन 1 = 0, एफ) लॉग 1 = 0, जी) लॉग 3.75 1 = 0, एच) लॉग 5 ई 7 1 = 0.
उदाहरण।
गणना करें: ए), बी) एलएनई, सी) एलजी 10, डी) लॉग 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), ई) लॉग -3 (−3), एफ) लॉग 1 1।
समाधान।
यह स्पष्ट है कि हमें आधार के लघुगणक के गुण का उपयोग करना होगा, जो कि a> 0, a 1 के लिए a = 1 के सूत्र लॉग से मेल खाता है। दरअसल, सभी अक्षरों के तहत कार्यों में, लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या इसके आधार के साथ मेल खाती है। इस प्रकार, मैं तुरंत कहना चाहूंगा कि दिए गए प्रत्येक व्यंजक का मान 1 है। हालांकि, किसी को निष्कर्ष पर नहीं जाना चाहिए: अक्षरों के तहत कार्यों में a) - d) भावों के मूल्य वास्तव में एक के बराबर हैं, और कार्यों में e) और f) मूल भावों का कोई मतलब नहीं है, इसलिए यह नहीं कहा जा सकता है कि इन भावों के मान 1 के बराबर हैं।
उत्तर:
ए), बी) एलएनई = 1, सी) एलजी 10 = 1, डी) लॉग 5 π 3 −2 (5 π 3 −2) = 1, ई), एफ) भाव समझ में नहीं आता।
उदाहरण।
मान ज्ञात कीजिए: a) लॉग 3 3 11, b) 
, सी), डी) लॉग -10 (−10) 6.
समाधान।
जाहिर है, आधार के कुछ अंश लघुगणक के चिह्नों के नीचे खड़े होते हैं। इसके आधार पर, हम समझते हैं कि आधार की डिग्री की संपत्ति यहां उपयोगी है: लॉग ए पी = पी, जहां ए> 0, ए 1 और पी कोई वास्तविक संख्या है। इसे ध्यान में रखते हुए, हमारे पास निम्नलिखित परिणाम हैं: ए) लॉग 3 3 11 = 11, बी) 
, वी) 
... क्या फॉर्म लॉग -10 (−10) 6 = 6 के अक्षर d के तहत उदाहरण के लिए समान समानता लिखना संभव है? नहीं, आप नहीं कर सकते, क्योंकि व्यंजक लॉग −10 (−10) 6 का कोई अर्थ नहीं है।
उत्तर:
क) लघुगणक 3 3 11 = 11, ख) , वी) , डी) अभिव्यक्ति अर्थहीन है।
उदाहरण।
एक ही आधार में लघुगणक के योग या अंतर के रूप में व्यंजक की कल्पना करें: a) 
, बी), सी) एलजी ((- 5) (−12))।
समाधान।
ए) लॉगरिदम के संकेत के तहत उत्पाद है, और हम उत्पाद के लॉगरिदम की संपत्ति को जानते हैं लॉग a (xy) = log ax + log ay, a> 0, a 1, x> 0, y> 0 . हमारे मामले में, लघुगणक के आधार पर संख्या और उत्पाद में संख्या सकारात्मक हैं, अर्थात, वे चयनित संपत्ति की शर्तों को पूरा करते हैं, इसलिए, हम इसे सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं: 
.
बी) यहां हम भागफल के लघुगणक के गुण का उपयोग करते हैं, जहां a> 0, a 1, x> 0, y> 0। हमारे मामले में, लघुगणक का आधार एक सकारात्मक संख्या ई है, अंश और हर π सकारात्मक हैं, जिसका अर्थ है कि वे संपत्ति की शर्तों को पूरा करते हैं, इसलिए हमें चुने हुए सूत्र को लागू करने का अधिकार है: 
.
सी) सबसे पहले, ध्यान दें कि अभिव्यक्ति lg ((- 5) (−12)) समझ में आता है। लेकिन साथ ही उसके लिए हमें उत्पाद के लघुगणक के सूत्र को लागू करने का कोई अधिकार नहीं है लॉग a (xy) = log ax + log ay, a> 0, a 1, x> 0, y> 0, क्योंकि संख्या -5 और -12 ऋणात्मक हैं और x> 0, y> 0 की शर्तों को पूरा नहीं करते हैं। अर्थात्, आप ऐसा परिवर्तन नहीं कर सकते: लॉग ((- 5) (−12)) = लॉग (−5) + लॉग (−12)... तुम क्या कर सकते हो? ऐसे मामलों में, मूल व्यंजक को ऋणात्मक संख्याओं से बचने के लिए प्रारंभिक परिवर्तन की आवश्यकता होती है। हम एक पृष्ठ में लघुगणक के संकेत के तहत नकारात्मक संख्याओं के साथ भावों को परिवर्तित करने के ऐसे मामलों के बारे में विस्तार से बात करेंगे, लेकिन अभी के लिए हम इस उदाहरण का समाधान देंगे, जो पहले से और बिना स्पष्टीकरण के स्पष्ट है: लॉग ((- 5) (−12)) = लॉग (5 12) = लॉग5 + लॉग12.
उत्तर:
ए) , बी) , सी) एलजी ((- 5) (−12)) = lg5 + lg12।
उदाहरण।
व्यंजक को सरल कीजिए: क) लघुगणक 3 0.25 + लघुगणक 3 16 + लघुगणक 3 0.5, ख)।
समाधान।
यहां हमें उत्पाद के लघुगणक के सभी समान गुणों और भागफल के लघुगणक से मदद मिलेगी जो हमने पिछले उदाहरणों में उपयोग किया था, केवल अब हम उन्हें दाएं से बाएं लागू करेंगे। अर्थात्, हम लघुगणक के योग को उत्पाद के लघुगणक में और लघुगणक के बीच के अंतर को भागफल के लघुगणक में बदल देते हैं। हमारे पास है
ए) लघुगणक 3 0.25 + लघुगणक 3 16 + लघुगणक 3 0.5 = लघुगणक 3 (0.25 16 0.5) = लघुगणक 3 2.
बी) 
.
उत्तर:
ए) लघुगणक 3 0.25 + लघुगणक 3 16 + लघुगणक 3 0.5 = लघुगणक 3 2, बी) 
.
उदाहरण।
लघुगणक के संकेत के तहत डिग्री से छुटकारा पाएं: ए) लॉग 0.7 5 11, बी) 
, सी) लॉग 3 (−5) 6.
समाधान।
यह देखना आसान है कि हम लॉग ए बी पी के रूप के भावों के साथ काम कर रहे हैं। लॉगरिदम के संगत गुण का रूप है लॉग a b p = p · log a b, जहां a> 0, a 1, b> 0, p कोई वास्तविक संख्या है। अर्थात्, शर्तों के तहत a> 0, a 1, b> 0 पावर लॉग के लॉगरिदम से a b p हम उत्पाद पर जा सकते हैं p · लॉग ए बी। आइए इस परिवर्तन को दिए गए भावों के साथ करें।
ए) इस मामले में, ए = 0.7, बी = 5 और पी = 11। अतः लघुगणक 0.7 5 11 = 11 लघुगणक 0.7 5।
b) यहां, शर्तें a> 0, a 1, b> 0 संतुष्ट हैं। इसलिए 
c) व्यंजक लॉग 3 (−5) 6 की संरचना समान है लॉग a b p, a = 3, b = −5, p = 6। लेकिन बी के लिए शर्त बी> 0 संतुष्ट नहीं है, जिससे फॉर्मूला लॉग ए बी पी = पी · लॉग ए बी को लागू करना असंभव हो जाता है। तो क्या हाथ में काम का सामना करना असंभव है? यह संभव है, लेकिन अभिव्यक्ति के प्रारंभिक परिवर्तन की आवश्यकता है, जिसके बारे में हम नीचे शीर्षक के तहत पैराग्राफ में विस्तार से चर्चा करेंगे। समाधान इस प्रकार होगा: लघुगणक 3 (−5) 6 = लघुगणक 3 5 6 = 6 लघुगणक 3 5.
उत्तर:
क) लघुगणक 0.7 5 11 = 11 लघुगणक 0.7 5,
बी)
ग) लघुगणक 3 (−5) 6 = 6 लघुगणक 3 5।
अक्सर, परिवर्तन करते समय डिग्री के लघुगणक के सूत्र को पी लॉग ए बी = लॉग ए बी पी के रूप में दाएं से बाएं से लागू करना पड़ता है (इसके लिए ए, बी और पी के लिए समान शर्तों की पूर्ति की आवश्यकता होती है)। उदाहरण के लिए, 3 ln5 = ln5 3 और lg2 log 2 3 = log 2 3 lg2।
उदाहरण।
ए) लॉग 2 5 के मान की गणना करें यदि यह ज्ञात है कि lg2≈0.3010 और lg5≈0.6990। ख) भिन्न को आधार 3 के लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करें।
समाधान।
ए) लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण का सूत्र इस लघुगणक को दशमलव लघुगणक के अनुपात के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है, जिसके मान हमें ज्ञात हैं:। यह केवल गणना करने के लिए बनी हुई है, हमारे पास है 
.
बी) यहां एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग करना और इसे दाएं से बाएं, यानी फॉर्म में लागू करना पर्याप्त है 
... हम पाते हैं 
.
उत्तर:
ए) लॉग 2 5≈2.3223, बी) .
इस स्तर पर, हमने लघुगणक के मूल गुणों और लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए सरलतम अभिव्यक्तियों के परिवर्तन की जांच की है। इन उदाहरणों में, हमें एक संपत्ति लागू करनी थी और कुछ नहीं। अब, एक स्पष्ट विवेक के साथ, आप उदाहरणों पर आगे बढ़ सकते हैं, जिसके परिवर्तन के लिए लघुगणक के कई गुणों और अन्य अतिरिक्त परिवर्तनों के उपयोग की आवश्यकता होती है। हम उनके साथ अगले पैराग्राफ में निपटेंगे। लेकिन इससे पहले, आइए हम संक्षेप में लघुगणक के मूल गुणों से परिणामों के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर ध्यान दें।
उदाहरण।
a) लॉगरिदम के चिन्ह के तहत जड़ से छुटकारा पाएं। b) भिन्न को लघुगणक आधार 5 में बदलें। ग) लघुगणक के चिन्ह और उसके आधार पर अपने आप को डिग्री से मुक्त करें। डी) अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें 
... e) व्यंजक को आधार 3 से घात से बदलें।
समाधान।
ए) यदि हम डिग्री के लघुगणक की संपत्ति के परिणाम को याद करते हैं 
, तो आप तुरंत उत्तर दे सकते हैं: 
.
बी) यहां हम सूत्र का उपयोग करते हैं 
दाएं से बाएं, हमारे पास है 
.
सी) इस मामले में, सूत्र परिणाम की ओर जाता है ... हम पाते हैं 
.
d) और यहाँ यह उस परिणाम को लागू करने के लिए पर्याप्त है जिस पर सूत्र 
... इसलिए 
.
ई) लघुगणक की संपत्ति हमें वांछित परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है: 
.
उत्तर:
ए) ... बी) ... वी) 
... जी) 
... इ) .
एकाधिक गुणों का अनुक्रमिक अनुप्रयोग
लॉगरिदम के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए वास्तविक कार्य आमतौर पर उन कार्यों की तुलना में अधिक जटिल होते हैं जिन्हें हमने पिछले पैराग्राफ में निपटाया था। उनमें, एक नियम के रूप में, परिणाम एक चरण में प्राप्त नहीं होता है, लेकिन समाधान पहले से ही एक के बाद एक संपत्ति के अनुक्रमिक अनुप्रयोग में होता है, साथ ही अतिरिक्त समान परिवर्तनों के साथ, जैसे कि कोष्ठक खोलना, समान शर्तों को कम करना, अंशों को रद्द करना, आदि। . तो आइए ऐसे उदाहरणों के करीब आते हैं। इसमें कुछ भी मुश्किल नहीं है, मुख्य बात यह है कि क्रियाओं को करने के क्रम का पालन करते हुए सावधानीपूर्वक और लगातार कार्य करना है।
उदाहरण।
एक व्यंजक के मूल्य का मूल्यांकन करें (लॉग 3 15 - लॉग 3 5) 7 लॉग 7 5.
समाधान।
भागफल के लघुगणक के गुण द्वारा कोष्ठकों में लघुगणक के बीच के अंतर को लघुगणक 3 (15:5) से बदला जा सकता है, और फिर इसके मान की गणना लॉग 3 (15: 5) = लघुगणक 3 3 = 1 कर सकते हैं। और लघुगणक की परिभाषा के अनुसार व्यंजक 7 log 7 5 का मान 5 है। इन परिणामों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं (लॉग 3 15 - लॉग 3 5) 7 लॉग 7 5 = 1 5 = 5.
स्पष्टीकरण के बिना समाधान का एक प्रकार यहां दिया गया है:
(लॉग 3 15 - लॉग 3 5) 7 लॉग 7 5 = लॉग 3 (15: 5) 5 =
= लघुगणक 3 3 5 = 1 5 = 5।
उत्तर:
(लॉग 3 15 - लॉग 3 5) 7 लॉग 7 5 = 5.
उदाहरण।
सांख्यिक व्यंजक log 3 log 2 2 3 −1 का मान क्या है?
समाधान।
घातांक के लघुगणक के लिए सूत्र का उपयोग करके लघुगणक के चिह्न के तहत पहले लघुगणक को रूपांतरित करें: लघुगणक 2 2 3 = 3। इस प्रकार, लघुगणक 3 लघुगणक 2 2 3 = लघुगणक 3 3 और आगे लघुगणक 3 3 = 1। अतः 3 लघुगणक 2 2 3 −1 = 1−1 = 0 लघुगणक करें।
उत्तर:
लघुगणक 3 लघुगणक 2 2 3 −1 = 0.
उदाहरण।
अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।
समाधान।
एक लघुगणक के एक नए आधार में संक्रमण के लिए सूत्र लघुगणक के एक आधार के अनुपात को लॉग 3 5 के रूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देता है। इस मामले में, मूल अभिव्यक्ति रूप ले लेगी। लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, 3 लघुगणक 3 5 = 5, अर्थात् 
, और परिणामी व्यंजक का मान, लघुगणक की समान परिभाषा के आधार पर, दो के बराबर है।
यहाँ समाधान का एक संक्षिप्त रूप दिया गया है, जो आमतौर पर दिया जाता है: 
.
उत्तर:
.
अगले पैराग्राफ में जानकारी के लिए एक सहज संक्रमण के लिए, आइए भावों पर एक नज़र डालें 5 2 + लॉग 5 3, और lg0.01। उनकी संरचना लघुगणक के किसी भी गुण में फिट नहीं होती है। तो यह क्या है, लघुगणक के गुणों का उपयोग करके उन्हें रूपांतरित नहीं किया जा सकता है? यह संभव है यदि आप प्रारंभिक परिवर्तन करते हैं जो इन अभिव्यक्तियों को लघुगणक के गुणों को लागू करने के लिए तैयार करते हैं। इसलिए 5 2 + लघुगणक 5 3 = 5 2.5 लघुगणक 5 3 = 25 3 = 75, 
और log0.01 = log10 −2 = −2। आगे हम विस्तार से समझेंगे कि अभिव्यक्ति की ऐसी तैयारी कैसे की जाती है।
लघुगणक गुण लागू करने के लिए व्यंजक तैयार करना
रूपांतरित व्यंजक में लघुगणक अक्सर सूत्र के बाएँ और दाएँ पक्षों से संकेतन की संरचना में भिन्न होते हैं जो लघुगणक के गुणों के अनुरूप होते हैं। लेकिन कम बार नहीं, इन अभिव्यक्तियों के परिवर्तन का तात्पर्य लघुगणक के गुणों के उपयोग से है: उनका उपयोग करने के लिए, केवल प्रारंभिक तैयारी की आवश्यकता होती है। और इस तैयारी में कुछ समान परिवर्तनों को अंजाम देना शामिल है जो लॉगरिदम को गुणों के आवेदन के लिए सुविधाजनक रूप में लाते हैं।
निष्पक्षता के लिए, हम ध्यान दें कि अभिव्यक्तियों का लगभग कोई भी परिवर्तन प्रारंभिक परिवर्तनों के रूप में कार्य कर सकता है, इस तरह की शर्तों को कम करने से लेकर त्रिकोणमितीय सूत्रों के उपयोग तक। यह समझ में आता है, क्योंकि परिवर्तित अभिव्यक्तियों में कोई भी गणितीय वस्तु हो सकती है: कोष्ठक, मॉड्यूल, अंश, मूल, डिग्री, आदि। इस प्रकार, लघुगणक के गुणों का लाभ उठाने में सक्षम होने के लिए किसी भी आवश्यक परिवर्तन को करने के लिए तैयार रहना चाहिए।
आइए हम तुरंत कहें कि इस बिंदु पर हम सभी कल्पनीय प्रारंभिक परिवर्तनों को वर्गीकृत और अलग करने का कार्य निर्धारित नहीं करते हैं जो हमें लॉगरिदम के गुणों या लॉगरिदम की परिभाषा को आगे लागू करने की अनुमति देते हैं। यहां हम उनमें से केवल चार पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जो सबसे विशिष्ट हैं और व्यवहार में सबसे अधिक बार सामना करना पड़ता है।
और अब, उनमें से प्रत्येक के बारे में विस्तार से, जिसके बाद, हमारे विषय के ढांचे के भीतर, यह केवल लघुगणक के संकेतों के तहत चर के साथ अभिव्यक्तियों के परिवर्तन से निपटने के लिए बनी हुई है।
लघुगणक के संकेत के तहत और उसके आधार पर डिग्री का आवंटन
आइए एक उदाहरण के साथ तुरंत शुरू करें। लघुगणक हमारे सामने हो। जाहिर है, इस रूप में, इसकी संरचना लघुगणक के गुणों के उपयोग के पक्ष में नहीं है। क्या इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए इसे बदलने का कोई तरीका है, या इसके मूल्य की बेहतर गणना भी है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए हमारे उदाहरण के संदर्भ में संख्या 81 और 1/9 पर करीब से नज़र डालें। यहां यह देखना आसान है कि इन संख्याओं को 3 की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है, वास्तव में, 81 = 3 4 और 1/9 = 3 −2। इस मामले में, मूल लघुगणक को रूप में दर्शाया जाता है और सूत्र को लागू करना संभव हो जाता है ... इसलिए, 
.
विश्लेषण किए गए उदाहरण का विश्लेषण निम्नलिखित विचार को जन्म देता है: यदि संभव हो, तो आप डिग्री के लघुगणक की संपत्ति या उसके परिणामों को लागू करने के लिए लघुगणक के संकेत के तहत और उसके आधार पर डिग्री को अलग करने का प्रयास कर सकते हैं। यह केवल यह पता लगाने के लिए बनी हुई है कि इन डिग्री को कैसे अलग किया जाए। आइए इस मुद्दे पर कुछ सिफारिशें दें।
कभी-कभी यह बिल्कुल स्पष्ट होता है कि लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या और / या इसके आधार पर कुछ पूर्णांक शक्ति का प्रतिनिधित्व करती है, जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है। लगभग हर समय हमें दो की शक्तियों से निपटना पड़ता है, जो परिचित हो गए हैं: 4 = 2 2, 8 = 2 3, 16 = 2 4, 32 = 2 5, 64 = 2 6, 128 = 2 7, 256 = 2 8, 512 = 2 9, 1024 = 2 10. ट्रिपल की डिग्री के बारे में भी यही कहा जा सकता है: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... सामान्य तौर पर, यह चोट नहीं करता है अगर वहाँ है प्राकृतिक संख्याओं की शक्ति तालिकाएक दर्जन के भीतर। दस, एक सौ, हजार आदि की पूरी शक्तियों के साथ काम करना भी मुश्किल नहीं है।
उदाहरण।
मान परिकलित करें या व्यंजक को सरल करें: a) लॉग 6 216, b), c) लॉग 0.000001 0.001।
समाधान।
a) यह स्पष्ट है कि 216 = 6 3, इसलिए लघुगणक 6 216 = लघुगणक 6 6 3 = 3।
बी) प्राकृतिक संख्याओं की शक्तियों की तालिका आपको क्रमशः 343 और 1/243 की संख्या 7 3 और 3-4 के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देती है। इसलिए, दिए गए लघुगणक का निम्नलिखित रूपांतरण संभव है: 
ग) चूंकि 0.000001 = 10 −6 और 0.001 = 10 −3, तो लॉग 0.000001 0.001 = लॉग 10 −6 10 −3 = (- 3) / (- 6) = 1/2.
उत्तर:
क) लघुगणक 6 216 = 3, ख) 
, सी) लॉग 0.000001 0.001 = 1/2।
अधिक जटिल मामलों में, संख्याओं की शक्तियों को उजागर करने के लिए, आपको इसका सहारा लेना होगा।
उदाहरण।
व्यंजक को सरल रूप में बदलें लॉग 3 648 · लॉग 2 3।
समाधान।
आइए देखें कि 648 का अभाज्य गुणनखंड क्या है:
अर्थात्, 648 = 2 3 3 4। इस तरह, लघुगणक 3 648 लघुगणक 2 3 = लघुगणक 3 (2 3 3 4) लघुगणक 2 3.
अब हम उत्पाद के लघुगणक को लघुगणक के योग में बदलते हैं, जिसके बाद हम डिग्री के लघुगणक के गुण लागू करते हैं:
लॉग 3 (2 3 3 4) लॉग 2 3 = (लॉग 3 2 3 + लॉग 3 3 4) लॉग 2 3 =
= (3 लघुगणक 3 2 + 4) लघुगणक 2 3.
डिग्री के लघुगणक की संपत्ति के लिए कोरोलरी के आधार पर, जो सूत्र से मेल खाती है , उत्पाद log32 · log23 उत्पाद है, और इसे एक के बराबर माना जाता है। इसे ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं 3 लघुगणक 3 2 लघुगणक 2 3 + 4 लघुगणक 2 3 = 3 1 + 4 लघुगणक 2 3 = 3 + 4 लघुगणक 2 3.
उत्तर:
लघुगणक 3 648 लघुगणक 2 3 = 3 + 4 लघुगणक 2 3.
अक्सर, लघुगणक के संकेत के तहत और उसके आधार पर अभिव्यक्ति कुछ संख्याओं की जड़ों और / या शक्तियों के उत्पाद या अनुपात होते हैं, उदाहरण के लिए,। इस तरह के भावों को डिग्री के रूप में दर्शाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, जड़ों से डिग्री तक संक्रमण किया जाता है, और लागू किया जाता है। ये परिवर्तन किसी को लघुगणक के चिह्न के तहत और उसके आधार पर डिग्री को एकल करने की अनुमति देते हैं, और फिर लघुगणक के गुणों को लागू करते हैं।
उदाहरण।
गणना करें: ए) 
, बी)।
समाधान।
ए) लघुगणक के आधार पर अभिव्यक्ति समान आधारों के साथ डिग्री का उत्पाद है, हमारे पास डिग्री की संबंधित संपत्ति के अनुसार 5 2.5 -0.5 5 −1 = 5 2−0.5−1 = 5 0.5.
अब हम अंश को लघुगणक के संकेत के तहत बदलते हैं: हम मूल से डिग्री तक जाते हैं, जिसके बाद हम समान आधारों के साथ डिग्री के अनुपात की संपत्ति का उपयोग करते हैं: 
.
यह मूल अभिव्यक्ति में प्राप्त परिणामों को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है, सूत्र का उपयोग करें और कनवर्ट करना समाप्त करें: 
ख) चूंकि 729 = 3 6, और 1/9 = 3 -2, मूल व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है।
इसके बाद, हम डिग्री की जड़ की संपत्ति को लागू करते हैं, हम मूल से डिग्री तक जाते हैं और डिग्री अनुपात की संपत्ति का उपयोग लॉगरिदम के आधार को डिग्री में बदलने के लिए करते हैं: 
.
अंतिम परिणाम को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है 
.
उत्तर:
ए) 
, बी)।
यह स्पष्ट है कि, सामान्य मामले में, लघुगणक के संकेत के तहत और उसके आधार पर डिग्री प्राप्त करने के लिए, विभिन्न अभिव्यक्तियों के विभिन्न परिवर्तनों की आवश्यकता हो सकती है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
उदाहरण।
अभिव्यक्ति का मूल्य क्या है: ए) 
, बी) 
.
समाधान।
इसके अलावा, हम देखते हैं कि दिए गए व्यंजक का रूप लॉग A B p है, जहाँ A = 2, B = x + 1 और p = 4 है। हमने इस प्रकार के संख्यात्मक व्यंजकों को घात लॉग a b p = p . के लघुगणक के गुणधर्म द्वारा रूपांतरित किया है आइए अब मूल व्यंजक के मान और रूपांतरण के बाद प्राप्त व्यंजक की गणना करें, उदाहरण के लिए, जब x = −2। हमारे पास लघुगणक 2 (−2 + 1) 4 = लघुगणक 2 1 = 0, और . है 4 लघुगणक 2 (-2 + 1) = 4 लघुगणक 2 (-1)अर्थहीन अभिव्यक्ति है। यह एक स्वाभाविक प्रश्न उठाता है: "हमने क्या गलत किया"?
और इसका कारण इस प्रकार है: हमने रूपांतरण लॉग 2 (x + 1) 4 = 4 लॉग 2 (x + 1) किया, जो सूत्र लॉग abp = p log ab पर निर्भर करता है, लेकिन हमें केवल इस सूत्र को लागू करने का अधिकार है यदि शर्तें a > 0, a 1, b> 0, p कोई वास्तविक संख्या है। अर्थात्, हमारा परिवर्तन होता है यदि x + 1> 0, जो समान x> −1 है (A और p के लिए - शर्तें संतुष्ट हैं)। हालांकि, हमारे मामले में, मूल व्यंजक के लिए चर x के GDV में न केवल अंतराल x> −1 है, बल्कि अंतराल x का भी है<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.
ओडीजेड को ध्यान में रखने की जरूरत
आइए हम लॉग 2 (x + 1) 4 को चुने गए व्यंजक के रूपांतरण का विश्लेषण करना जारी रखें, और अब देखते हैं कि जब हम व्यंजक 4 · लॉग 2 (x + 1) पर जाते हैं तो ODV का क्या होता है। पिछले भाग में, हमने मूल व्यंजक का ODL पाया - यह समुच्चय (−∞, −1) (−1, + ) है। आइए अब व्यंजक 4 · लॉग 2 (x + 1) के लिए चर x के मान्य मानों की श्रेणी ज्ञात करें। यह शर्त x + 1> 0 द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो समुच्चय (−1, + ) से मेल खाती है। जाहिर है, लॉग 2 (x + 1) 4 से 4 तक जाने पर लॉग 2 (x + 1), स्वीकार्य मानों की सीमा कम हो जाती है। और हम ओडीजेड के संकुचन की ओर ले जाने वाले परिवर्तनों से बचने के लिए सहमत हुए, क्योंकि इससे विभिन्न नकारात्मक परिणाम हो सकते हैं।
यहां यह अपने लिए ध्यान देने योग्य है कि परिवर्तन के प्रत्येक चरण में डीएचएस को नियंत्रित करना उपयोगी है और इसे संकुचित नहीं होने देना है। और अगर अचानक परिवर्तन के किसी चरण में ODZ का संकुचन हुआ, तो यह बहुत ध्यान से देखने योग्य है कि क्या यह परिवर्तन अनुमेय है और क्या हमें इसे करने का अधिकार था।
निष्पक्षता के लिए, मान लें कि व्यवहार में आपको आमतौर पर उन भावों के साथ काम करना पड़ता है जिनके लिए चर का ODV ऐसा होता है कि यह आपको उस रूप में प्रतिबंध के बिना परिवर्तन करते समय लघुगणक के गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है जिसे हम पहले से जानते हैं, दोनों बाएं से दाएं और दाएं से बाएं। आप जल्दी से इसके अभ्यस्त हो जाते हैं, और आप परिवर्तनों को यांत्रिक रूप से करना शुरू कर देते हैं, बिना यह सोचे कि क्या उन्हें अंजाम देना संभव है। और ऐसे क्षणों में, भाग्य के रूप में, अधिक जटिल उदाहरण निकल जाते हैं, जिसमें लॉगरिदम के गुणों का गलत उपयोग त्रुटियों की ओर जाता है। इसलिए आपको हमेशा सतर्क रहने की जरूरत है, और सुनिश्चित करें कि ODU की कोई संकीर्णता नहीं है।
लॉगरिदम के गुणों के आधार पर मुख्य परिवर्तनों को अलग से उजागर करने में कोई दिक्कत नहीं होती है, जिसे बहुत सावधानी से किया जाना चाहिए, जिससे ओडीवी का संकुचन हो सकता है, और परिणामस्वरूप - त्रुटियों के लिए:
लघुगणक के गुणों द्वारा अभिव्यक्तियों के कुछ परिवर्तन विपरीत हो सकते हैं - ODZ का विस्तार। उदाहरण के लिए, 4 लॉग 2 (x + 1) से लॉग 2 (x + 1) 4 तक जाने से GDV को सेट (−1, + ∞) से (−∞, −1) ∪ (−1, + ) तक बढ़ाया जाता है। ) इस तरह के परिवर्तन तब होते हैं जब हम मूल अभिव्यक्ति के लिए डीएलओ के भीतर रहते हैं। तो परिवर्तन केवल 4 लॉग 2 (x + 1) = लॉग 2 (x + 1) 4 का उल्लेख किया गया है, मूल अभिव्यक्ति 4 लॉग 2 (x + 1) के लिए चर x के ODZ पर होता है, अर्थात x + के लिए 1> 0, जो समान है (−1, + )।
अब जब हमने उन बारीकियों पर चर्चा कर ली है, जिन पर आपको ध्यान देने की आवश्यकता है, जब लघुगणक के गुणों का उपयोग करके चर के साथ भावों को परिवर्तित किया जाता है, तो यह पता लगाना बाकी है कि इन परिवर्तनों को सही तरीके से कैसे किया जाए।
एक्स + 2> 0। क्या यह हमारे मामले में पूरा हुआ है? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए चर x के LDV पर एक नज़र डालें। यह असमानताओं की प्रणाली द्वारा निर्धारित किया जाता है 
, जो x + 2> 0 की स्थिति के बराबर है (यदि आवश्यक हो, तो लेख देखें असमानताओं की समाधान प्रणाली) इस प्रकार, हम डिग्री के लघुगणक की संपत्ति को सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं।
हमारे पास है
3 एलजी (x + 2) 7 −lg (x + 2) −5 एलजी (x + 2) 4 =
= 3 7 लघुगणक (x + 2) −lg (x + 2) −5 4 लघुगणक (x + 2) =
= 21log (x + 2) −lg (x + 2) −20log (x + 2) =
= (21−1−20) लघुगणक (x + 2) = 0.
आप अलग तरह से कार्य कर सकते हैं, ODZ का लाभ आपको ऐसा करने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए: 
उत्तर:
3 एलजी (x + 2) 7 −lg (x + 2) −5 एलजी (x + 2) 4 = 0.
लेकिन क्या करें जब ODZ पर लॉगरिदम के गुणों के साथ आने वाली शर्तें पूरी नहीं होती हैं? हम इससे उदाहरणों के साथ निपटेंगे।
आइए, हमें व्यंजक lg (x + 2) 4 −lg (x + 2) 2 को सरल बनाने की आवश्यकता है। इस अभिव्यक्ति का परिवर्तन, पिछले उदाहरण से अभिव्यक्ति के विपरीत, डिग्री के लघुगणक की संपत्ति के ढीले उपयोग की अनुमति नहीं देता है। क्यों? इस मामले में चर x का ODZ दो अंतरालों x> −2 और x . का मिलन है<−2 . При x>-2, हम डिग्री के लघुगणक की संपत्ति को सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं और उपरोक्त उदाहरण के अनुसार कार्य कर सकते हैं: लघुगणक (x + 2) 4 −lg (x + 2) 2 = 4 लघुगणक (x + 2) −2 लघुगणक (x + 2) = 2 लघुगणक (x + 2)... लेकिन ODZ में एक और अंतराल x + 2 . है<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к एलजी (- | x + 2 |) 4 −lg (- | x + 2 |) 2और आगे, डिग्री के गुणों के आधार पर lg | x + 2 | 4 -एलजी | एक्स + 2 | 2. परिणामी अभिव्यक्ति को डिग्री के लघुगणक के गुण द्वारा रूपांतरित किया जा सकता है, क्योंकि | x + 2 |> 0 चर के किसी भी मान के लिए। हमारे पास है एलजी | एक्स + 2 | 4 -एलजी | एक्स + 2 | 2 = 4 लॉग | x + 2 | -2 लॉग | x + 2 | = 2 लॉग | x + 2 |... अब आप मॉड्यूल से छुटकारा पा सकते हैं, क्योंकि इसने अपना काम किया है। चूँकि हम x + 2 . पर रूपांतरण कर रहे हैं<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .
आइए मॉड्यूल के साथ काम करने को परिचित बनाने के लिए एक और उदाहरण देखें। आइए हम अभिव्यक्ति से कल्पना करें 
रैखिक द्विपद x - 1, x - 2, और x - 3 के लघुगणक के योग और अंतर पर जाएँ। सबसे पहले, हम ODZ पाते हैं: 
अंतराल (3, + ) पर, एक्स − 1, x − 2, और x − 3 के भावों के मान सकारात्मक हैं, इसलिए हम योग और अंतर के लघुगणक के गुणों को सुरक्षित रूप से लागू कर सकते हैं: 
अंतराल (1, 2) पर, व्यंजक x - 1 के मान धनात्मक होते हैं, और व्यंजकों x - 2 और x - 3 के मान ऋणात्मक होते हैं। इसलिए, माना अंतराल पर, हम मापांक का उपयोग करते हुए x - 2 और x - 3 का प्रतिनिधित्व करते हैं - | x -2 | और - | एक्स -3 | क्रमश। जिसमें 
अब हम गुणनफल और भागफल के लघुगणक के गुणधर्मों को लागू कर सकते हैं, क्योंकि विचारित अंतराल (1, 2) पर व्यंजकों x - 1, | x -2 | और | एक्स -3 | - सकारात्मक।
हमारे पास है 
प्राप्त परिणामों को जोड़ा जा सकता है:
सामान्य तौर पर, समान तर्क, उत्पाद, अनुपात और डिग्री के लघुगणक के सूत्रों के आधार पर, तीन व्यावहारिक रूप से उपयोगी परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है, जो उपयोग करने के लिए काफी सुविधाजनक हैं:
- लॉग ए (एक्स · वाई) के रूप में दो मनमानी अभिव्यक्तियों एक्स और वाई के उत्पाद के लॉगरिदम को लॉगरिदम लॉग ए | एक्स | + लॉग ए | वाई | के योग से बदला जा सकता है। , ए> 0, ए 1.
- विशेष रूप लॉग ए (एक्स: वाई) के लॉगरिदम को लॉगरिदम लॉग ए | एक्स | −लॉग ए | वाई | के अंतर से बदला जा सकता है। , a> 0, a 1, X और Y मनमाना व्यंजक हैं।
- कुछ व्यंजक B के लघुगणक से लॉग a B p के रूप में p की सम घात तक, कोई व्यंजक p पर जा सकता है · लॉग a | B | जहाँ a> 0, a 1, p एक सम संख्या है और B एक मनमाना व्यंजक है।
इसी तरह के परिणाम दिए गए हैं, उदाहरण के लिए, एमआई स्कैनवी द्वारा संपादित विश्वविद्यालयों में प्रवेश करने वालों के लिए गणित में समस्याओं के संग्रह में घातीय और लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के निर्देशों में।
उदाहरण।
व्यंजक को सरल कीजिए 
.
समाधान।
शक्ति, योग और अंतर के लघुगणक के गुणों को लागू करना अच्छा होगा। लेकिन क्या हम इसे यहाँ कर सकते हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें डीएचएस को जानना होगा।
आइए इसे परिभाषित करें: 
यह बिल्कुल स्पष्ट है कि चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा पर x + 4, x - 2, और (x + 4) 13 व्यंजक सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकते हैं। इसलिए, हमें मॉड्यूल के माध्यम से कार्य करना होगा। 
मॉड्यूल गुण पुनर्लेखन की अनुमति देते हैं, इसलिए 
इसके अलावा, कुछ भी आपको डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने से नहीं रोकता है, जिसके बाद आप समान शब्द ला सकते हैं: 
परिवर्तनों का एक और क्रम उसी परिणाम की ओर ले जाता है: 
और चूंकि ODZ पर व्यंजक x - 2 धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मान ले सकता है, तब जब सम घातांक 14
लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर तरह से जोड़ा, घटाया और रूपांतरित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.
इन नियमों को जानना अनिवार्य है - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।
लघुगणक का जोड़ और घटाव
समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: log ए एक्सऔर लॉग ए आप... फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:
- लॉग ए एक्स+ लॉग ए आप= लॉग ए (एक्स · आप);
- लॉग ए एक्स- लॉग ए आप= लॉग ए (एक्स : आप).
तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें, यहाँ मुख्य बिंदु है - समान आधार... अगर कारण अलग हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!
ये सूत्र आपको एक लघुगणकीय व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों की गणना न की गई हो (पाठ "क्या एक लघुगणक है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और देखें:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9.
चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।
कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।
आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।
कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.
फिर से आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.
जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिनकी अलग से गणना नहीं की जाती है। लेकिन परिवर्तनों के बाद, काफी सामान्य संख्याएँ प्राप्त होती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। लेकिन क्या नियंत्रण - सभी गंभीरता में ऐसे भाव (कभी-कभी - व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।
घातांक को लघुगणक से हटाना
अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक का आधार या तर्क एक डिग्री पर आधारित है? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:
यह देखना आसान है कि अंतिम नियम पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन यह सब समान रूप से याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।
बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि लघुगणक का ODV देखा जाता है: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत भी सभी सूत्रों को लागू करना सीखें। आप लघुगणक के चिह्न के सामने संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।
कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 7 49 6.
आइए पहले सूत्र का उपयोग करके तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12
कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
[आंकड़ा शीर्षक]
ध्यान दें कि हर में लघुगणक होता है, जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 7 2. हमारे पास है:
[आंकड़ा शीर्षक] मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को कुछ स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ गायब हो गए? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। हमने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतकों को सामने लाया - हमें "तीन मंजिला" अंश मिला।
अब आइए मूल भिन्न को देखें। अंश और हर में एक ही संख्या होती है: लॉग 2 7. लॉग 2 7 0 के बाद से, हम भिन्न को रद्द कर सकते हैं - हर 2/4 रहता है। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर था: 2.
एक नई नींव की ओर बढ़ना
लॉगरिदम के जोड़ और घटाव के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से इस बात पर जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के लिए काम करते हैं। क्या होगा अगर कारण अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?
एक नई नींव में संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। आइए हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करें:
बता दें कि लघुगणक को लघुगणक दिया जाता है ए एक्स... फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी 1, समानता सत्य है:
[आंकड़ा शीर्षक]
विशेष रूप से, यदि हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:
[आंकड़ा शीर्षक]
दूसरे सूत्र से यह निम्नानुसार है कि आधार और लघुगणक के तर्क को स्वैप करना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में प्रकट होता है।
ये सूत्र पारंपरिक संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में शायद ही कभी पाए जाते हैं। यह आकलन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।
हालांकि, ऐसे कार्य हैं जो आम तौर पर एक नई नींव में संक्रमण के अलावा हल नहीं होते हैं। इनमें से एक जोड़े पर विचार करें:
कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.
ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्कों में सटीक अंश होते हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;
अब दूसरे लघुगणक को "फ्लिप" करते हैं:
[आंकड़ा शीर्षक]चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक के साथ व्यवहार किया।
कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 · lg 3.
पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक अंश हैं। आइए इसे लिख लें और मेट्रिक्स से छुटकारा पाएं:
[आंकड़ा शीर्षक]आइए अब नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:
[आंकड़ा शीर्षक]मूल लघुगणकीय पहचान
अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:
पहले मामले में, संख्या एनतर्क में खड़े होने की डिग्री का संकेतक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।
दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे कहते हैं कि: मूल लघुगणकीय पहचान।
वास्तव में, क्या होता है यदि संख्या बीऐसी शक्ति के लिए कि संख्या बीइस डिग्री के लिए नंबर देता है ए? यह सही है: आपको यही नंबर मिलता है ए... इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।
एक नए आधार पर संक्रमण के सूत्रों की तरह, बुनियादी लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।
कार्य। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
[आंकड़ा शीर्षक]
ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम तर्क से बाहर ले जाया गया। समान आधार से अंशों को गुणा करने के नियमों को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
[आंकड़ा शीर्षक]अगर किसी को पता नहीं है, तो यह परीक्षा से एक वास्तविक समस्या थी :)
लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य
अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें शायद ही गुण कहा जा सकता है - बल्कि, वे लॉगरिदम की परिभाषा के परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं का सामना करते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।
- लॉग ए ए= 1 लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार के लिए लघुगणक एइसी आधार से एक के बराबर है।
- लॉग ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन अगर तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! चूंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।
वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।
अब हम एक सामान्य दृष्टिकोण से लघुगणक वाले व्यंजकों को परिवर्तित करने पर विचार करेंगे। यहां हम लॉगरिदम के गुणों का उपयोग करके न केवल अभिव्यक्तियों के परिवर्तन का विश्लेषण करेंगे, बल्कि हम सामान्य लॉगरिदम के साथ अभिव्यक्तियों के परिवर्तन पर विचार करेंगे, जिसमें न केवल लॉगरिदम, बल्कि शक्तियां, अंश, जड़ें आदि भी शामिल हैं। हमेशा की तरह, हम समाधान के विस्तृत विवरण के साथ विशिष्ट उदाहरणों के साथ सभी सामग्री की आपूर्ति करेंगे।
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लघुगणक और लघुगणक व्यंजकों के साथ व्यंजक
भिन्नों के साथ क्रिया करना
पिछले पैराग्राफ में, हमने उन बुनियादी परिवर्तनों की जांच की जो लॉगरिदम वाले अलग-अलग अंशों के साथ किए जाते हैं। इन परिवर्तनों को, निश्चित रूप से, प्रत्येक व्यक्तिगत अंश के साथ किया जा सकता है, जो कि अधिक जटिल अभिव्यक्ति का हिस्सा है, उदाहरण के लिए, समान अंशों के योग, अंतर, उत्पाद और भागफल का प्रतिनिधित्व करना। लेकिन अलग-अलग भिन्नों के साथ काम करने के अलावा, इस प्रकार के भावों को परिवर्तित करने का अर्थ अक्सर भिन्नों के साथ संगत क्रियाओं को करना होता है। अगला, हम उन नियमों पर विचार करेंगे जिनके द्वारा ये क्रियाएं की जाती हैं।
5-6 ग्रेड से भी, हम उन नियमों को जानते हैं जिनके द्वारा उन्हें किया जाता है। लेख भिन्न के साथ क्रियाओं का सामान्य दृश्यहमने इन नियमों को साधारण भिन्न से सामान्य भिन्न A/B तक बढ़ा दिया है, जहां A और B कुछ संख्यात्मक, शाब्दिक या परिवर्तनशील व्यंजक हैं, और B समान रूप से शून्य के बराबर नहीं है। यह स्पष्ट है कि लघुगणक वाले भिन्न सामान्य भिन्नों के विशेष मामले हैं। और इस संबंध में, यह स्पष्ट है कि उनके रिकॉर्ड में लॉगरिदम वाले अंशों के साथ क्रियाएं समान नियमों के अनुसार की जाती हैं। अर्थात्:
- एक ही हर के साथ दो भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, अंशों को क्रमशः जोड़ें या घटाएं, और हर को वही छोड़ दें।
- अलग-अलग हर के साथ दो भिन्नों को जोड़ने या घटाने के लिए, आपको उन्हें एक सामान्य हर में लाना होगा और पिछले नियम के अनुसार उचित क्रियाएं करनी होंगी।
- दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको एक भिन्न लिखना होगा, जिसका अंश मूल भिन्नों के अंशों का गुणनफल है, और हर हर का गुणनफल है।
- एक भिन्न को भिन्न में विभाजित करने के लिए, आपको विभाजित अंश को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करना होगा, अर्थात अंश से, अंश और हर को पुनर्व्यवस्थित करके।
यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि लॉगरिदम वाले भिन्नों के साथ क्रिया कैसे करें।
उदाहरण।
लघुगणक वाले भिन्नों के साथ क्रिया करें: a), b) 
, वी) 
, जी) 
.
समाधान।
a) जोड़े गए भिन्नों के हर स्पष्ट रूप से समान हैं। इसलिए, समान हर के साथ भिन्न जोड़ने के नियम के अनुसार, अंश जोड़ें, और हर को वही छोड़ दें: 
.
बी) यहां हर अलग हैं। इसलिए, पहले आपको चाहिए भिन्नों को एक ही हर में कम करें... हमारे मामले में, भाजक पहले से ही उत्पादों के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं, और यह हमारे लिए रहता है कि हम पहले अंश के हर को लें और दूसरे अंश के हर से लापता कारकों को जोड़ें। यह हमें फॉर्म का एक आम भाजक देता है 
... इस मामले में, घटाए गए अंशों को क्रमशः लघुगणक और व्यंजक x 2 · (x + 1) के रूप में अतिरिक्त कारकों का उपयोग करके एक सामान्य हर में लाया जाता है। उसके बाद, समान हर के साथ अंशों का घटाव करना बाकी है, जो मुश्किल नहीं है।
तो समाधान यह है: 
ग) यह ज्ञात है कि भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक भिन्न होता है, जिसका अंश अंशों का गुणनफल होता है, और हर हर का गुणनफल होता है, इसलिए 
यह देखना आसान है कि क्या किया जा सकता है अंश में कमीदो से और दशमलव लघुगणक द्वारा, परिणामस्वरूप हमारे पास है 
.
d) हम भाजक भिन्न को उसके व्युत्क्रम भिन्न से प्रतिस्थापित करते हुए भिन्नों के विभाजन से गुणा की ओर जाते हैं। इसलिए 
परिणामी भिन्न के अंश को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है 
, जिससे आप अंश और हर के उभयनिष्ठ गुणनखंड - गुणन x को स्पष्ट रूप से देख सकते हैं, आप इसके द्वारा भिन्न को रद्द कर सकते हैं: 
उत्तर:
ए), बी) 
, वी) 
, जी) 
.
यह याद रखना चाहिए कि क्रियाओं के क्रम को ध्यान में रखते हुए अंशों के साथ क्रियाएं की जाती हैं: पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव, और यदि कोष्ठक हैं, तो कोष्ठक में क्रियाएं पहले की जाती हैं।
उदाहरण।
भिन्नों के साथ क्रिया करें 
.
समाधान।
सबसे पहले, हम कोष्ठकों में भिन्न जोड़ते हैं, जिसके बाद हम गुणा करेंगे: 
उत्तर:
इस बिंदु पर, यह तीन स्पष्ट रूप से कहना बाकी है, लेकिन एक ही समय में महत्वपूर्ण बिंदु:
लघुगणक गुणों का उपयोग करके व्यंजकों को परिवर्तित करना
अक्सर, लघुगणक के साथ अभिव्यक्तियों के परिवर्तन में लघुगणक की परिभाषा को व्यक्त करने वाली पहचान का उपयोग शामिल होता है और। उदाहरण के लिए, मूल लघुगणकीय पहचान a log ab = b, a> 0, a 1, b> 0 की ओर मुड़ते हुए, हम व्यंजक x − 5 log 5 7 को x − 7 के रूप में निरूपित कर सकते हैं और इसके लिए संक्रमण का सूत्र लघुगणक का नया आधार 
, जहां a> 0, a 1, b> 0, c> 0, c ≠ 1 व्यंजक से अंतर 1 - lnx तक जाना संभव बनाता है।
जड़ों, डिग्री, त्रिकोणमितीय पहचान, आदि के गुणों का अनुप्रयोग।
लॉगरिदम के साथ अभिव्यक्ति, वास्तव में, लॉगरिदम के अलावा, लगभग हमेशा डिग्री, जड़ें, त्रिकोणमितीय कार्य आदि होते हैं। यह स्पष्ट है कि इस तरह के भावों को बदलने के लिए, लघुगणक के गुणों के साथ-साथ शक्तियों के गुण, जड़ आदि की आवश्यकता हो सकती है। हमने अभिव्यक्तियों के परिवर्तन के लिए गुणों के प्रत्येक ब्लॉक के आवेदन का अलग-अलग विश्लेषण किया, संबंधित लेखों के लिंक साइट के अनुभाग में पाया जा सकता है www.site भाव और उनका परिवर्तन। यहां हम लॉगरिदम के संयोजन में गुणों के उपयोग पर कुछ उदाहरणों का समाधान दिखाएंगे।
उदाहरण।
अभिव्यक्ति को सरल बनाएं 
.
समाधान।
सबसे पहले, आइए भावों के रूपांतरण को जड़ों से करें। मूल अभिव्यक्ति के लिए चर x के ODZ पर (जो हमारे मामले में सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का एक सेट है), आप जड़ों से भिन्नात्मक घातांक वाले घातों तक जा सकते हैं, और फिर समान आधारों के साथ गुणा घात के गुण का उपयोग कर सकते हैं: 
... इस तरह, 
अब हम अंश को इस प्रकार निरूपित करते हैं 
(जो हमें डिग्री की संपत्ति को डिग्री तक बनाने की अनुमति देता है, यदि आवश्यक हो, तो शक्तियों के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों के परिवर्तन को देखें, साथ ही साथ संख्या का प्रतिनिधित्व करें, जो हमें वर्गों के योग को बदलने की अनुमति देता है एक के साथ एक ही तर्क की ज्या और कोज्या। तो हम लघुगणक के संकेत के तहत एक प्राप्त करते हैं। ए, जैसा कि आप जानते हैं, एक का लघुगणक शून्य है।
आइए किए गए परिवर्तनों को लिखें: 
घन में शून्य शून्य है, इसलिए हम व्यंजक को पास करते हैं 
.
एक अंश, जिसका अंश शून्य है, और हर गैर-शून्य है (हमारे मामले में, यह वास्तव में मामला है, क्योंकि यह साबित करना आसान है कि प्राकृतिक लघुगणक के संकेत के तहत अभिव्यक्ति का मूल्य एक से अलग है) शून्य के बराबर है। इस तरह, 
एक ऋणात्मक संख्या से एक विषम डिग्री की जड़ को निर्धारित करने के आधार पर आगे के परिवर्तन किए जाते हैं: 
.
चूँकि 2 15 एक धनात्मक संख्या है, आप मूल के गुणों को लागू कर सकते हैं, जिससे अंतिम परिणाम प्राप्त होता है: 
.
उत्तर:
