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कौन सी रेखा समीकरण x y से निर्धारित होती है। समतल पर एक रेखा का समीकरण

फॉर्म के संबंध पर विचार करें एफ (एक्स, वाई) = 0चर को जोड़ना एक्सतथा पर. समानता (1) कहलाएगी दो चर x, y, के साथ समीकरणयदि यह समानता संख्याओं के सभी युग्मों के लिए सत्य नहीं है एक्सतथा पर. समीकरण उदाहरण: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,

पाप x + पाप y - 1 = 0.

यदि संख्या x और y के सभी युग्मों के लिए (1) सत्य है, तो इसे कहते हैं पहचान. पहचान उदाहरण: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0।

समीकरण (1) कहा जाएगा बिंदुओं के समुच्चय का समीकरण (x; y),यदि यह समीकरण निर्देशांक से संतुष्ट है एक्सतथा परसमुच्चय का कोई भी बिंदु और किसी ऐसे बिंदु के निर्देशांकों को संतुष्ट नहीं करता जो इस समुच्चय से संबंधित नहीं हैं।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण अवधारणा एक रेखा के समीकरण की अवधारणा है। एक आयताकार समन्वय प्रणाली और कुछ रेखा दें α.

परिभाषा।समीकरण (1) को रेखा समीकरण कहा जाता है α (बनाई गई समन्वय प्रणाली में), यदि यह समीकरण निर्देशांक से संतुष्ट है एक्सतथा पररेखा पर कोई बिंदु α , और किसी भी बिंदु के निर्देशांक को संतुष्ट नहीं करते जो इस रेखा पर स्थित नहीं है।

अगर (1) रेखा समीकरण है α, तब हम कहेंगे कि समीकरण (1) निर्धारित करता है (सेट)रेखा α.

रेखा α न केवल फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, बल्कि फॉर्म के समीकरण द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है

एफ (पी, ) = 0, ध्रुवीय निर्देशांक युक्त।

• ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण;

मान लीजिए कि कुछ सीधी रेखा है, जो अक्ष के लंबवत नहीं है ओह. चलो कॉल करो झुकाव कोणअक्ष को दी गई रेखा ओहइंजेक्शन α जिससे अक्ष को घुमाया जा सके ओहताकि सकारात्मक दिशा सीधी रेखा की दिशाओं में से एक के साथ मेल खाती हो। अक्ष पर एक सीधी रेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा ओहबुलाया ढलान कारकयह सीधी रेखा और अक्षर द्वारा निरूपित प्रति.

	के = टीजी α
		(1)

हम इस सरल रेखा का समीकरण व्युत्पन्न करते हैं, यदि हम इसकी प्रतिऔर खंड में मूल्य ओवी, जिसे वह अक्ष पर काटती है कहां.

(2)

वाई = केएक्स + बी

द्वारा निरूपित करें एम"विमान का बिंदु (एक्स; वाई)।यदि आप सीधा ड्रा करते हैं बी एनतथा समुद्री मील दूर, कुल्हाड़ियों के समानांतर, तो आर बीएनएम -आयताकार। टी। एमसी सी बीएम <=>जब मान समुद्री मील दूरतथा बी एनशर्त को पूरा करें: . लेकिन एनएम = सीएम-सीएन = सीएम-ओबी = वाई-बी, बीएन = एक्स=> दिया गया (1), हम पाते हैं कि बिंदु एम (एक्स; वाई) सीइस लाइन पर<=>जब इसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं: =>

समीकरण (2) कहा जाता है एक ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।अगर के = 0, तो रेखा अक्ष के समानांतर है ओहऔर इसका समीकरण है वाई = बी.

• दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण;

(4)

दो अंक दिए जाने दें एम 1 (एक्स 1; वाई 1)तथा एम 2 (एक्स 2; वाई 2)।(3) बिंदु में लेने के बाद एम (एक्स; वाई)प्रति एम 2 (एक्स 2; वाई 2),हम पाते हैं y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1)।परिभाषित कअंतिम समानता से और इसे समीकरण (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम सीधी रेखा का वांछित समीकरण प्राप्त करते हैं: . यह समीकरण है अगर वाई 1 वाई 2, के रूप में लिखा जा सकता है:

अगर वाई 1 = वाई 2, तो वांछित सीधी रेखा के समीकरण का रूप है वाई = वाई 1. इस मामले में, रेखा अक्ष के समानांतर है ओह. अगर एक्स 1 = एक्स 2, फिर बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा एम 1तथा एम 2, अक्ष के समानांतर कहां, इसके समीकरण का रूप है एक्स = एक्स 1.

• दिए गए ढलान के साथ दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण;

(3)

कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0

प्रमेय।एक आयताकार समन्वय प्रणाली में ओहुकिसी भी सीधी रेखा को पहली डिग्री के समीकरण द्वारा दिया जाता है:

और, इसके विपरीत, मनमानी गुणांक के लिए समीकरण (5) ए, बी, सी (एतथा बी 0एक साथ) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कुछ रेखा को परिभाषित करता है ओह।

सबूत।

आइए पहले पहले दावे को साबित करें। यदि रेखा लंबवत नहीं है ओह,तो यह पहली डिग्री के समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है: वाई = केएक्स + बी, अर्थात। फॉर्म का समीकरण (5), जहां

ए = के, बी = -1तथा सी = बी।यदि रेखा लंबवत है ओह,तब उसके सभी बिंदुओं का मान के बराबर भुजिका होती है α अक्ष पर एक सीधी रेखा द्वारा काटा गया खंड ओह।

इस रेखा के समीकरण का रूप है एक्स = α,वे। फॉर्म (5) का प्रथम-डिग्री समीकरण भी है, जहां ए \u003d 1, बी \u003d 0, सी \u003d - α।यह पहला दावा साबित करता है।

आइए हम विलोम कथन को सिद्ध करें। चलो समीकरण (5) दिया गया है, और कम से कम एक गुणांक एतथा बी 0.

अगर बी 0, तब (5) के रूप में लिखा जा सकता है। झुका हुआ , हमें समीकरण मिलता है वाई = केएक्स + बी, अर्थात। फॉर्म (2) का एक समीकरण जो एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।

अगर बी = 0, फिर ए 0और (5) रूप लेता है। के माध्यम से निरूपित करना α, हम पाते हैं

एक्स = α, अर्थात। एक सीधी रेखा के लंबवत ऑक्स का समीकरण।

पहली डिग्री के समीकरण द्वारा एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित रेखाएं कहलाती हैं पहली आदेश पंक्तियाँ।

समीकरण टाइप करें आह + वू + सी = 0अधूरा है, अर्थात् गुणांक में से एक शून्य के बराबर है।

1) सी = 0; आह + वू = 0और मूल से गुजरने वाली एक रेखा को परिभाषित करता है।

2) बी = 0 (ए ≠ 0); समीकरण कुल्हाड़ी + सी = 0 ओ.यू.

3) ए = 0 (बी ≠ 0); वू + सी = 0और समानांतर रेखा को परिभाषित करता है ओह।

समीकरण (6) को "खंडों में" एक सीधी रेखा का समीकरण कहा जाता है। नंबर एतथा बीउन खंडों के मान हैं जिन्हें सीधी रेखा समन्वय अक्षों पर काटती है। समीकरण का यह रूप एक सीधी रेखा के ज्यामितीय निर्माण के लिए सुविधाजनक है।

• एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण;

x + Вy + С = 0 किसी सीधी रेखा का सामान्य समीकरण है, और (5) एक्सक्योंकि α + y पाप α - पी = 0(7)

इसका सामान्य समीकरण।

चूँकि समीकरण (5) और (7) एक ही सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं, तो ( ए 1x + बी 1y + सी 1 \u003d 0तथा

ए 2x + बी 2y + सी 2 = 0 => ) इन समीकरणों के गुणांक आनुपातिक हैं। इसका अर्थ है कि समीकरण (5) के सभी पदों को किसी गुणनखंड M से गुणा करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है एमए एक्स + एमबी वाई + एमएस = 0, समीकरण (7) के साथ मेल खाता है यानी।

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

M गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, हम इनमें से पहले दो समानताओं का वर्ग करते हैं और जोड़ते हैं:

एम 2 (ए 2 + बी 2) \u003d क्योंकि 2 α + पाप 2 α \u003d 1

(9)

9. एक रेखा के समीकरण की अवधारणा।

एक समीकरण का उपयोग करके एक रेखा को परिभाषित करें

फॉर्म एफ की समानता (एक्स, वाई) = 0दो चरों वाला समीकरण कहलाता है एक्स, वाई,यदि यह संख्याओं के सभी युग्मों के लिए सत्य नहीं है एक्स, वाई।वे दो नंबर कहते हैं एक्स = एक्स 0 , वाई = वाई 0, फॉर्म के कुछ समीकरण को संतुष्ट करें एफ (एक्स, वाई) = 0,यदि चर के बजाय इन नंबरों को प्रतिस्थापित करते समय एक्सतथा परसमीकरण में, इसका बायां पक्ष गायब हो जाता है।

किसी दी गई रेखा का समीकरण (सम्बद्ध समन्वय प्रणाली में) दो चरों वाला एक ऐसा समीकरण होता है, जो इस रेखा पर पड़े प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, और उस पर न पड़े प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

भविष्य में, अभिव्यक्ति के बजाय "रेखा का समीकरण दिया" एफ (एक्स, y) = 0" हम अक्सर छोटा कहेंगे: दी गई एक पंक्ति एफ (एक्स, वाई) = 0।

दो रेखाओं के समीकरणों को देखते हुए एफ (एक्स, वाई) = 0तथा (एक्स, वाई) = क्यू,तब प्रणाली का संयुक्त समाधान

उनके सभी प्रतिच्छेदन बिंदु देता है। अधिक सटीक रूप से, संख्याओं की प्रत्येक जोड़ी, जो इस प्रणाली का एक संयुक्त समाधान है, प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक को निर्धारित करती है।

1)एक्स 2 +y 2 = 8, एक्स-वाई = 0;

2) एक्स 2 +y 2 -16एक्स+4पर+18 = 0, एक्स + वाई= 0;

3) एक्स 2 +y 2 -2एक्स+4पर -3 = 0, एक्स 2 + y 2 = 25;

4) एक्स 2 +y 2 -8एक्स+10y+40 = 0, एक्स 2 + y 2 = 4.

163. ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में अंक दिए गए हैं

निर्धारित करें कि इनमें से कौन सा बिंदु ध्रुवीय निर्देशांक  = 2 cos में समीकरण द्वारा परिभाषित रेखा पर स्थित है, और कौन सा उस पर नहीं है। इस समीकरण से कौन सी रेखा निर्धारित होती है? (इसे ड्राइंग पर दिखाएं :)

164. समीकरण = . द्वारा परिभाषित रेखा पर
, ऐसे बिंदु खोजें जिनके ध्रुवीय कोण निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) ,बी) - , सी) 0, डी) . इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है?

(इसे ड्राइंग पर बनाएं।)

165. समीकरण = . द्वारा परिभाषित रेखा पर
, ऐसे बिंदु खोजें जिनकी ध्रुवीय त्रिज्याएँ निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) 1, b) 2, c)
. इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं।)

166. निर्धारित करें कि निम्नलिखित समीकरणों द्वारा ध्रुवीय निर्देशांक में कौन सी रेखाएं निर्धारित की जाती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएं):

1) = 5; 2) = ; 3) = ; 4) cos = 2; 5) पाप  = 1;

6) = 6 cos ; 7) = 10 पाप ; 8) पाप =

इस प्रकार, अगिप। = s/2 = 2 और bhyp.2 = s2 - agip.2 = 16 - 4 = 12. x2 y2 -7, 0) और डायरेक्ट्रिक्स समीकरण x - 7 = 0. हल डायरेक्ट्रिक्स समीकरण से हमें x = - पी/2 = 7 या पी = -14। इस प्रकार, अभीष्ट परवलय का समीकरण 2 y = -28x है। कार्य 12. निर्धारित करें कि निम्नलिखित समीकरणों द्वारा कौन सी रेखाएँ निर्धारित की जाती हैं। चित्र बनाओ। 3 2 1. y = 7 - x - 6 x + 13, y< 7, x ∈ R. 2 Решение 3 2 y−7=− x − 6 x + 13. Возводим обе части 2 уравнения в квадрат: 9 2 (y − 7) 2 = 4 (x − 6 x + 13) или 4 (y − 7) = (x 2 − 6 x + 13). 2 9 Выделяем в правой части полный квадрат: 4 (x − 3) 2 (y − 7) 2 (y − 7) = (x − 3) + 4 или 2 2 − = −1. 9 4 9 Это – сопряженная гипербола. О′(3, 7), полуоси а = 2, b = 3. Заданное же уравнение определяет ветвь гиперболы, расположенную под прямой y – 7 = 0, т.к. y < 7. 1 y +1 2. x = 1 − . 2 2 Решение Область допустимых значений (х, у) определяется условиями ⎧ y +1 ⎪ ≥ 0, ⎧ y ≥ −1, ⎨ 2 → ⎨ ⎪ 1 − x ≥ 0, ⎩ x ≤ 1. ⎩ (y + 1)/2 = 4⋅(1 – x)2 → y + 1 = 8⋅(1 – x)2. Искомая кривая – часть параболы с вершиной в точке (1, -1). 41 3. y = −2 − 9 − x 2 + 8 x . Решение Искомая кривая – часть окружности: (y + 2)2 + (x – 4)2 = 52, y ≤ -2, x ∈ [-1, 9]. 4. y2 – x2 = 0. y Решение y=-x y=x (y – x)⋅(y + x) = 0 – две пересекающиеся прямые. x 0 Задача 13. Какую линию определяет уравнение x2 + y2 = x? Решение Запишем уравнение в виде x2 – x + y2 = 0. Выделим полный квадрат из слагаемых, содержащих х: x2 – x = (x – 1/2)2 – 1/4. 2 ⎛ 1⎞ 1 Уравнение принимает вид ⎜ x − ⎟ + y 2 = ⎝ 2⎠ 4 и определяет окружность с центром в точке (1/2, 0) и радиусом 1/2. Задача 14. Преобразовать уравнение x2 – y2 = a2 поворотом осей на 45° против часовой стрелки. Решение Так как α = -45°, то cos α = 2 2, sin α = − 2 2. Отсюда преобразование поворота принимает вид (см. п.4.2): ⎧ x = 2 2 ⋅ (x′ + y′) , ⎪ ⎨ ⎪ y = 2 2 ⋅ (y′ − x′) . ⎩ Подстановка в исходное уравнение дает х′у′ = а2/2. Проиллюстрируем приведение общих уравнений прямых второго порядка к каноническому виду на нескольких примерах, иллюстрирующих разные схемы преобразований. Задача 15. Привести уравнение 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0 к каноническому виду и построить кривую. Решение Сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты: (5x2 – 30x) + (9y2 + 18y) +9 = 0, или 5(x2 – 6x) + 9(y2 + 2y) +9 = 0. 42 y y′ Дополняем члены в скобках до полных квадратов: x 5(x2 – 6x + 9 – 9) + 9(y2 + 2y + 1 – 1) +9 = 0, или 0 5(x – 3)2 + 9(y + 1)2 = 45. 01 x′ Обозначаем x′ = x – 3, y′ = y + 1, x0 = 3, y0 = -1, то есть точка О1(3, -1) – центр кривой. Уравнение в новой системе координат принимает вид: x′2 y′2 5 x′ + 9 y′ = 45 → 2 2 + = 1 и определяет эллипс с полуосями 9 5 а = 3, b = 5,который в исходной системе координат имеет центр в точке О1(3, -1). 5 2 3 7 Задача 16. Определить вид кривой x + xy + y 2 = 2. 4 2 4 Решение Определим угол поворота осей по формуле (7) п.4.4: π 5 7 A = ,C = , B = 4 4 4 3 1 , A ≠ C и ϕ = arctg 2 2B 1 (= arctg − 3 = − . A−C 2 6) Подвергнем уравнение кривой преобразованию: ⎧ 3 1 ⎪ x = x′ cos ϕ − y′ sin ϕ = x′ ⎪ + y′ , 2 2 ⎨ ⎪ y = x′ sin ϕ + y′ cos ϕ = − x′ 1 + y′ 3 ⎪ ⎩ 2 2 и получим уравнение эллипса 2 2 5⎛ 3 1⎞ 3⎛ 3 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞ 7⎛ 1 3 ⎞ ⎜ x′ + y′ ⎟ + ⎜ x′ + y′ ⎟⎜ − x′ + y′ ⎟ + ⎜ − x′ + y′ ⎟ = 2 . 4⎝ 2 2⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠ 4⎝ 2 2 ⎠ x′ 2 + 2y′ 2 = 2. Задача 17. Установить, какую линию определяет уравнение x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0. Решение Перенесем начало координат в такую точку О1(х0, у0), чтобы уравнение не содержало х′ и у′ в первой степени. Это соответствует преобразованию координат вида (см. п.4.1): ⎧ x = x′ + x0 , ⎨ ⎩ y = y′ + y0 . Подстановка в исходное уравнение дает (x′ + x0)2 + (x′ + x0)(y′ + y0) + (y′ + y0)2 – 2(x′ + x0) + 3(y′ + y0) = 0 или x′2 + x′y′ + y′2 + (2x0 + y0 - 2)x′ + (x0 + 2y0 + 3)y′ + x02 + x0y0 + y02 - 2x0 + 3y0 =0. Положим 2x0 + y0 – 2 = 0, x0 + 2y0 + 3 = 0. 43 Решение полученной системы уравнений: x0 = 7/3 и y0 = -8/3. Таким образом, координаты нового начала координат O1(7/3, -8/3), а уравнение принимает вид x′2 + x′y′ + y′ 2 = 93/25. Повернем оси координат на такой угол α, чтобы исчез член х′у′. Подвергнем последнее уравнение преобразованию (см. п.4.2): ⎧ x′ = x′′ cos α − y′′ sin α, ⎨ ⎩ y′ = x′′ sin α + y′′ cos α и получим (cos2α + sinα⋅cosα + sin2α)⋅x′′2 + y ′′ y y′ x′′ (cos2α - sin2α)⋅x′′y′′ + 0 x + (sin2α - sinα⋅cosα + cos2α)⋅y′′ 2 = 93/25. Полагая cos2α - sin2α = 0, имеем tg2α = 1. α x′ Следовательно, α1,2 = ±45°. Возьмем α = 45°, cos45° = sin45° = 2 2 . 01 После соответствующих вычислений получаем 3 2 1 2 93 x ′′ + y ′′ = . 2 2 25 x′′2 y′′2 Итак, + =1 62 25 186 25 – уравнение эллипса с полуосями a = 62 5 ≈ 1,5; b = 186 5 ≈ 2,7 в дважды штрихованной системе координат, получаемой из исходной параллельным переносом осей координат в точку О1(7/3, -8/3) и последующим поворотом на угол 45° против часовой стрелки. Уравнение x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0 приведено к каноническому виду x′′2 y′′2 + 2 = 1. a2 b Задача 18. Привести к каноническому виду уравнение 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = 0. Решение Система уравнений для нахождения центра кривой (формула (6) п.4.4) ⎧ 4 x0 − 2 y0 − 1 = 0, ⎨ несовместна, ⎩ −2 x0 + y0 − 7 = 0 значит, данная кривая центра не имеет. Не меняя начала координат, повернем оси на некоторый угол α, соответствующие преобразования координат имеют ⎧ x = x′ cos α − y′ sin α, вид: ⎨ ⎩ y = x′ sin α + y′ cos α. 44 Перейдем в левой части уравнения к новым координатам: 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = (4cos2α - 4cosα⋅sinα + sin2α)⋅x′2 + + 2⋅(-4sinα⋅cosα - 2cos2α + 2sin2α + sinα⋅cosα)⋅x′y′ + + (4sin2α + 4sinα⋅cosα + cos2α)⋅y′2 + + 2⋅(-cosα - 7sinα)⋅x′ + 2⋅(sinα - 7cosα)⋅y′ + 7. (*) Постараемся теперь подобрать угол α так, чтобы коэффициент при х′у′ обратился в нуль. Для этого нам придется решить тригонометрическое уравнение -4sinα⋅cosα - 2cos2α + 2sin2α + sinα⋅cosα = 0. Имеем 2sin2α - 3sinα⋅cosα - 2cos2α = 0, или 2tg2α - 3tgα - 2 = 0. Отсюда tgα = 2, или tgα = -1/2. Возьмем первое решение, что соответствует повороту осей на острый угол. Зная tgα, вычислим cosα и sinα: 1 1 tg α 2 cos α = = , sin α = = . 1 + tg 2α 5 1 + tg 2α 5 Отсюда, и учитывая (*), находим уравнение данной кривой в системе х′,у′: 5 y′2 − 6 5 x′ − 2 5 y′ + 7 = 0. (**) Дальнейшее упрощение уравнения (**) производится при помощи параллельного перенесения осей Ох′, Оу′. Перепишем уравнение (**) следующим образом: 5 5(y′2 − 2 y′) − 6 5 x′ + 7 = 0. 5 Дополнив выражение в первой скобке до полного квадрата разности и компенсируя это дополнение надлежащим слагаемым, получим: 2 ⎛ 5⎞ 6 5⎛ 5⎞ ⎜ y′ − ⎟ − ⎜ x′ − ⎟ = 0. ⎝ 5 ⎠ 5 ⎝ 5 ⎠ Введем теперь еще новые координаты х′′,у′′, полагая x′ = x′′ + 5 5, y′ = y′′ + 5 5 , что соответствует параллельному перемещению осей на величину 5 5 в направлении оси Ох′ и на величину 5 5 в направлении оси Оу′. В координатах х′′у′′ уравнение данной линии принимает вид 6 5 2 y′′ = x′′ . 5 Это есть каноническое уравнение параболы с 3 5 параметром p = и с вершиной в начале координат системы х′′у′′. Парабола 5 расположена симметрично относительно оси х′′ и бесконечно простирается в 45 положительном направлении этой оси. Координаты вершины в системе х′у′ ⎛ 5 5⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎜ ; ⎟ а в системе ху ⎜ − ; ⎟ . ⎝ 5 5 ⎠ ⎝ 5 5⎠ Задача 19. Какую линию определяет уравнение 4x2 - 4xy + y2 + 4x - 2y - 3 =0? Решение Система для нахождения центра кривой в данном случае имеет вид: ⎧ 4 x0 − 2 y0 + 2 = 0, y 2x-y+3=0 ⎨ 2x-y+1=0 ⎩ −2 x0 + y0 − 1 = 0. Эта система равносильна одному уравнению 2х0 – у0 2x-y-1=0 + 1 = 0, следовательно, линия имеет бесконечно много центров, составляющих прямую 2х – у + 1= 0. x Заметим, что левая часть данного уравнения 0 разлагается на множители первой степени: 4х2 – 4ху + у2 + 4х –2у –3 = = (2х – у +3)(2х – у – 1). Значит, рассматриваемая линия есть пара параллельных прямых: 2ху – у +3 = 0 и 2х – у – 1 = 0. Задача 20 1. Уравнение 5х2 + 6ху + 5у2 – 4х + 4у + 12 = 0 x′2 y′2 приводится к каноническому виду х′ 2 + 4у′ 2 + 4 = 0, или + = −1. 4 1 Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса. Однако оно не определяет на плоскости никакого действительного образа, так как для любых действительных чисел х′,у′ левая часть его не отрицательна, а cправа стоит –1. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями мнимого эллипса. 2. Уравнение 5х2 + 6ху + 5у2 – 4х + 4у + 4 = 0 x′2 y′2 приводится к каноническому виду х′ 2 + 4у′ 2 = 0, или + = 0. 4 1 Уравнение также похоже на каноническое уравнение эллипса, но определяет не эллипс, а единственную точку: х′ = 0, у′ = 0. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями вырожденного эллипса. Задача 21. Составить уравнение параболы, если ее фокус находится в точке F(2, -1) и уравнение директрисы D: x – y – 1 = 0. Решение Пусть в некоторой системе координат х′О1у′ парабола имеет канонический вид у′2 = 2рх′. Если прямая у = х – 1 является ее директрисой, то оси системы координат х′О1у′ параллельны директрисе. 46 Координаты вершины параболы, совпадающей с новым началом координат О1, найдем как середину отрезка нормали к директрисе D, проходящей через фокус. Итак, ось О1х′ описывается уравнением у = -х + b, -1 = -2 + b. Откуда b = 1 и О1х′: у = -х + 1. Координаты точки K пересечения директрисы и оси О1х′ находим из условия: ⎧ y = x −1 ⎨ , → x К = 1, y K = 0. ⎩ y = −x + 1 Координаты нового начала координат О1(х0, у0): 1+ 2 3 −1 + 0 1 x0 = = ; y0 = = − . Оси новой системы координат повернуты 2 2 2 2 относительно старой на угол (-45°). Найдем р = KF = 2. Итак, уравнение параболы в старой системе координат получим, если подвергнем уравнение параболы y′ 2 = 2 2 ⋅x′ преобразованию (см. формулу (5) п.4.3): ⎧ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎧ 2 ⎪ x′ = ⎜ x − 2 ⎟ cos(−45°) + ⎜ y + 2 ⎟ sin(−45°), ⎪ x′ = (x − y − 2), ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x − sin(−45°) + ⎛ y + cos(−45°) 3⎞ 1⎞ ⎪ y′ = 2 (x + y − 1), ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎩ 2 1 2 y′2 = 2 2 ⋅ x′ ⇒ (x + y − 1) 2 = 2 2 ⋅ (x − y − 2), 2 2 откуда искомое уравнение параболы имеет вид: х2 + 2ху + у2 – 6х + 2у + 9 = 0. Задача 22. Написать уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е = 5 , фокус F(2, -3) и уравнение директрисы y′ y D1 3х – у + 3 = 0. Решение 3 B Уравнение директрисы D1: у = 3х + 3 позволяет заключить, что новая ось координат Ох′ имеет вид y = (-1/3)x + b, проходит через точку F(2, - -7 -1 α x A 0 1 3), значит, −3 = − ⋅ 2 + b, откуда b = -7/3 и Ох′ O1 K 3 a/ 5 -7/3 1 7 F x′ задается уравнением y = − x − . 3 3 Пусть начало новой системы координат находится в точке О1(х0, у0). Найдем координаты точки К как координаты точки пересечения директрисы D1 и 47 ⎧3 x − y + 3 = 0, 8 9 оси Ох′′ из системы ⎨ → xK = − , y K = − . ⎩3y + x + 7 = 0 5 5 Геометрические свойства гиперболы, которая в новых осях координат x′2 y′2 Ох′у′ имеет вид 2 − 2 = 1, позволяют найти КF как расстояние от фокуса a b F(2, -3) до директрисы D1: 3х – у + 3 = 0. 3 ⋅ (2) − (−3) + 3 12 a a KF = = , O1K = = , O1F = c = a 2 + b 2 , 9 +1 10 e 5 a 12 O1K = O1F − KF ⇒ = a 2 + b2 − , 5 10 b2 так как e = 1 + 2 = 5, b 2 = 4a 2 . Значение а находим из уравнения a a 12 3 =a 5− и получаем a = . При этом b2 = 18. 5 10 2 x′2 y′2 Уравнение гиперболы в новых координатах имеет вид − = 1. 9 2 18 Координаты нового центра найдем, зная что точка К делит отрезок О1F в OK a 5 1 отношении λ = 1 = = : KF 12 10 4 ⎧ 1 ⎪ x0 + x F 4 5 ⎪ xK = , x0 = − , ⎪ 1+1 4 2 ⎨ откуда ⎪ 1 3 y0 + y F y0 = − . ⎪y = 4 , 2 ⎪ K ⎩ 1+1 4 Из ∆ АВО: sinα = 1 10 , cosα = 3 10 . Так как поворот совершается на угол (-α): sin(-α) = − 1 10 , cos(-α) = 3 10 , то формулы преобразований координат (см. (5) в п.4.3) принимают вид: ⎧ ⎛ 5⎞ 3 ⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎧ ′ 1 ⎪ ⎪ x′ = ⎜ x + ⎟ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎝ + ⎜ y + ⎟⎜ − 2 ⎠ ⎝ 10 ⎠⎟, ⎪ x = 10 (3x − y + 6) , ⎪ ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x + 5 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ + ⎛ y + 3 ⎞ 3 , ⎪ y′ = 1 (x + 3 y + 7) ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎩ 10 1 1 (3x − y + 6) (x + 3y + 7) 2 2 и уравнение гиперболы принимает вид 10 − 10 = 1, 92 18 4(3х – у +6)2 – (х + 3у + 7)2 = 180 или 7х2 – у2 – 6ху – 18у + 26х + 17 = 0. 48 Задача 23. Найти полярный угол отрезка, направленного из точки (5, 3) в точку (6, 2 3). Решение ρ = (6 − 5) 2 + (2 3 − 3) 2 = 2, cos ϕ = 1 2, sin ϕ = 3 2 ⇒ ϕ = 60°. (см. п.5.2). Задача 24. Составить уравнение прямой в полярных координатах, считая известными расстояние р от полюса до прямой и угол α от полярной оси до луча, направленного из полюса перпендикулярно к прямой. M (ρ, ϕ) Решение L Известны ОР = р, ∠ РОА = α, произвольная точка М P прямой L имеет координаты (ρ, ϕ). β Точка М лежит на прямой L в том и только в том случае, α когда проекция точки М на луч ОР совпадает с точкой Р, O A т.е. когда р = ρ⋅cosβ, где ∠ РОМ = β. Угол ϕ = α + β и уравнение прямой L принимает вид ρ⋅cos(ϕ - α) = p. Задача 25. Найти полярные уравнения указанных кривых: 1). x = a, a >0 हल cosϕ = a → ρ = a/cosϕ। ए 0 2)। y = b, b > 0 b हल sinϕ = b → = b/sinϕ। 0 3)। (x2 + y2)2 = a2xy हल: xy ≥ 0, a2 ρ = a cos sin ϕ → ρ = sin 2ϕ, sin 2ϕ 0 । 4 2 2 2 2 ध्रुवीय निर्देशांक में वक्र के समीकरण का रूप ρ = sin 2ϕ , ϕ∈ [ 0, π 2] [ , 3π 2] है और एक 2-पंखुड़ी वाला गुलाब परिभाषित करता है: समस्या 26. रेखाओं का निर्माण करें ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में दिया गया: एक)। = 2a⋅sinϕ, a > 0. हल y x 2 + y 2 = 2a , x + y 2 2 a 2 2 x + y - 2ay = 0, 0 49 x2 + (y - a)2 = a2। 2))। = 2 + cosϕ। रेखा समाधान प्राप्त होता है यदि सर्कल = cosϕ के प्रत्येक त्रिज्या वेक्टर को दो से बढ़ा दिया जाता है। नियंत्रण बिंदुओं के निर्देशांक खोजें: = 0, = 3; = /2, = 2; = , = 1. 9 3)। ρ = 4 − 5cos हल 4 - 5⋅cosϕ > 0, cosϕ< 4/5, ϕ ∈ (arccos(4/5), 2π – arccos(4/5)). При этом ρ⋅(4 - 5⋅cosϕ) = 9. Переходя к декартовым координатам, получаем ⎛ x ⎞ x2 + y2 ⎜ 4 − 5 ⎟ = 9, ⎜ x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠ 16 (x 2 + y 2) = (5 x + 9) , 2 4 x 2 + y 2 = 5 x + 9, 16x2 + 16y2 = 25x2 + 90x + 81, 9x2 + 90x – 16y2 +81 = 0, 2 2 (x + 5) 2 y 2 9(x + 5) – 16y = 144 → − 2 = 1 – правая ветвь 42 3 гиперболы при указанных ϕ. Кривую можно было построить по точкам, например, при ϕ = π ρ = 9/10. 4). ρ2⋅sin2ϕ = а2. Решение sin 2ϕ ≥ 0, ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2]. a ρ= . sin 2ϕ Перейдем к декартовым координатам, учтем, что ρ2 2 xy sin 2ϕ = 2 cos ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ 2 = 2 , ρ x + y2 a2 2 тогда кривая принимает вид гиперболы: y = . x Задача 27. Какие линии задаются следующими параметрическими уравне- ниями: 50

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा है समतल पर एक रेखा का समीकरण.

परिभाषा। समतल पर एक रेखा (वक्र) का समीकरण ऑक्सीएक समीकरण कहा जाता है जो निर्देशांक को संतुष्ट करता है एक्सतथा आपइस रेखा के प्रत्येक बिंदु और किसी भी बिंदु के निर्देशांक को संतुष्ट नहीं करते हैं जो इस रेखा पर स्थित नहीं है (चित्र 1)।

सामान्य तौर पर, रेखा समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: एफ (एक्स, वाई) = 0या वाई = एफ (एक्स)।

उदाहरण।बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए ए (-4; 2), बी (-2; -6)।

समाधान।अगर एम (एक्स; वाई)वांछित रेखा का एक मनमाना बिंदु है (चित्र 2), तो हमारे पास है एएम = बीएमया

परिवर्तन के बाद, हम प्राप्त करते हैं

जाहिर है, यह एक सीधी रेखा का समीकरण है। मोहम्मद- खंड के मध्य से लंबवत बहाल अब.

समतल पर सभी रेखाओं में से, विशेष महत्व का है सीधी रेखा. यह व्यवहार में सबसे आम रैखिक आर्थिक और गणितीय मॉडल में उपयोग किए जाने वाले रैखिक फ़ंक्शन का एक ग्राफ है।

एक सीधी रेखा के विभिन्न प्रकार के समीकरण:

1) ढलान k और प्रारंभिक कोटि b . के साथ:

वाई = केएक्स + बी,

सीधी रेखा और अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच का कोण कहाँ है ओह(चित्र 3)।

विशेष स्थितियां:

- रेखा गुजरती है मूल(अंजीर। 4):

– द्विभाजकपहला और तीसरा, दूसरा और चौथा समन्वय कोण:

वाई=+एक्स, वाई=-एक्स;

- सीधा एक्स-अक्ष के समानांतरऔर खुद OX अक्ष(चित्र 5):

वाई = बी, वाई = 0;

- सीधा ओए अक्ष के समानांतरऔर खुद ओए अक्ष(चित्र 6):

एक्स = ए, एक्स = 0;

2) इस दिशा में गुजरना (ढलान के साथ) k दिए गए बिंदु के माध्यम से (चित्र 7) :

.

यदि उपरोक्त समीकरण में कएक मनमाना संख्या है, तो समीकरण परिभाषित करता है सीधी रेखाओं का बंडलबिंदु से गुजरना , अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को छोड़कर ओह।

उदाहरणए(3,-2):

a) अक्ष के कोण पर ओह;

बी) अक्ष के समानांतर ओए।

समाधान.

ए) , y-(-2)=-1(x-3)या वाई=-एक्स+1;

बी) एक्स = 3।

3) दिए गए दो बिंदुओं से होकर गुजरना (चित्र 8) :

.

उदाहरण. बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए ए(-5.4), बी(3,-2)।

समाधान. ,

4) खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण (अंजीर। 9):

कहाँ पे ए, बी-क्रमशः कुल्हाड़ियों पर कटे हुए खंड ऑक्सतथा ओह।

उदाहरण. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें ए(2,-1), यदि यह रेखा धनात्मक अर्धअक्ष से कट जाती है ओएएक खंड धनात्मक अर्ध-अक्ष से दोगुना लंबा है ऑक्स(चित्र 10)।

समाधान. शर्त के अनुसार बी=2ए, फिर । बिंदु के निर्देशांक बदलें ए(2,-1):

कहां ए = 1.5।

अंत में हमें मिलता है:

या वाई=-2x+3.

5) एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण:

कुल्हाड़ी+बाई+सी=0,

कहाँ पे एतथा बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं।

सीधी रेखाओं के कुछ महत्वपूर्ण लक्षण :

1) एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी d:

.

2) सीधी रेखाओं के बीच का कोण और क्रमशः:

तथा .

3) समानांतर रेखाओं की स्थिति:

या ।

4) रेखाओं के लंबवत होने की स्थिति:

या .

उदाहरण 1. एक बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं के लिए समीकरण लिखिए ए(5.1), जिनमें से एक रेखा के समानांतर है 3x+2y-7=0और दूसरा उसी रेखा के लंबवत है। समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान. चित्र 11.

1) समानांतर रेखा का समीकरण Ax+By+C=0:

समानता की स्थिति से;

आनुपातिकता के गुणांक को 1 के बराबर लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं ए = 3, बी = 2;

फिर। 3x+2y+C=0;

अर्थ साथनिर्देशांकों को प्रतिस्थापित करके खोजें ए(5,1),

3*5+2*1+सी=0,कहाँ पे सी = -17;

एक समानांतर रेखा का समीकरण है 3x+2y-17=0.

2) एक लंब रेखा का समीकरणलंबवत स्थिति से फॉर्म होगा 2x-3y+C=0;

निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना ए(5.1), हम पाते हैं 2*5-3*1+सी=0, कहाँ पे सी = -7;

एक लंब रेखा का समीकरण 2x-3y-7=0 है।

3) समानांतर रेखाओं के बीच की दूरीसे दूरी के रूप में पाया जा सकता है ए(5.1)प्रत्यक्ष दिए जाने से पहले 3x+2y-7=0:

.

उदाहरण 2. त्रिभुज की भुजाओं के समीकरणों को देखते हुए:

3x-4y+24=0 (एबी), 4x+3y+32=0 (बीसी), 2x-y-4=0 (एसी)।

किसी कोण के समद्विभाजक के लिए एक समीकरण लिखिए एबीसी.

समाधान. सबसे पहले, शीर्ष के निर्देशांक खोजें वीत्रिकोण:

,

कहाँ पे एक्स = -8, वाई = 0,वे। बी (-8.0)(चित्र 12) .

प्रत्येक बिंदु से दूरी के द्विभाजक की संपत्ति द्वारा एम (एक्स, वाई), द्विभाजक बीडीपक्षों तक अबतथा रविबराबर हैं, अर्थात्।

,

हमें दो समीकरण मिलते हैं

x+7y+8=0, 7x-y+56=0.

चित्र 12 से, वांछित सीधी रेखा का ढलान ऋणात्मक है (the के साथ कोण) ओह obtuse), इसलिए, पहला समीकरण हमें सूट करता है x+7y+8=0या वाई=-1/7x-8/7.

F(x, y) = 0 के रूप की एक समानता को दो चर x, y के साथ एक समीकरण कहा जाता है, यदि यह संख्या x, y के किसी भी युग्म के लिए मान्य नहीं है। वे कहते हैं कि दो संख्याएँ x \u003d x 0, y \u003d y 0, F (x, y) \u003d 0 के रूप के कुछ समीकरण को संतुष्ट करती हैं, यदि इन संख्याओं को समीकरण में चर x और y के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है, तो इसके बाएँ पक्ष गायब हो जाता है।

किसी दी गई रेखा का समीकरण (सौंपे गए निर्देशांक प्रणाली में) दो चरों में एक समीकरण है जो इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, और उस पर न पड़े प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।

निम्नलिखित में, अभिव्यक्ति के बजाय "रेखा F(x, y) = 0" का समीकरण दिया गया है, हम अक्सर छोटा कहेंगे: दी गई रेखा F(x, y) = 0।

यदि दो रेखाओं F(x, y) = 0 और Ф(x, y) = 0 के समीकरण दिए गए हैं, तो निकाय का संयुक्त हल

एफ (एक्स, वाई) = 0, एफ (एक्स, वाई) = 0

उनके चौराहे के सभी बिंदु देता है। अधिक सटीक रूप से, संख्याओं की प्रत्येक जोड़ी जो इस प्रणाली का एक संयुक्त समाधान है, प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक को निर्धारित करती है,

157. दिए गए अंक *) एम 1 (2; -2), एम 2 (2; 2), एम 3 (2; - 1), एम 4 (3; -3), एम 5 (5; -5), एम 6 (3; -2)। निर्धारित करें कि दिए गए बिंदुओं में से कौन सा समीकरण x + y = 0 द्वारा परिभाषित रेखा पर स्थित है, और कौन सा उस पर नहीं है। इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर दिखाएं।)

158. समीकरण x 2 + y 2 \u003d 25 द्वारा परिभाषित रेखा पर, ऐसे बिंदु खोजें जिनके भुज निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हैं: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; उसी रेखा पर, ऐसे बिंदु ज्ञात कीजिए जिनके निर्देशांक निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हैं: 5) 3, 6) -5, 7) -8। इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर दिखाएं।)

159. निर्धारित करें कि कौन सी रेखाएँ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएँ): 1) x - y \u003d 0; 2) एक्स + वाई = 0; 3) एक्स - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) वाई - 5 = 0; 6) वाई + 2 = 0; 7) एक्स = 0; 8) वाई = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) एक्स 2 - वाई 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) वाई 2 + बाय + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) वाई - |x|; 18) एक्स - |वाई|; 19) वाई + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (एक्स -1) 2 + वाई 2 = 4; 27) एक्स 2 + (वाई + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. रेखाएँ दी गई हैं: l)x + y = 0; 2) एक्स - वाई \u003d 0; 3) एक्स 2 + वाई 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. निर्धारित करें कि उनमें से कौन मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

161. रेखाएँ दी गई हैं: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (एक्स - 3) 2 + (वाई + 4) 2 = 25; 3) (एक्स + 6) 2 + (वाई - जेड) 2 = 25; 4) (एक्स + 5) 2 + (वाई - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. उनके प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें: a) x-अक्ष के साथ; बी) ओए अक्ष के साथ।

162. दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:

1) एक्स 2 + वाई 2 - 8; एक्स - वाई \u003d 0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; एक्स + वाई = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; एक्स 2 + वाई 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; एक्स 2 + वाई 2 = 4।

163. अंक एम 1 (एल; π/3), एम 2 (2; 0), एम 3 (2; π/4), एम 4 (√3; π/6) और एम 5 ( 1;2/3π ) निर्धारित करें कि इनमें से कौन सा बिंदु समीकरण p = 2cosΘ द्वारा ध्रुवीय निर्देशांक में परिभाषित रेखा पर स्थित है, और कौन सा उस पर नहीं है। इस समीकरण से कौन सी रेखा निर्धारित होती है? (इसे ड्राइंग पर दिखाएं।)

164. समीकरण p \u003d 3 / cosΘ द्वारा परिभाषित रेखा पर, ऐसे बिंदु खोजें जिनके ध्रुवीय कोण निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) / 3, b) - π / 3, c) 0, d) / 6 . इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं।)

165. समीकरण p \u003d 1 / sinΘ द्वारा परिभाषित रेखा पर, ऐसे बिंदु खोजें जिनकी ध्रुवीय त्रिज्या निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) 1 6) 2, c) 2। इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं।)

166. निर्धारित करें कि कौन सी रेखाएँ ध्रुवीय निर्देशांक में निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएँ): 1) p \u003d 5; 2) = /2; 3) = - /4; 4) पी कोस = 2; 5) पी पापΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) पी = 10 पापΘ; 8) पापΘ = 1/2; 9) पाप = 1/2।

167. चित्र पर आर्किमिडीज के निम्नलिखित सर्पिलों की रचना कीजिए: 1) p = 20; 2) पी = 50; 3) पी = /π; 4) पी \u003d -Θ / ।

168. आरेख पर निम्नलिखित अतिपरवलयिक सर्पिलों की रचना कीजिए: 1) p = 1/Θ; 2) पी = 5/Θ; 3) पीआर = /Θ; 4) आर = - /Θ

169. ड्राइंग में निम्नलिखित लघुगणकीय सर्पिलों का निर्माण करें: 1) पी \u003d 2 ; 2) पी = (1/2) ।

170. उन खंडों की लंबाई निर्धारित करें जिनमें आर्किमिडीज सर्पिल पी = 3Θ ध्रुव को छोड़कर बीम को काटता है और कोण Θ = / 6 पर ध्रुवीय अक्ष की ओर झुकता है। एक चित्र बनाओ।

171. बिंदु C को आर्किमिडीज सर्पिल p \u003d 5 / πΘ पर लिया गया है, जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 47 है। निर्धारित करें कि यह सर्पिल बिंदु C के ध्रुवीय त्रिज्या को कितने भागों में काटता है। एक चित्र बनाएं।

172. हाइपरबोलिक सर्पिल पी \u003d 6 / पर, एक बिंदु पी खोजें, जिसका ध्रुवीय त्रिज्या 12 है। एक चित्र बनाएं।

173. लॉगरिदमिक सर्पिल पी \u003d 3 एक बिंदु पी खोजें, जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 81 है। एक चित्र बनाएं।