सम्मिश्र संख्याएँ कोण phi कैसे ज्ञात करें। एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क
शिक्षण योजना।
1. संगठनात्मक क्षण।
2. सामग्री की प्रस्तुति।
3. गृहकार्य।
4. पाठ को सारांशित करना।
कक्षाओं के दौरान
I. संगठनात्मक क्षण.
द्वितीय. सामग्री की प्रस्तुति.
प्रेरणा।
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार इस तथ्य में निहित है कि वास्तविक संख्याओं में नई संख्याएँ (काल्पनिक) जोड़ी जाती हैं। इन संख्याओं का परिचय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक संख्या से मूल निकालने की असंभवता से जुड़ा है।
एक जटिल संख्या की अवधारणा का परिचय।
वे काल्पनिक संख्याएँ जिनके साथ हम वास्तविक संख्याओं को पूरक करते हैं, इस प्रकार लिखी जाती हैं द्वि, कहाँ पे मैंकाल्पनिक इकाई है, और मैं 2 = - 1.
इसके आधार पर हमें एक सम्मिश्र संख्या की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।
परिभाषा. एक सम्मिश्र संख्या रूप का व्यंजक है a+bi, कहाँ पे एतथा बीवास्तविक संख्याएँ हैं। इस मामले में, निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:
a) दो सम्मिश्र संख्याएँ ए 1 + बी 1 आईतथा ए 2 + बी 2 आईबराबर अगर और केवल अगर ए 1 = ए 2, बी1=बी2.
b) सम्मिश्र संख्याओं का योग नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(ए 1 + बी 1 आई) + (ए 2 + बी 2 आई) = (ए 1 + ए 2) + (बी 1 + बी 2) मैं.
ग) सम्मिश्र संख्याओं का गुणन नियम द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(ए 1 + बी 1 आई) (ए 2 + बी 2 आई) = (ए 1 ए 2 - बी 1 बी 2) + (ए 1 बी 2 - ए 2 बी 1) मैं.
एक सम्मिश्र संख्या का बीजीय रूप।
एक सम्मिश्र संख्या को फॉर्म में लिखना a+biएक सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप कहलाता है, जहाँ ए- असली हिस्सा द्विकाल्पनिक हिस्सा है, और बीएक वास्तविक संख्या है।
जटिल संख्या a+biशून्य के बराबर माना जाता है यदि इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग शून्य के बराबर हों: ए = बी = 0
जटिल संख्या a+biपर बी = 0एक वास्तविक संख्या माना जाता है ए: ए + 0i = ए.
जटिल संख्या a+biपर ए = 0विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है द्वि: 0 + द्वि = द्वि.
दो सम्मिश्र संख्या जेड = ए + द्वितथा = ए - द्वि, जो केवल काल्पनिक भाग के चिन्ह में भिन्न होते हैं, संयुग्म कहलाते हैं।
बीजीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ।
निम्नलिखित संक्रियाओं को बीजीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर किया जा सकता है।
1) जोड़।
परिभाषा. सम्मिश्र संख्याओं का योग जेड 1 = ए 1 + बी 1 आईतथा जेड 2 = ए 2 + बी 2 आईसम्मिश्र संख्या कहलाती है जेड, जिसका वास्तविक भाग वास्तविक भागों के योग के बराबर होता है जेड 1तथा z2, और काल्पनिक भाग संख्याओं के काल्पनिक भागों का योग है जेड 1तथा z2, अर्थात् जेड = (ए 1 + ए 2) + (बी 1 + बी 2)i.
नंबर जेड 1तथा z2पद कहलाते हैं।
सम्मिश्र संख्याओं के योग में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1º. कम्यूटेटिविटी: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. सहयोगीता: (जेड 1 + जेड 2) + जेड 3 = जेड 1 + (जेड 2 + जेड 3)।
3º. जटिल संख्या -ए-बीआईसम्मिश्र संख्या का विलोम कहलाता है जेड = ए + द्वि. सम्मिश्र संख्या के विपरीत सम्मिश्र संख्या जेड, निरूपित -ज़ू. सम्मिश्र संख्याओं का योग जेडतथा -ज़ूशून्य के बराबर: जेड + (-जेड) = 0
उदाहरण 1: जोड़ें (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) घटाव।
परिभाषा।सम्मिश्र संख्या से घटाना जेड 1जटिल संख्या z2 जेड,क्या जेड + जेड 2 = जेड 1.
प्रमेय. सम्मिश्र संख्याओं का अंतर मौजूद है और, इसके अलावा, अद्वितीय है।
उदाहरण 2: घटाना (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) गुणन।
परिभाषा. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल जेड 1 =ए 1 +बी 1 आईतथा जेड 2 \u003d ए 2 + बी 2 आईसम्मिश्र संख्या कहलाती है जेड, समानता द्वारा परिभाषित: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
नंबर जेड 1तथा z2कारक कहलाते हैं।
सम्मिश्र संख्याओं के गुणन में निम्नलिखित गुण होते हैं:
1º. कम्यूटेटिविटी: जेड 1 जेड 2 = जेड 2 जेड 1.
2º. सहयोगीता: (जेड 1 जेड 2)जेड 3 = जेड 1 (जेड 2 जेड 3)
3º. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण:
(जेड 1 + जेड 2) जेड 3 \u003d जेड 1 जेड 3 + जेड 2 जेड 3.
4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2एक वास्तविक संख्या है।
व्यवहार में, योग से योग को गुणा करने और वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने के नियम के अनुसार जटिल संख्याओं का गुणन किया जाता है।
निम्नलिखित उदाहरण में, सम्मिश्र संख्याओं के गुणन पर दो तरह से विचार करें: नियम से और योग को योग से गुणा करके।
उदाहरण 3: गुणा करें (2 + 3i) (5 - 7i).
1 रास्ता। (2 + 3i) (5 - 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )मैं = 31 + आई.
2 रास्ते। (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) डिवीजन।
परिभाषा. एक सम्मिश्र संख्या को विभाजित करें जेड 1एक जटिल संख्या के लिए z2, का अर्थ है ऐसी सम्मिश्र संख्या ज्ञात करना जेड, क्या जेड जेड 2 = जेड 1.
प्रमेय।सम्मिश्र संख्याओं का भागफल मौजूद होता है और अद्वितीय होता है यदि z2 0 + 0i.
व्यवहार में, सम्मिश्र संख्याओं का भागफल हर के संयुग्म द्वारा अंश और हर को गुणा करके पाया जाता है।
होने देना जेड 1 = ए 1 + बी 1 आई, जेड 2 = ए 2 + बी 2 आई, फिर
.
निम्नलिखित उदाहरण में, हम हर के संयुग्म द्वारा सूत्र और गुणन के नियम से भाग करते हैं।
उदाहरण 4. एक भागफल ज्ञात कीजिए 
.
5) एक सकारात्मक पूर्णांक शक्ति तक बढ़ाना।
a) काल्पनिक एकता की शक्तियाँ।
समानता का फायदा उठा रहे हैं मैं 2 \u003d -1, काल्पनिक इकाई की किसी भी सकारात्मक पूर्णांक शक्ति को परिभाषित करना आसान है। हमारे पास है:
मैं 3 \u003d मैं 2 मैं \u003d -i,
मैं 4 \u003d मैं 2 मैं 2 \u003d 1,
मैं 5 \u003d मैं 4 मैं \u003d मैं,
मैं 6 \u003d मैं 4 मैं 2 \u003d -1,
मैं 7 \u003d मैं 5 मैं 2 \u003d -i,
मैं 8 = मैं 6 मैं 2 = 1आदि।
इससे पता चलता है कि डिग्री मान में, कहाँ पे एन- एक सकारात्मक पूर्णांक, समय-समय पर दोहराया जाता है जब संकेतक बढ़ जाता है 4 .
इसलिए, संख्या बढ़ाने के लिए मैंएक सकारात्मक पूर्णांक शक्ति के लिए, घातांक को विभाजित करें 4 और सीधा मैंउस घात के लिए जिसका घातांक विभाजन का शेष भाग है।
उदाहरण 5 गणना करें: (मैं 36 + मैं 17) मैं 23.
मैं 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
मैं 17 = मैं 4 × 4+1 = (i 4) 4 × मैं = 1 मैं = मैं।
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 i 3 = - i।
(i 36 + i 17) i 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - i।
बी) एक जटिल संख्या को एक सकारात्मक पूर्णांक शक्ति तक बढ़ाना एक द्विपद को संबंधित शक्ति तक बढ़ाने के नियम के अनुसार किया जाता है, क्योंकि यह समान जटिल कारकों को गुणा करने का एक विशेष मामला है।
उदाहरण 6 गणना करें: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3x 4 2x 2i + 3x 4x (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i।
सम्मिश्र संख्याएँ हमारे परिचित वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का न्यूनतम विस्तार हैं। उनका मूलभूत अंतर यह है कि एक तत्व प्रकट होता है जो वर्ग -1 देता है, अर्थात। मैं, या।
किसी भी सम्मिश्र संख्या के दो भाग होते हैं: वास्तविक और काल्पनिक:
इस प्रकार, यह स्पष्ट है कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय शून्य काल्पनिक भाग वाली सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय से मेल खाता है।
सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के लिए सबसे लोकप्रिय मॉडल साधारण तल है। प्रत्येक बिंदु का पहला निर्देशांक उसका वास्तविक भाग होगा, और दूसरा - काल्पनिक। फिर जटिल संख्याओं की भूमिका स्वयं बिंदु (0,0) पर शुरुआत के साथ वैक्टर होगी।
सम्मिश्र संख्याओं पर संचालन।
वास्तव में, यदि हम सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के मॉडल को ध्यान में रखते हैं, तो यह सहज रूप से स्पष्ट है कि दो सम्मिश्र संख्याओं का जोड़ (घटाव) और गुणा उसी तरह किया जाता है जैसे वैक्टर पर संबंधित संचालन। इसके अलावा, हमारा मतलब वैक्टर के क्रॉस उत्पाद से है, क्योंकि इस ऑपरेशन का परिणाम फिर से एक वेक्टर है।
1.1 जोड़।
(जैसा कि आप देख सकते हैं, यह ऑपरेशन बिल्कुल मेल खाता है)
1.2 घटाव, इसी तरह, निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है:
2. गुणन।
3. डिवीजन।
इसे केवल गुणन के व्युत्क्रम संचालन के रूप में परिभाषित किया गया है।
त्रिकोणमितीय रूप।
एक सम्मिश्र संख्या z का मापांक निम्नलिखित मात्रा है:
,
यह स्पष्ट है कि यह, फिर से, केवल वेक्टर (ए, बी) का मापांक (लंबाई) है।
बहुधा, एक सम्मिश्र संख्या के मापांक को के रूप में दर्शाया जाता है ρ.
परिणाम यह निकला
z = (cosφ+isinφ).
निम्नलिखित एक सम्मिश्र संख्या लिखने के त्रिकोणमितीय रूप से सीधे अनुसरण करता है। सूत्रों :
अंतिम सूत्र कहा जाता है डी मोइवर फॉर्मूला. सूत्र सीधे इससे प्राप्त होता है। एक सम्मिश्र संख्या का nवां मूल:
इस प्रकार, सम्मिश्र संख्या z के n nवें मूल हैं।
जटिल आंकड़े
काल्पनिक तथा जटिल आंकड़े। एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट
जटिल संख्या। सम्मिश्र संख्याओं को संयुग्मित करें।
जटिल संख्याओं के साथ संचालन। ज्यामितिक
जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व। जटिल विमान।
एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क। त्रिकोणमितीय
जटिल संख्या रूप। परिसर के साथ संचालन
त्रिकोणमितीय रूप में संख्याएँ। मोइवर सूत्र।
के बारे में बुनियादी जानकारी काल्पनिक तथा जटिल आंकड़े "काल्पनिक और जटिल संख्या" खंड में दिए गए हैं। मामले के लिए द्विघात समीकरणों को हल करते समय एक नए प्रकार के इन नंबरों की आवश्यकता दिखाई दी
डी< 0 (здесь डीद्विघात समीकरण का विवेचक है)। लंबे समय तक, इन नंबरों का भौतिक उपयोग नहीं हुआ, यही वजह है कि इन्हें "काल्पनिक" संख्याएं कहा जाता था। हालाँकि, अब वे भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।और प्रौद्योगिकी: इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, हाइड्रो- और वायुगतिकी, लोच का सिद्धांत, आदि।
जटिल आंकड़े के रूप में लिखा जाता है:a+bi. यहाँ एतथा बी – वास्तविक संख्याये , ए मैं – काल्पनिक इकाई।इ। मैं 2 = –1. संख्या एबुलाया सूच्याकार आकृति का भुज, ए बी - समन्वयजटिल संख्याए + बी।दो सम्मिश्र संख्याa+biतथा एक-द्वि बुलाया संयुग्मजटिल आंकड़े।
मुख्य समझौते:
1. वास्तविक संख्या
एफॉर्म में भी लिखा जा सकता हैजटिल संख्या:ए + 0 मैंया ए - 0 मैं. उदाहरण के लिए, प्रविष्टियाँ 5 + 0मैंऔर 5 - 0 मैंमतलब एक ही नंबर 5 .2. जटिल संख्या 0 + द्विबुलाया विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या. रिकॉर्डिंगद्विइसका मतलब 0 . के समान है + द्वि.
3. दो सम्मिश्र संख्याa+bi तथासी + दीबराबर माना जाता है अगरए = सीतथा बी = डी. अन्यथा सम्मिश्र संख्याएँ समान नहीं हैं।
योग। सम्मिश्र संख्याओं का योगa+biतथा सी + दीसम्मिश्र संख्या कहलाती है (ए+सी ) + (बी+डी ) मैं ।इस तरह, जब जोड़ा गया सम्मिश्र संख्याएँ, उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग जोड़े जाते हैं।
यह परिभाषा साधारण बहुपदों से निपटने के नियमों का पालन करती है।
घटाव। दो सम्मिश्र संख्याओं के बीच का अंतरa+bi(कम) और सी + दी(घटाना) एक सम्मिश्र संख्या कहलाती है (एसी ) + (बी डी ) मैं ।
इस तरह, जब दो सम्मिश्र संख्याओं को घटाया जाता है, तो उनके भुज और निर्देशांक अलग-अलग घटाए जाते हैं।
गुणन। सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफलa+biतथा सी + दी सम्मिश्र संख्या कहलाती है।
(एसी-बीडी ) + (विज्ञापन+बीसी ) मैं ।यह परिभाषा दो आवश्यकताओं से उपजी है:
1) अंक a+biतथा सी + दीबीजीय की तरह गुणा करना चाहिएद्विपद,
2) संख्या मैंमुख्य संपत्ति है:मैं 2 = – 1.
उदाहरण ( एक + द्वि )(एक-द्वि) = ए 2 +बी 2 . इसलिये, काम
दो संयुग्म सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक के बराबर होती हैं
सकारात्मक संख्या।
विभाजन। एक सम्मिश्र संख्या को विभाजित करेंa+bi (विभाज्य) दूसरे के लिएसी + दी(विभक्त) - का अर्थ है तीसरी संख्या ज्ञात करनाई + फाई(चैट), जो, जब एक भाजक द्वारा गुणा किया जाता हैसी + दी, जिसके परिणामस्वरूप लाभांशए + बी।
यदि भाजक शून्य नहीं है, तो विभाजन हमेशा संभव है।
उदाहरण खोजें (8+मैं ) : (2 – 3 मैं) .
हल। आइए इस अनुपात को भिन्न के रूप में फिर से लिखें:
इसके अंश और हर को 2 + 3 . से गुणा करनामैं
तथा सभी परिवर्तन करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:
सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण। वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है:
यहाँ बिंदु है एमतलब नंबर -3, डॉटबीसंख्या 2 है, और हे- शून्य। इसके विपरीत, सम्मिश्र संख्याओं को निर्देशांक तल पर बिंदुओं द्वारा निरूपित किया जाता है। इसके लिए हम दोनों अक्षों पर समान पैमानों वाले आयताकार (कार्टेशियन) निर्देशांक चुनते हैं। तब सम्मिश्र संख्याa+bi एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाएगा एब्सिस्सा के साथ पी ए और कोर्डिनेट बी (अंजीर देखें।) इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है जटिल विमान .
मापांक सम्मिश्र संख्या को सदिश की लंबाई कहते हैंसेशन, निर्देशांक पर एक सम्मिश्र संख्या का चित्रण ( एकीकृत) विमान। जटिल संख्या मापांकa+biद्वारा निरूपित | a+bi| या पत्र आर
