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एक विमान पर सीधी रेखा के साथ सबसे सरल समस्याएं। रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

लेख विमानों के बीच के कोण को खोजने के बारे में बात करता है। परिभाषा लाने के बाद, हम एक ग्राफिक चित्रण सेट करेंगे, विधि द्वारा निर्देशांक खोजने के लिए एक विस्तृत विधि पर विचार करें। हम समतलों को प्रतिच्छेद करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करते हैं, जिसमें सामान्य सदिशों के निर्देशांक शामिल होते हैं।

सामग्री डेटा और अवधारणाओं का उपयोग करेगी जो पहले विमान और अंतरिक्ष में रेखा के बारे में लेखों में अध्ययन किए गए थे। आरंभ करने के लिए, तर्क पर आगे बढ़ना आवश्यक है जो किसी को दो प्रतिच्छेदन विमानों के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए एक निश्चित दृष्टिकोण की अनुमति देता है।

दो प्रतिच्छेदी तल 1 और 2 दिए गए हैं। उनका चौराहा पदनाम c लेगा। समतल का निर्माण इन विमानों के प्रतिच्छेदन से जुड़ा है। विमान χ बिंदु M से एक सीधी रेखा c के रूप में गुजरता है। समतल 1 और γ 2 को तल का उपयोग करके प्रतिच्छेद किया जाएगा। हम रेखा के पदनामों को स्वीकार करते हैं जो रेखा a के लिए 1 और को प्रतिच्छेद करते हैं, और रेखा b के लिए 2 और को प्रतिच्छेद करते हैं। हम पाते हैं कि रेखाओं a और b का प्रतिच्छेदन बिंदु M देता है।

बिंदु M का स्थान प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं a और b के बीच के कोण को प्रभावित नहीं करता है, और बिंदु M उस रेखा c पर स्थित है जिससे होकर समतल गुजरता है।

एक समतल χ 1 रेखा c पर लंबवत और समतल χ से भिन्न बनाना आवश्यक है। 1 की सहायता से विमानों 1 और γ 2 का प्रतिच्छेदन रेखाओं a 1 और b 1 का पदनाम लेगा।

यह देखा जा सकता है कि और χ 1 की रचना करते समय, रेखाएँ a और b रेखा c पर लंबवत होती हैं, तो a 1, b 1 रेखा c पर लंबवत होती हैं। समतल γ 1 में रेखा c के लंबवतता के साथ रेखाएँ a और a 1 ढूँढना, तब उन्हें समानांतर माना जा सकता है। उसी तरह, समतल γ 2 में b और b 1 का स्थान, रेखा c की लंबवतता के साथ, उनके समांतरता को इंगित करता है। इसका मतलब यह है कि विमान χ 1 से तक समानांतर स्थानांतरण करना आवश्यक है, जहां हमें दो मिलती-जुलती रेखाएं a और a 1, b और b 1 मिलती हैं। हम पाते हैं कि प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b 1 के बीच का कोण प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं a और b के कोण के बराबर होता है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

यह निर्णय इस तथ्य से सिद्ध होता है कि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं a और b के बीच एक कोण है जो बिंदु M के स्थान पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात प्रतिच्छेदन बिंदु। ये रेखाएँ 1 और γ 2 समतल में स्थित हैं। वास्तव में, परिणामी कोण को दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच के कोण के रूप में माना जा सकता है।

आइए मौजूदा प्रतिच्छेदी तलों 1 और γ 2 के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

परिभाषा 1

दो प्रतिच्छेदी तलों 1 और γ 2 . के बीच का कोणरेखा a और b के प्रतिच्छेदन से बनने वाले कोण को कॉल करें, जहाँ समतल 1 और γ 2 समतल से रेखा c के लंबवत प्रतिच्छेद करते हैं।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

परिभाषा किसी अन्य रूप में प्रस्तुत की जा सकती है। समतल γ 1 और γ 2 के चौराहे पर, जहाँ c वह रेखा है जिस पर वे प्रतिच्छेद करते हैं, बिंदु M को चिह्नित करें, जिसके माध्यम से रेखाएँ a और b, रेखा c के लंबवत और समतल γ 1 और γ 2 में स्थित हैं। , तो रेखाओं a और b के बीच का कोण तलों के बीच का कोण होगा। व्यवहार में, यह विमानों के बीच कोण बनाने के लिए लागू होता है।

प्रतिच्छेदन पर एक कोण बनता है जिसका मान 90 डिग्री से कम होता है, अर्थात कोण का अंश माप इस प्रकार के अंतराल (0, 90] पर मान्य होता है। साथ ही, इन विमानों को लंबवत कहा जाता है। यदि चौराहे पर एक समकोण बनता है तो समानांतर विमानों के बीच के कोण को शून्य के बराबर माना जाता है।

प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण को खोजने का सामान्य तरीका अतिरिक्त निर्माण करना है। यह इसे सटीकता के साथ निर्धारित करने में मदद करता है, और यह कोण के त्रिकोण, साइन, कोसाइन की समानता या समानता के संकेतों का उपयोग करके किया जा सकता है।

ब्लॉक सी 2 की एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं से एक उदाहरण का उपयोग करके समस्याओं को हल करने पर विचार करें।

उदाहरण 1

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज ए बी सी डी ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 दिया गया है, जहां पक्ष ए बी \u003d 2, ए डी \u003d 3, ए ए 1 \u003d 7, बिंदु ई पक्ष ए ए 1 को 4: 3 के अनुपात में अलग करता है। समतल A B C और B E D 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान

स्पष्टता के लिए, आपको एक चित्र बनाने की आवश्यकता है। हमें वह मिलता है

विमानों के बीच के कोण के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए एक दृश्य प्रतिनिधित्व आवश्यक है।

हम एक सीधी रेखा की परिभाषा बनाते हैं जिसके साथ विमान ए बी सी और बी ई डी 1 प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु B एक सामान्य बिंदु है। चौराहे का एक और सामान्य बिंदु खोजा जाना चाहिए। रेखाओं D A और D 1 E पर विचार करें, जो एक ही तल A D D 1 में स्थित हैं। उनका स्थान समानता का संकेत नहीं देता है, जिसका अर्थ है कि उनके पास एक सामान्य प्रतिच्छेदन बिंदु है।

हालाँकि, रेखा D A समतल A B C में स्थित है, और D 1 E B E D 1 में स्थित है। अतः हम पाते हैं कि रेखाएँ डी एतथा डी 1 ईप्रतिच्छेदन का एक उभयनिष्ठ बिंदु है, जो समतलों A B C और B E D 1 के लिए भी उभयनिष्ठ है। रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को इंगित करता है डी एऔर डी 1 ई पत्र एफ. यहाँ से हम पाते हैं कि B F एक सीधी रेखा है जिसके साथ समतल A B C और B E D 1 प्रतिच्छेद करते हैं।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

एक उत्तर प्राप्त करने के लिए, समतल A B C और B E D 1 में स्थित सीधी रेखाओं का निर्माण करना आवश्यक है, जो रेखा B F पर स्थित एक बिंदु से होकर गुजरती है और इसके लंबवत है। फिर इन रेखाओं के बीच के परिणामी कोण को समतल A B C और B E D 1 के बीच वांछित कोण माना जाता है।

इससे यह देखा जा सकता है कि बिंदु A, बिंदु E का समतल AB C पर प्रक्षेपण है। रेखा BF को बिंदु M पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा खींचना आवश्यक है। यह देखा जा सकता है कि रेखा AM समतल ABC पर रेखा EM का प्रक्षेपण है, जो उन लंबवत AM BF के बारे में प्रमेय पर आधारित है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

A M E तलों A B C और B E D 1 द्वारा निर्मित वांछित कोण है। परिणामी त्रिभुज A E M से हम उस कोण की ज्या, कोज्या या स्पर्शरेखा ज्ञात कर सकते हैं, जिसके बाद कोण स्वयं, केवल इसकी दो ज्ञात भुजाओं के साथ। शर्त के अनुसार, हमारे पास AE की लंबाई इस तरह पाई जाती है: रेखा AA 1 को बिंदु E से 4: 3 के अनुपात में विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि रेखा की कुल लंबाई 7 भाग है, फिर AE \u003d 4 भाग। हम पाते हैं ए.एम.

एक समकोण त्रिभुज A B F पर विचार करना आवश्यक है। हमारे पास एक समकोण A है जिसकी ऊँचाई A M है। स्थिति A B \u003d 2 से, तो हम त्रिभुज D D 1 F और A E F की समानता से लंबाई A F पा सकते हैं। हम पाते हैं कि ए ई डी डी 1 = ए एफ डी एफ ⇔ ए ई डी डी 1 = ए एफ डी ए + ए एफ ⇒ 4 7 = ए एफ 3 + ए एफ ⇔ ए एफ = 4

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके त्रिभुज A B F से भुजा B F की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है। हम पाते हैं कि B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 । A M भुजा की लंबाई त्रिभुज A B F के क्षेत्रफल से होकर ज्ञात की जाती है। हमारे पास यह है कि क्षेत्रफल S A B C = 1 2 · A B · A F, और S A B C = 1 2 · B F · A M दोनों के बराबर हो सकता है।

हम पाते हैं कि ए एम = ए बी ए एफ बी एफ = 2 4 2 5 = 4 5 5

तब हम त्रिभुज A E M के कोण की स्पर्श रेखा का मान ज्ञात कर सकते हैं। हमें प्राप्त होता है:

टी जी ए एम ई = ए ई ए एम = 4 4 5 5 = 5

समतल A B C और B E D 1 के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त वांछित कोण a r c t g 5 के बराबर है, फिर, सरलीकृत होने पर, हमें a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 मिलता है।

उत्तर: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 ।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच कोण ज्ञात करने के कुछ मामले O x y z निर्देशांक तल और निर्देशांक विधि का उपयोग करके दिए गए हैं। आइए अधिक विस्तार से विचार करें।

यदि कोई समस्या दी जाती है जहाँ प्रतिच्छेद करने वाले विमानों γ 1 और 2 के बीच के कोण को खोजना आवश्यक है, तो हम वांछित कोण को α से निरूपित करते हैं।

तब दी गई निर्देशांक प्रणाली दर्शाती है कि हमारे पास प्रतिच्छेद करने वाले तलों 1 और γ 2 के अभिलंब सदिशों के निर्देशांक हैं। तब हम निरूपित करते हैं कि n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z समतल γ 1 का एक प्रसामान्य सदिश है, और n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - के लिए विमान 2 . सदिशों के निर्देशांकों के अनुसार इन तलों के बीच स्थित कोण की विस्तृत खोज पर विचार करें।

सीधी रेखा को नामित करना आवश्यक है जिसके साथ विमान 1 और γ 2 अक्षर c के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। रेखा पर हमारे पास एक बिंदु M है, जिसके माध्यम से हम एक विमान χ खींचते हैं, जो c के लंबवत है। तल χ, रेखाओं a और b के अनुदिश, समतल γ 1 और 2 को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करता है। यह इस परिभाषा से अनुसरण करता है कि प्रतिच्छेद करने वाले विमानों γ 1 और γ 2 के बीच का कोण क्रमशः इन विमानों से संबंधित प्रतिच्छेदित रेखाओं a और b के कोण के बराबर है।

तल में, हम बिंदु M से अभिलंब सदिशों को अलग रखते हैं और उन्हें n 1 → और n 2 → निरूपित करते हैं। वेक्टर n 1 → रेखा a के लंबवत रेखा पर स्थित है, और वेक्टर n 2 → रेखा b पर लंबवत रेखा पर स्थित है। यहां से हम पाते हैं कि दिए गए विमान में सीधी रेखा का एक सामान्य सदिश है जो n 1 → के बराबर है और सीधी रेखा b के लिए n 2 → के बराबर है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

यहाँ से हमें एक सूत्र प्राप्त होता है जिसके द्वारा हम सदिशों के निर्देशांकों का उपयोग करके प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं के कोण की ज्या की गणना कर सकते हैं। हमने पाया कि सीधी रेखाओं a और b के बीच के कोण की कोज्या वही है जो प्रतिच्छेद करने वाले तलों 1 और γ 2 के बीच की कोज्या सूत्र cos α = cos n 1 →, n 2 → ^ = n 1 से व्युत्पन्न होती है। xn 2 x + n 1 yn 2 y + n 1 zn 2 zn 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , जहां हमारे पास वह n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) और n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) निरूपित तलों के सदिशों के निर्देशांक हैं।

प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच के कोण की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

α = चाप cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 zn 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

उदाहरण 2

शर्त के अनुसार, एक समानांतर चतुर्भुज D A 1 B 1 C 1 D 1 दिया जाता है , जहां ए बी \u003d 2, ए डी \u003d 3, ए ए 1 \u003d 7, और बिंदु ई पक्ष ए ए 1 4: 3 को अलग करता है। समतल A B C और B E D 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समाधान

यह इस स्थिति से देखा जा सकता है कि इसकी भुजाएँ जोड़ीदार लंबवत हैं। इसका मतलब यह है कि एक समन्वय प्रणाली O x y z को बिंदु C पर एक शीर्ष के साथ शुरू करना और अक्षों O x, O y, O z को समन्वयित करना आवश्यक है। दिशा को उपयुक्त पक्षों पर रखना आवश्यक है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

इंटरसेक्टिंग प्लेन ए बी सीतथा बी ई डी 1एक कोण बनाएं, जो सूत्र 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 द्वारा ज्ञात किया जा सकता है, जहां n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) और n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) इन तलों के प्रसामान्य सदिश हैं। निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है। आकृति से, हम देखते हैं कि निर्देशांक अक्ष O x y समतल A B C में संपाती है, जिसका अर्थ है कि सामान्य वेक्टर k → के निर्देशांक मान n 1 → = k → = (0, 0, 1) के बराबर हैं।

विमान बी ई डी 1 का सामान्य वेक्टर वेक्टर उत्पाद बी ई → और बी डी 1 → है, जहां उनके निर्देशांक चरम बिंदुओं बी, ई, डी 1 के निर्देशांक द्वारा पाए जाते हैं, जो समस्या की स्थिति के आधार पर निर्धारित होते हैं।

हम पाते हैं कि B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) । क्योंकि A E E A 1 = 4 3, बिंदुओं A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 के निर्देशांक से हम E 2 , 3 , 4 पाते हैं। हम पाते हैं कि BE → = (2 , 0 , 4) , BD 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = BE → × BD 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 जे → - 6 के → एन 2 → = (12, - 6, - 6)

चाप कोसाइन के माध्यम से कोण की गणना के लिए सूत्र में पाए गए निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हम पाते हैं

α = चाप cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = चाप cos 6 6 6 = चाप cos 6 6

समन्वय विधि एक समान परिणाम देती है।

उत्तर:ए आर सी कॉस 6 6 .

विमानों के उपलब्ध ज्ञात समीकरणों के साथ प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच के कोण को खोजने के लिए अंतिम समस्या पर विचार किया जाता है।

उदाहरण 3

कोण की ज्या, कोज्या और दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से बने कोण के मान की गणना कीजिए, जो O xyz निर्देशांक प्रणाली में परिभाषित हैं और समीकरणों 2 x - 4 y + z + 1 = 0 और 3 y द्वारा दिए गए हैं - जेड - 1 = 0।

समाधान

A x + B y + C z + D = 0 के रूप की एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के विषय का अध्ययन करते समय, यह पता चला कि A, B, C सामान्य वेक्टर के निर्देशांक के बराबर गुणांक हैं। अत: n 1 → = 2 , - 4 , 1 और n 2 → = 0 , 3 , - 1 दी गई रेखाओं के प्रसामान्य सदिश हैं।

प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के वांछित कोण की गणना के लिए विमानों के सामान्य वैक्टर के निर्देशांक को सूत्र में बदलना आवश्यक है। तब हमें वह मिलता है

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

अतः हमारे पास यह है कि कोण की कोज्या cos α = 13 210 का रूप लेती है। तब प्रतिच्छेदी रेखाओं का कोण अधिक नहीं होता है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि कोण की ज्या का मान व्यंजक के बराबर होता है। हम गणना करते हैं और प्राप्त करते हैं

पाप α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

उत्तर: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210।

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कार्य 1

रेखाओं के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ तथा $\left\( \begin(array )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right.$।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो पंक्तियाँ हैं: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ और $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. हम अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनते हैं और इसके माध्यम से डेटा के समानांतर दो सहायक रेखाएँ खींचते हैं। दी गई रेखाओं के बीच का कोण सहायक रेखाओं द्वारा निर्मित दो आसन्न कोणों में से कोई एक कोण होता है। रेखाओं के बीच के कोणों में से एक का कोज्या प्रसिद्ध सूत्र $\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) + का उपयोग करके पाया जा सकता है। p_(1) \cdot p_( 2) )(\sqrt(m_(1)^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2 )^(2) +n_( 2)^(2) +p_(2)^(2)) ) $। यदि मान $\cos \phi >0$, तो रेखाओं के बीच एक न्यून कोण प्राप्त होता है, यदि $\cos \phi

पहली पंक्ति के विहित समीकरण: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $।

दूसरी सीधी रेखा के विहित समीकरण पैरामीट्रिक से प्राप्त किए जा सकते हैं:

\ \ \

इस प्रकार, इस रेखा के विहित समीकरण हैं: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $।

हम गणना करते हैं:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ लेफ्ट(-3\राइट)^(2) +4^(2)) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \लगभग 0.9449.\]

टास्क 2

पहली पंक्ति दिए गए बिंदुओं $A\left(2,-4,-1\right)$ और $B\left(-3,5,6\right)$ से होकर गुजरती है, दूसरी पंक्ति दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरती है $ सी\बाएं (1,-2,8\दाएं)$ और $डी\बाएं(6,7,-2\दाएं)$। इन रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि कोई रेखा रेखा $AB$ और $CD$ के लंबवत है और उन्हें क्रमशः $M$ और $N$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। इन शर्तों के तहत, खंड $MN$ की लंबाई $AB$ और $CD$ की रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है।

हम वेक्टर $\overline(AB)$ बनाते हैं:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \बाएं(6-\बाएं(-1\दाएं)\दाएं)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k) ).\]

रेखाओं के बीच की दूरी को दर्शाने वाले खंड को $AB$ रेखा पर बिंदु $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ से गुजरने दें।

हम वेक्टर $\overline(AM)$ बनाते हैं:

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ बार(j)+\बाएं(z_(एम) -\बाएं(-1\दाएं)\दाएं)\cdot \bar(k)=\] \[=\बाएं(x_(एम) -2\दाएं)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]

सदिश $\overline(AB)$ और $\overline(AM)$ समान हैं, इसलिए वे संरेख हैं।

यह ज्ञात है कि यदि वैक्टर $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ और $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ समरेख हैं, तो उनके निर्देशांक आनुपातिक हैं, तो है $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it y)_((\it 1))) =\frac(z_((\it 2))) ((\it z)_((\it 1))) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, जहां $m $ विभाजन का परिणाम है।

यहाँ से हमें मिलता है: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(एम) +1=7\cdot m$।

अंत में, हम बिंदु $M$ के निर्देशांक के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं:

हम $\overline(CD)$ वेक्टर बनाते हैं:

\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ लेफ्ट (-2-8\राइट)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

रेखाओं के बीच की दूरी को दर्शाने वाले खंड को $CD$ रेखा पर बिंदु $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ से गुजरने दें।

हम वेक्टर $\overline(CN)$ का निर्माण करते हैं:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ बार(j)+\बाएं(z_(N) -8\दाएं)\cdot \bar(k)=\] \[=\बाएं(x_(N) -1\दाएं)\cdot \bar(i)+ \बाएं(y_(N) +2\दाएं)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]

सदिश $\overline(CD)$ और $\overline(CN)$ समान हैं, इसलिए वे संरेख हैं। हम संरेखीय सदिशों की शर्त लागू करते हैं:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8(-10) =n$ जहां $n $ विभाजन का परिणाम है।

यहाँ से हमें मिलता है: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$।

अंत में, हम बिंदु $N$ के निर्देशांक के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं:

हम $\overline(MN)$ वेक्टर बनाते हैं:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\बाएं(z_(N) -z_(M) \right)\cdot \bar(k).\]

हम $M$ और $N$ के निर्देशांक के लिए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हैं:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) एम\दाएं)\दाएं)\cdot \bar(k).\]

चरणों को पूरा करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

चूँकि रेखाएँ $AB$ और $MN$ लंबवत हैं, संबंधित वैक्टर का अदिश गुणन शून्य के बराबर है, अर्थात $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ लेफ्ट(9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

चरणों को पूरा करने के बाद, हमें $m$ और $n$ निर्धारित करने के लिए पहला समीकरण मिलता है: $155\cdot m+14\cdot n=86$।

चूँकि रेखाएँ $CD$ और $MN$ लंबवत हैं, संबंधित वैक्टर का अदिश गुणन शून्य के बराबर है, अर्थात $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

चरणों को पूरा करने के बाद, हम $m$ और $n$ निर्धारित करने के लिए दूसरा समीकरण प्राप्त करते हैं: $14\cdot m+206\cdot n=77$।

समीकरणों की प्रणाली को हल करके $m$ और $n$ खोजें $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\ सीडीओटी एन = 77) \ अंत (सरणी) \ दाएं। $।

हम क्रैमर विधि लागू करते हैं:

\[\डेल्टा =\बाएं|\शुरू (सरणी)(सीसी) (155) और (14) \\ (14) और (206) \end(सरणी)\दाएं|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(array)(cc) (86) और (14) \\ (77) & (206) \end(array)\right|=16638; \] \[\डेल्टा _(n) =\बाएं|\प्रारंभ (सरणी)(सीसी) (155) और (86) \\ (14) और (77) \end(सरणी)\दाएं|=10731;\ ]\

अंक $M$ और $N$ के निर्देशांक खोजें:

\ \

आखिरकार:

अंत में, हम वेक्टर $\overline(MN)$ लिखते हैं:

$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\right)\cdot \bar (j)+\बाएं (4,618-2,6701\दाएं)\cdot \bar(k)$ या $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1.9479\cdot \ बार (के) $।

$AB$ और $CD$ के बीच की दूरी वेक्टर की लंबाई है $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ लगभग 3.8565$ लिन। इकाइयों

इंजेक्शन φ सामान्य समीकरणए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 = 0 और ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0, सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

इंजेक्शन φ दो सीधी रेखाओं के बीच विहित समीकरण(x-x 1) / m 1 \u003d (y-y 1) / n 1 और (x-x 2) / m 2 \u003d (y-y 2) / n 2, की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

बिंदु से रेखा की दूरी

अंतरिक्ष में प्रत्येक विमान को एक रैखिक समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसे कहा जाता है सामान्य समीकरणविमान

विशेष स्थितियां.

o यदि समीकरण (8) में, तो तल मूल बिन्दु से होकर गुजरता है।

o (,) के साथ तल क्रमशः अक्ष (अक्ष, अक्ष) के समानांतर है।

o जब (,) तल समतल (प्लेन, प्लेन) के समानांतर हो।

समाधान: उपयोग (7)

उत्तर: समतल का सामान्य समीकरण।

उदाहरण।

आयताकार समन्वय प्रणाली में विमान ऑक्सीज विमान के सामान्य समीकरण द्वारा दिया जाता है . इस तल में सभी सामान्य सदिशों के निर्देशांक लिखिए।

हम जानते हैं कि समतल के सामान्य समीकरण में चर x, y और z के गुणांक उस तल के प्रसामान्य सदिश के संगत निर्देशांक होते हैं। इसलिए, दिए गए तल का अभिलंब सदिश निर्देशांक हैं। सभी सामान्य सदिशों का समुच्चय इस प्रकार दिया जा सकता है।

एक समतल का समीकरण लिखिए यदि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में ऑक्सीज अंतरिक्ष में एक बिंदु से गुजरता है , ए इस विमान का सामान्य वेक्टर है।

हम इस समस्या के दो समाधान प्रस्तुत करते हैं।

हमारे पास स्थिति से . हम इन आंकड़ों को बिंदु से गुजरने वाले तल के सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

निर्देशांक तल Oyz के समांतर और बिंदु से गुजरने वाले समतल के लिए सामान्य समीकरण लिखिए .

एक विमान जो समन्वय विमान ओयज़ के समानांतर है, फॉर्म के विमान के सामान्य अपूर्ण समीकरण द्वारा दिया जा सकता है। बिंदु के बाद से स्थिति के अनुसार विमान के अंतर्गत आता है, तो इस बिंदु के निर्देशांक को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए, अर्थात समानता सत्य होनी चाहिए। यहाँ से हम पाते हैं। इस प्रकार, वांछित समीकरण का रूप है।

समाधान। सदिश गुणनफल, परिभाषा 10.26 के अनुसार, सदिश p और q के लिए लंबकोणीय है। इसलिए, यह वांछित विमान के लिए ओर्थोगोनल है और वेक्टर को इसके सामान्य वेक्टर के रूप में लिया जा सकता है। वेक्टर n के निर्देशांक खोजें:

अर्थात् . सूत्र (11.1) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

इस समीकरण में कोष्ठकों को खोलकर, हम अंतिम उत्तर पर पहुँचते हैं।

उत्तर: .

आइए सामान्य वेक्टर को फॉर्म में फिर से लिखें और इसकी लंबाई पाएं:

उपरोक्त के अनुसार:

उत्तर:

समानांतर विमानों में एक ही सामान्य वेक्टर होता है। 1) समीकरण से हम समतल का अभिलंब सदिश पाते हैं:।

2) हम बिंदु और सामान्य वेक्टर के अनुसार विमान के समीकरण की रचना करते हैं:

उत्तर:

अंतरिक्ष में एक समतल का सदिश समीकरण

अंतरिक्ष में एक विमान का पैरामीट्रिक समीकरण

किसी दिए गए सदिश के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दें। आइए निम्नलिखित समस्या तैयार करें:

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण लिखिए एम(एक्स 0, आप 0, जेड 0) दिए गए वेक्टर के लंबवत एन = ( ए, बी, सी} .

समाधान। होने देना पी(एक्स, आप, जेड) अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु है। दूरसंचार विभाग पीविमान के अंतर्गत आता है अगर और केवल अगर वेक्टर एमपी = {एक्स − एक्स 0, आप − आप 0, जेड − जेड 0) ओर्थोगोनल से वेक्टर एन = {ए, बी, सी) (चित्र .1)।

इन वैक्टरों के लिए ऑर्थोगोनैलिटी कंडीशन लिखने के बाद (n, एमपी) = 0 निर्देशांक रूप में, हम प्राप्त करते हैं:

ए(एक्स − एक्स 0) + बी(आप − आप 0) + सी(जेड − जेड 0) = 0

एक समतल का तीन बिन्दुओं से समीकरण

वेक्टर रूप में

निर्देशांक में

अंतरिक्ष में विमानों की पारस्परिक व्यवस्था

दो विमानों के सामान्य समीकरण हैं। फिर:

1) अगर , तब विमान मेल खाते हैं;

2) अगर , तो विमान समानांतर हैं;

3) यदि या , तो विमान प्रतिच्छेद करते हैं और समीकरणों की प्रणाली

(6)

दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के समीकरण हैं।

समाधान: हम सूत्र द्वारा सरल रेखा के विहित समीकरणों की रचना करते हैं: उत्तर:

हम परिणामी समीकरण लेते हैं और मानसिक रूप से "पिन ऑफ" करते हैं, उदाहरण के लिए, बायां टुकड़ा: । अब हम इस टुकड़े की बराबरी करते हैं किसी भी संख्या के लिए(याद रखें कि पहले से ही एक शून्य था), उदाहरण के लिए, एक के लिए: . चूंकि, तब अन्य दो "टुकड़े" भी एक के बराबर होने चाहिए। अनिवार्य रूप से, आपको सिस्टम को हल करने की आवश्यकता है:

निम्नलिखित पंक्तियों के लिए पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए:

समाधान: रेखाएं विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं और पहले चरण में किसी को रेखा से संबंधित कोई बिंदु और उसकी दिशा सदिश ढूंढनी चाहिए।

क) समीकरणों से बिंदु और दिशा वेक्टर निकालें: . आप एक और बिंदु चुन सकते हैं (इसे कैसे करें ऊपर वर्णित है), लेकिन सबसे स्पष्ट एक लेना बेहतर है। वैसे, गलतियों से बचने के लिए हमेशा इसके निर्देशांक को समीकरणों में बदलें।

आइए हम इस सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों की रचना करें:

पैरामीट्रिक समीकरणों की सुविधा यह है कि उनकी सहायता से रेखा के अन्य बिंदुओं को खोजना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, आइए एक बिंदु खोजें, जिसके निर्देशांक, मान लें, पैरामीटर के मान के अनुरूप हैं:

इस प्रकार: बी) विहित समीकरणों पर विचार करें . यहां एक बिंदु का चुनाव सरल है, लेकिन कपटी है: (सावधान रहें कि निर्देशांक मिश्रण न करें !!!)। गाइड वेक्टर कैसे निकालें? आप अनुमान लगा सकते हैं कि यह रेखा किसके समानांतर है, या आप एक साधारण औपचारिक चाल का उपयोग कर सकते हैं: अनुपात "Y" और "Z" है, इसलिए हम दिशा वेक्टर लिखते हैं, और शेष स्थान में शून्य डालते हैं:।

हम सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण बनाते हैं:

ग) आइए समीकरणों को इस रूप में फिर से लिखें, अर्थात "Z" कुछ भी हो सकता है। और यदि कोई हो, तो चलो, उदाहरण के लिए, . इस प्रकार, बिंदु इस रेखा के अंतर्गत आता है। दिशा वेक्टर को खोजने के लिए, हम निम्नलिखित औपचारिक तकनीक का उपयोग करते हैं: प्रारंभिक समीकरणों में "x" और "y" होते हैं, और इन स्थानों पर दिशा वेक्टर में हम लिखते हैं शून्य: . शेष स्थान पर हम डालते हैं इकाई: . एक के बजाय, शून्य को छोड़कर कोई भी संख्या काम करेगी।

हम सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखते हैं:

कोनेअंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच हम डेटा के समानांतर एक मनमाना बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं से बने किसी भी आसन्न कोण को कहेंगे।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएँ दी गई हैं:

स्पष्ट है कि रेखाओं के बीच के कोण को उनके दिशा सदिशों और के बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है। चूँकि , तब सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र के अनुसार हमें प्राप्त होता है

दो रेखाओं की समांतरता और लंबवतता की शर्तें उनके दिशा वैक्टर के समानांतरवाद और लंबवतता की शर्तों के बराबर हैं और:

दो सीधे समानांतर हैंयदि और केवल यदि उनके संबंधित गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात। मैं 1 समानांतर मैं 2 यदि और केवल यदि समानांतर .

दो सीधे सीधायदि और केवल तभी, जब संगत गुणांकों के गुणनफलों का योग शून्य के बराबर हो: .

पर रेखा और समतल के बीच का लक्ष्य

चलो लाइन डी- विमान के लंबवत नहीं ;
डी′− एक सीधी रेखा का प्रक्षेपण डीविमान के लिए ;
सीधी रेखाओं के बीच का सबसे छोटा कोण डीतथा डीहम फोन करेंगे रेखा और समतल के बीच का कोण.
आइए इसे =( के रूप में निरूपित करें डी,θ)
अगर डी, तब ( डी,θ)=π/2

ओइस→जे→क→− आयताकार समन्वय प्रणाली।
समतल समीकरण:

θ: कुल्हाड़ी+द्वारा+सीज़+डी=0

हम मानते हैं कि रेखा एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर द्वारा दी गई है: डी[एम 0,पी→]
वेक्टर एन→(ए,बी,सी)⊥θ
फिर यह वैक्टर के बीच के कोण का पता लगाना बाकी है एन→ और पी→, इसे =( के रूप में निरूपित करें) एन→,पी→).

यदि कोण<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

यदि कोण γ>π/2 , तो अभीष्ट कोण φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

फिर, रेखा और समतल के बीच का कोणसूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

पापφ=∣cosγ∣=∣ एपी 1+बीपी 2+सीपी 3∣ ∣ √ए 2+बी 2+सी 2√पी 21+पी 22+पी 23

प्रश्न 29. द्विघात रूप की अवधारणा। द्विघात रूपों की संकेत-निश्चितता।

द्विघात रूप j (x 1, x 2, ..., x n) n वास्तविक चर x 1, x 2, ..., x nफॉर्म का योग कहा जाता है
, (1)

कहाँ पे ऐजो कुछ संख्याएँ हैं जिन्हें गुणांक कहा जाता है। व्यापकता के नुकसान के बिना, हम यह मान सकते हैं कि ऐजो = एक जिओ.

द्विघात रूप कहलाता है मान्य,अगर ऐजो जीआर। द्विघात रूप का मैट्रिक्सइसके गुणांकों से बना मैट्रिक्स कहलाता है। द्विघात रूप (1) एक अद्वितीय सममित मैट्रिक्स से मेल खाता है
अर्थात। ए टी = ए. इसलिए, द्विघात रूप (1) को मैट्रिक्स रूप j में लिखा जा सकता है ( एक्स) = एक्स टी आह, कहाँ पे एक्स टी = (एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन). (2)

और इसके विपरीत, कोई भी सममित मैट्रिक्स (2) चर के अंकन तक एक अद्वितीय द्विघात रूप से मेल खाता है।

द्विघात रूप का पदइसके मैट्रिक्स की रैंक कहा जाता है। द्विघात रूप कहलाता है गैर पतित,यदि इसका मैट्रिक्स नॉनसिंगुलर है ए. (याद रखें कि मैट्रिक्स एगैर-पतित कहा जाता है यदि इसका निर्धारक गैर-शून्य है)। अन्यथा, द्विघात रूप पतित है।

सकारात्मक रूप से निश्चित(या सख्ती से सकारात्मक) यदि

जे ( एक्स) > 0 , किसी के लिए भी एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), के अतिरिक्त एक्स = (0, 0, …, 0).

आव्यूह एसकारात्मक निश्चित द्विघात रूप j ( एक्स) को सकारात्मक निश्चित भी कहा जाता है। इसलिए, एक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप एक अद्वितीय सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स से मेल खाता है और इसके विपरीत।

द्विघात रूप (1) कहलाता है नकारात्मक निश्चित(या सख्ती से नकारात्मक) अगर

जे ( एक्स) < 0, для любого एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन), के अतिरिक्त एक्स = (0, 0, …, 0).

इसी तरह ऊपर के रूप में, एक ऋणात्मक-निश्चित द्विघात मैट्रिक्स को ऋणात्मक-निश्चित भी कहा जाता है।

इसलिए, एक धनात्मक (ऋणात्मक) निश्चित द्विघात रूप j ( एक्स) न्यूनतम (अधिकतम) मान j तक पहुँचता है ( एक्स*) = 0 के लिए एक्स* = (0, 0, …, 0).

ध्यान दें कि अधिकांश द्विघात रूप संकेत-निश्चित नहीं हैं, अर्थात वे न तो सकारात्मक हैं और न ही नकारात्मक। इस तरह के द्विघात रूप न केवल समन्वय प्रणाली के मूल में, बल्कि अन्य बिंदुओं पर भी गायब हो जाते हैं।

कब एन> 2, द्विघात रूप की चिह्न-निश्चितता की जांच के लिए विशेष मानदंड की आवश्यकता होती है। आइए उन पर विचार करें।

प्रमुख नाबालिगद्विघात रूप को अवयस्क कहा जाता है:

यानी ये क्रम 1, 2,…, के अवयस्क हैं एनमैट्रिक्स ए, ऊपरी बाएँ कोने में स्थित, उनमें से अंतिम मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ मेल खाता है ए.

सकारात्मक निश्चितता के लिए मानदंड (सिलवेस्टर मानदंड)

एक्स) = एक्स टी आहसकारात्मक निश्चित है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मैट्रिक्स के सभी प्रमुख नाबालिग एसकारात्मक थे, अर्थात्: एम 1 > 0, एम 2 > 0, …, एम नहीं > 0. नकारात्मक निश्चितता का मानदंड द्विघात रूप j के क्रम में ( एक्स) = एक्स टी आहऋणात्मक निश्चित है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सम क्रम के इसके प्रमुख अवयस्क धनात्मक हों, और विषम क्रम वाले ऋणात्मक हों, अर्थात्: एम 1 < 0, एम 2 > 0, एम 3 < 0, …, (–1)एन

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 दी गई हों, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित होगा

दो रेखाएँ समानांतर हैं यदि k 1 = k 2 । दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1/ k 2 ।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C \u003d 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 समानांतर होती हैं जब गुणांक A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB आनुपातिक होते हैं। यदि 1 = भी हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

इस लाइन के लंबवत

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया जाता है, तो रेखा Ax + Vy + C \u003d 0 की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

.

सबूत।मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

x 1 और y 1 निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जा सकते हैं:

प्रणाली का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

के 1 \u003d -3; के2 = 2; टीजीφ = ; = पी /4।

उदाहरण. दिखाएँ कि रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान. हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएं लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी। के =। फिर वाई =। चूंकि ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दिशा में गुजरने वाली रेखा का समीकरण। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं के समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , आप 1) ढलान द्वारा निर्धारित किसी दिशा में क,

आप - आप 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , आप 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) इस तरह लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एतथा बीवह कोण है जिससे पहली सीधी रेखा को घुमाया जाना चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी. यदि ढलान समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी जाती हैं

आप = क 1 एक्स + बी 1 ,

आप = क 2 एक्स + बी 2 , (4)

तब उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्न के अंश में, पहली सीधी रेखा का ढलान दूसरी सीधी रेखा के ढलान से घटाया जाता है।

यदि एक सरल रेखा के समीकरणों को सामान्य रूप में दिया जाता है

ए 1 एक्स + बी 1 आप + सी 1 = 0,

ए 2 एक्स + बी 2 आप + सी 2 = 0, (6)

उनके बीच का कोण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

4. दो पंक्तियों के समांतरता के लिए शर्तें:

a) यदि रेखाएँ समीकरण (4) द्वारा ढलान के साथ दी गई हैं, तो उनके समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त उनके ढलानों की समानता है:

क 1 = क 2 . (8)

ख) उस स्थिति के लिए जब रेखाएँ समीकरणों द्वारा सामान्य रूप (6) में दी जाती हैं, उनके समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके समीकरणों में संबंधित वर्तमान निर्देशांक पर गुणांक आनुपातिक हैं, अर्थात।

5. दो रेखाओं के लंबवत होने की शर्तें:

क) उस स्थिति में जब रेखाएँ समीकरण (4) द्वारा ढलान के साथ दी जाती हैं, उनकी लंबवतता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनके ढलान परिमाण में पारस्परिक और संकेत में विपरीत हैं, अर्थात।

इस शर्त को फॉर्म में भी लिखा जा सकता है

क 1 क 2 = -1. (11)

b) यदि सीधी रेखाओं के समीकरण सामान्य रूप (6) में दिए गए हैं, तो उनके लंबवत (आवश्यक और पर्याप्त) के लिए शर्त समानता को पूरा करना है

ए 1 ए 2 + बी 1 बी 2 = 0. (12)

6. दो रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक समीकरणों के निकाय (6) को हल करके ज्ञात किए जाते हैं। रेखाएँ (6) प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि

1. बिंदु M से गुजरने वाली रेखाओं के समीकरण लिखिए जिनमें से एक समांतर है और दूसरी दी गई रेखा l के लंबवत है।