≡×منو

• طراحی منظر
• خانه
• صنایع دستی
• گل رز
• باغ گل

ساده ترین مشکلات خط مستقیم در هواپیما. ترتیب متقابل خطوط مستقیم

این مقاله در مورد یافتن زاویه بین هواپیماها صحبت می کند. پس از ارائه تعریف، یک تصویر گرافیکی تنظیم می کنیم، یک روش دقیق برای یافتن مختصات با استفاده از روش در نظر می گیریم. فرمولی برای صفحات متقاطع بدست می آوریم که شامل مختصات بردارهای عادی است.

این مطالب از داده‌ها و مفاهیمی استفاده می‌کند که قبلاً در مقاله‌هایی درباره یک صفحه و یک خط مستقیم در فضا مطالعه شده‌اند. ابتدا باید به استدلالی بروید که به شما امکان می دهد رویکرد خاصی برای تعیین زاویه بین دو صفحه متقاطع داشته باشید.

دو صفحه متقاطع γ 1 و γ 2 داده شده است. تقاطع آنها c می شود. ساخت صفحه χ با تقاطع این صفحات همراه است. صفحه χ به صورت خط مستقیم c از نقطه M عبور می کند. صفحات γ 1 و γ 2 با استفاده از صفحه χ قطع می شوند. علامت خطی را که γ 1 و χ را قطع می کند به عنوان خط a، و متقاطع γ 2 و χ را به عنوان خط b می گیریم. دریافتیم که از محل تلاقی خطوط a و b یک نقطه M به دست می آید.

محل نقطه M بر زاویه بین خطوط مستقیم a و b متقاطع تأثیر نمی گذارد و نقطه M روی خط مستقیم c قرار دارد که صفحه χ از آن عبور می کند.

لازم است صفحه χ 1 عمود بر خط c و متفاوت از صفحه χ ساخته شود. تقاطع صفحات γ 1 و γ 2 با کمک χ 1 تعیین خطوط a 1 و b 1 را به خود می گیرد.

مشاهده می شود که هنگام ساخت χ و χ 1، خطوط مستقیم a و b عمود بر خط c هستند، سپس a 1، b 1 عمود بر خط c قرار می گیرند. با یافتن خطوط مستقیم a و a 1 در صفحه γ 1 با عمود بر خط مستقیم c می توان آنها را موازی در نظر گرفت. به همین ترتیب، محل b و b 1 در صفحه γ 2 با عمود بر خط مستقیم c نشان دهنده موازی بودن آنها است. از این رو، لازم است یک انتقال موازی از صفحه χ 1 به χ انجام دهیم، که در آن دو خط مستقیم منطبق بر a و a 1، b و b 1 به دست می آید. دریافتیم که زاویه بین خطوط مستقیم a و b 1 متقاطع برابر با زاویه خطوط مستقیم a و b است.

شکل زیر را در نظر نگیرید.

این گفته با این واقعیت ثابت می شود که بین خطوط مستقیم متقاطع a و b زاویه ای وجود دارد که به محل نقطه M یعنی نقطه تقاطع بستگی ندارد. این خطوط مستقیم در صفحات γ 1 و γ 2 قرار دارند. در واقع، زاویه حاصل را می توان به عنوان زاویه بین دو صفحه متقاطع در نظر گرفت.

اجازه دهید به تعیین زاویه بین صفحات متقاطع موجود γ 1 و γ 2 ادامه دهیم.

تعریف 1

زاویه بین دو صفحه متقاطع γ 1 و γ 2به نام زاویه ای که از تلاقی خطوط مستقیم a و b تشکیل می شود، جایی که صفحات γ 1 و γ 2 با صفحه χ، عمود بر خط مستقیم c تلاقی می کنند.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

تعریف را می توان به شکل دیگری ثبت کرد. وقتی صفحات γ 1 و γ 2 همدیگر را قطع می کنند، جایی که c خطی است که روی آن تلاقی می کنند، نقطه M را علامت گذاری کنید که از طریق آن خطوط a و b را عمود بر خط c و در صفحات γ 1 و γ 2 رسم کنید، سپس زاویه بین خطوط را مشخص کنید. a و b زاویه بین صفحات خواهد بود. این عملاً برای ساختن زاویه بین صفحات کاربرد دارد.

در محل تقاطع، زاویه ای تشکیل می شود که مقدار آن کمتر از 90 درجه است، یعنی اندازه گیری درجه زاویه برای بازه ای از این نوع معتبر است (0، 90). در عین حال به این صفحه ها عمود می گویند. اگر تقاطع زاویه قائمه تشکیل دهد زاویه بین صفحات موازی برابر با صفر در نظر گرفته می شود.

روش معمول برای یافتن زاویه بین صفحات متقاطع، ساختن ساختارهای اضافی است. این به تعیین دقیق آن کمک می کند و این را می توان با استفاده از علائم برابری یا تشابه یک مثلث، سینوس، کسینوس یک زاویه انجام داد.

اجازه دهید حل مسائل را با استفاده از مثالی از مسائل بلوک امتحانی C 2 در نظر بگیریم.

مثال 1

یک متوازی الاضلاع مستطیلی A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 داده می شود که در آن ضلع A B = 2، A D = 3، A A 1 = 7، نقطه E ضلع A A 1 را به نسبت 4: 3 تقسیم می کند. زاویه بین صفحات A B C و B E D 1 را پیدا کنید.

راه حل

برای وضوح، باید نقاشی را کامل کنید. ما آن را دریافت می کنیم

نمایش بصری برای سهولت کار با زاویه بین صفحات ضروری است.

ما خط مستقیمی را تعیین می کنیم که در امتداد آن صفحات A B C و B E D 1 قطع می شوند. نقطه B یک نقطه مشترک است. یک نقطه مشترک دیگر از تقاطع را باید پیدا کرد. خطوط D A و D 1 E را در نظر بگیرید که در همان صفحه A D D 1 قرار دارند. مکان آنها به معنای موازی بودن نیست، به این معنی که آنها نقطه تقاطع مشترک دارند.

با این حال، خط D A در صفحه A B C و D 1 E در B E D 1 قرار دارد. از این به دست می آوریم که خطوط D Aو D 1 Eیک نقطه تقاطع مشترک دارند که برای صفحات A B C و B E D 1 مشترک است. نقطه تلاقی خطوط را نشان می دهد D Aو D 1 E حرف F از این نتیجه به دست می آید که B F خطی است که صفحات A B C و B E D 1 در امتداد آن قطع می شوند.

شکل زیر را در نظر بگیرید.

برای به دست آوردن پاسخ باید خطوط واقع در صفحات А В С و В E D 1 با عبور از نقطه ای واقع در خط مستقیم B F و عمود بر آن ساخته شود. سپس زاویه حاصل بین این خطوط مستقیم، زاویه مورد نظر بین صفحات A B C و B E D 1 در نظر گرفته می شود.

از اینجا می توان دریافت که نقطه A طرح نقطه E بر روی صفحه А В С در مورد آن عمودهای AM ⊥ BF است. شکل زیر را در نظر بگیرید.

∠ A M E زاویه مورد نیاز است که توسط صفحات A B C و B E D 1 تشکیل می شود. از مثلث A E M حاصل می‌توانیم سینوس، کسینوس یا مماس زاویه را پیدا کنیم، پس از آن، خود زاویه فقط برای دو ضلع شناخته شده آن است. طبق شرط، طول AE به این صورت پیدا می شود: خط مستقیم AA 1 به نسبت 4: 3 بر نقطه E تقسیم می شود، یعنی طول کل خط مستقیم 7 قسمت است، سپس AE = 4 قسمت. . A. M را پیدا کنید.

باید یک مثلث قائم الزاویه A B F را در نظر گرفت. ما یک زاویه قائمه A با ارتفاع A M داریم. از شرط A B = 2، سپس می توانیم طول A F را با شباهت مثلث های D D 1 F و A E F پیدا کنیم. دریافت می کنیم که A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

لازم است طول ضلع B F را از مثلث A B F با استفاده از قضیه فیثاغورث بدست آوریم. دریافت می کنیم که B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5. طول ضلع A M از طریق مساحت مثلث A B F یافت می شود. داریم که مساحت می تواند هم با S A B C = 1 2 A B A F و هم S A B C = 1 2 B F A M برابر باشد.

دریافت می کنیم که A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

سپس می توانیم مقدار مماس زاویه مثلث A E M را پیدا کنیم.

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

زاویه جستجویی که از تقاطع صفحات A B C و B E D 1 به دست می آید برابر با rc tg 5 است، سپس برای ساده سازی، یک rc tg 5 = a rc sin 30 6 = a r c cos 6 6 به دست می آوریم.

پاسخ: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

برخی از موارد یافتن زاویه بین خطوط مستقیم متقاطع با استفاده از صفحه مختصات O x y z و روش مختصات مشخص می شود. بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم.

اگر در جایی که لازم است زاویه بین صفحات متقاطع γ 1 و γ 2 را پیدا کنیم، مسئله ای داده شود، زاویه مورد نظر با α نشان داده می شود.

سپس سیستم مختصات داده شده نشان می دهد که مختصات بردارهای عادی صفحات متقاطع γ 1 و γ 2 را داریم. سپس نشان می دهیم که n 1 → = n 1 x، n 1 y، n 1 z بردار نرمال صفحه γ 1 است و n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) برای هواپیما γ 2. نحوه یافتن زاویه بین این صفحات را در مختصات بردارها با جزئیات در نظر بگیرید.

لازم است خطی را تعیین کنید که در امتداد آن صفحات γ 1 و γ 2 با حرف c قطع می شوند. روی خط مستقیم c یک نقطه M داریم که از آن صفحه χ عمود بر c را می کشیم. صفحه χ در امتداد خطوط a و b صفحات γ 1 و γ 2 را در نقطه M قطع می کند. از تعریف به دست می آید که زاویه بین صفحات متقاطع γ 1 و γ 2 برابر با زاویه خطوط مستقیم متقاطع a و b متعلق به این صفحات است.

در صفحه χ، بردارهای عادی را از نقطه M به تعویق می اندازیم و آنها را با n 1 → و n 2 → نشان می دهیم. بردار n 1 → روی یک خط مستقیم عمود بر خط مستقیم a و بردار n 2 → روی یک خط مستقیم عمود بر خط مستقیم b قرار دارد. از این رو، دریافتیم که صفحه χ داده شده دارای بردار نرمال خط a، برابر با n 1 → و برای خط b، برابر با n 2 → است. شکل زیر را در نظر بگیرید.

از اینجا فرمولی به دست می آوریم که به وسیله آن می توانیم سینوس زاویه خطوط مستقیم را با استفاده از مختصات بردارها محاسبه کنیم. دریافتیم که کسینوس زاویه بین خطوط مستقیم a و b همان کسینوس بین صفحات متقاطع γ 1 و γ 2 است از فرمول cos α = cos n 1 →, n 2 → ^ = n 1 گرفته شده است. xn 2 x + n 1 yn 2 y + n 1 zn 2 zn 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2، که در آن n 1 → = (n 1 x، n 1 y، n 1 z) و n 2 → = (n 2 x، n 2 y، n 2 z) مختصات بردارهای صفحات نشان داده شده هستند.

زاویه بین خطوط مستقیم متقاطع با استفاده از فرمول محاسبه می شود

α = قوس cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 zn 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

مثال 2

بر اساس شرط، یک متوازی الاضلاع A В С D A 1 B 1 C 1 D 1 داده می شود , که در آن A B = 2، A D = 3، A A 1 = 7، و نقطه E ضلع A A 1 4: 3 را جدا می کند. زاویه بین صفحات A B C و B E D 1 را پیدا کنید.

راه حل

از حالتی که اضلاع آن به صورت زوجی عمود باشند دیده می شود. این بدان معنی است که لازم است یک سیستم مختصات O x y z با راس در نقطه C و محورهای مختصات O x، O y، O z معرفی شود. لازم است یک جهت در طرف های مربوطه قرار دهید. شکل زیر را در نظر بگیرید.

هواپیماهای متقاطع A B Cو B E D 1زاویه ای تشکیل دهید که با فرمول α = arc cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 zn 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n می توان آن را پیدا کرد 2 y 2 + n 2 z 2، که در آن n 1 → = (n 1 x، n 1 y، n 1 z) و n 2 → = (n 2 x، n 2 y، n 2 z ) بردارهای عادی اینها هستند. هواپیماها تعیین مختصات ضروری است. از شکل می بینیم که محور مختصات O x y در صفحه A B C منطبق است، به این معنی که مختصات بردار نرمال k → برابر با مقدار n 1 → = k → = (0, 0, 1) است.

حاصلضرب برداری BE ← و BD 1 ← به عنوان بردار نرمال صفحه BED 1 در نظر گرفته می شود، جایی که مختصات آن ها با مختصات نقاط انتهایی B، E، D 1، که بر اساس شرایط مسئله تعیین می شوند، پیدا می شوند. .

ما آن B (0، 3، 0)، D 1 (2، 0، 7) را دریافت می کنیم. چون A E E A 1 = 4 3، از مختصات نقاط A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 E 2, 3, 4 را خواهیم یافت. دریافت می کنیم که BE → = (2، 0، 4)، BD 1 → = 2، - 3، 7 n 2 → = BE → × BD 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12، - 6، - 6)

لازم است مختصات یافت شده را در فرمول محاسبه زاویه از طریق کسینوس معکوس جایگزین کنید. ما گرفتیم

α = arc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = arc cos 6 6 6 = arc cos 6 6

روش مختصات نتیجه مشابهی را به دست می دهد.

پاسخ: a r c cos 6 6.

وظیفه نهایی با هدف یافتن زاویه بین صفحات متقاطع با معادلات شناخته شده صفحات موجود در نظر گرفته می شود.

مثال 3

سینوس، کسینوس زاویه و مقدار زاویه تشکیل شده توسط دو خط مستقیم متقاطع را محاسبه کنید که در سیستم مختصات O xyz تعریف شده و با معادلات 2 x - 4 y + z + 1 = 0 و 3 y - به دست می آیند. z - 1 = 0.

راه حل

هنگام مطالعه مبحث معادله کلی یک خط مستقیم به شکل A x + B y + C z + D = 0، مشخص شد که A، B، C ضرایبی برابر با مختصات بردار نرمال هستند. بنابراین، n 1 → = 2، - 4، 1 و n 2 → = 0، 3، - 1 بردارهای عادی خطوط داده شده هستند.

لازم است مختصات بردارهای معمولی صفحات را در فرمول محاسبه زاویه مورد نظر صفحات متقاطع جایگزین کنید. سپس آن را دریافت می کنیم

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

از این رو داریم که کسینوس زاویه به شکل cos α = 13 210 است. سپس زاویه خطوط متقاطع مبهم نیست. با جایگزینی هویت مثلثاتی، متوجه می شویم که مقدار سینوس زاویه برابر با عبارت است. ما محاسبه می کنیم و آن را می گیریم

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

پاسخ: sin α = 41 210، cos α = 13 210، α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

مشکل 1

کسینوس زاویه بین خطوط مستقیم $ \ فراک (x + 3) (5) = \ فراک (y-2) (- 3) = \ فراک (z-1) (4) $ و $ \ چپ \ (\ begin (آرایه) (c) (x = 2 \ cdot t-3) \\ (y = -t + 1) \\ (z = 3 \ cdot t + 5) \ پایان (آرایه) \ راست. $ .

بگذارید دو خط در فاصله داده شود: $ \ frac (x-x_ (1)) (m_ (1)) = \ frac (y-y_ (1)) (n_ (1)) = \ frac (z-z_ ( 1 )) (p_ (1)) $ و $ \ فراک (x-x_ (2)) (m_ (2)) = \ فراک (y-y_ (2)) (n_ (2)) = \ فرک (z) - z_ (2)) (p_ (2)) $. یک نقطه دلخواه در فضا انتخاب کنید و دو خط کمکی موازی با داده ها را از میان آن رسم کنید. زاویه بین این خطوط هر یک از دو گوشه مجاور است که توسط خطوط ساختمانی تشکیل شده است. کسینوس یکی از زوایای بین خطوط مستقیم را می توان با استفاده از فرمول معروف $ \ cos \ phi = \ frac (m_ (1) \ cdot m_ (2) + n_ (1) \ cdot n_ (2) پیدا کرد. + p_ (1) \ cdot p_ (2)) (\ sqrt (m_ (1) ^ (2) + n_ (1) ^ (2) + p_ (1) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (m_ ( 2) ^ (2) + n_ ( 2) ^ (2) + p_ (2) ^ (2))) $. اگر مقدار $ \ cos \ phi> 0 $ باشد، یک زاویه حاد بین خطوط مستقیم به دست می آید، اگر $ \ cos \ phi

معادلات متعارف خط اول: $ \ frac (x + 3) (5) = \ frac (y-2) (- 3) = \ frac (z-1) (4) $.

معادلات متعارف خط مستقیم دوم را می توان از معادلات پارامتریک به دست آورد:

\ \ \

بنابراین، معادلات متعارف این خط عبارتند از: $ \ frac (x + 3) (2) = \ frac (y-1) (- 1) = \ frac (z-5) (3) $.

محاسبه می کنیم:

\ [\ cos \ phi = \ frac (5 \ cdot 2+ \ چپ (-3 \ راست) \ cdot \ چپ (-1 \ راست) +4 \ cdot 3) (\ sqrt (5 ^ (2) + \ چپ (-3 \ راست) ^ (2) + 4 ^ (2)) \ cdot \ sqrt (2 ^ (2) + \ چپ (-1 \ راست) ^ (2) + 3 ^ (2))) = \ frac (25) (\ sqrt (50) \ cdot \ sqrt (14)) \ تقریباً 0.9449. \]

وظیفه 2

خط اول از نقاط داده شده $ A \ چپ (2، -4، -1 \ راست) $ و $ B \ چپ (-3،5،6 \ راست) $ می گذرد، خط دوم از نقاط داده شده $ می گذرد. C \ چپ (1، -2.8 \ راست) $ و $ D \ چپ (6.7، -2 \ راست) $. فاصله بین این خطوط را پیدا کنید.

بگذارید برخی از خطوط عمود بر خطوط $ AB $ و $ CD $ باشند و آنها را به ترتیب در نقاط $ M $ و $ N $ قطع کنید. در این شرایط، طول بخش $ MN $ برابر با فاصله بین خطوط $ AB $ و $ CD $ است.

ما بردار $ \ overline (AB) $ را می سازیم:

\ [\ overline (AB) = \ چپ (-3-2 \ راست) \ cdot \ نوار (i) + \ چپ (5- \ چپ (-4 \ راست) \ راست) \ cdot \ نوار (j) + \ چپ (6- \ چپ (-1 \ راست) \ راست) \ cdot \ نوار (k) = - 5 \ cdot \ نوار (i) +9 \ cdot \ نوار (j) +7 \ cdot \ نوار (k) ). \]

بگذارید پاره ای که فاصله بین خطوط را نشان می دهد از نقطه $ M \ چپ (x_ (M), y_ (M), z_ (M) \ راست) $ در خط $ AB $ عبور کند.

ما بردار $ \ overline (AM) $ را می سازیم:

\ [\ overline (AM) = \ چپ (x_ (M) -2 \ راست) \ cdot \ نوار (i) + \ چپ (y_ (M) - \ چپ (-4 \ راست) \ راست) \ cdot \ نوار (j) + \ چپ (z_ (M) - \ چپ (-1 \ راست) \ راست) \ cdot \ نوار (k) = \] \ [= \ چپ (x_ (M) -2 \ راست) \ cdot \ نوار (i) + \ چپ (y_ (M) +4 \ راست) \ cdot \ نوار (j) + \ چپ (z_ (M) +1 \ راست) \ cdot \ نوار (k). \]

بردارهای $ \ overline (AB) $ و $ \ overline (AM) $ یکسان هستند، بنابراین آنها هم خط هستند.

مشخص است که اگر بردارهای $ \ overline (a) = x_ (1) \ cdot \ overline (i) + y_ (1) \ cdot \ overline (j) + z_ (1) \ cdot \ روی خط (k) $ و $ \ overline (b) = x_ (2) \ cdot \ overline (i) + y_ (2) \ cdot \ overline (j) + z_ (2) \ cdot \ overline (k) $ خطی هستند، سپس مختصات آنها هستند متناسب، سپس $ \ frac (x _ ((\ it 2))) ((\ it x) _ ((\ it 1))) = \ frac (y _ ((\ it 2))) ((\ it y) _ ((\ it 1))) = \ frac (z _ ((\ it 2))) ((\ it z) _ ((\ it 1))) $.

$ \ فراک (x_ (M) -2) (- 5) = \ فراکس (y_ (M) +4) (9) = \ فراک (z_ (M) +1) (7) = m $، که در آن $ m $ نتیجه تقسیم است.

از اینجا دریافت می کنیم: $ x_ (M) -2 = -5 \ cdot m $; $ y_ (M) + 4 = 9 \ cdot m $; $ z_ (M) + 1 = 7 \ cdot m $.

در نهایت، عباراتی را برای مختصات نقطه $ M $ بدست می آوریم:

ما بردار $ \ overline (CD) $ را می سازیم:

\ [\ overline (CD) = \ چپ (6-1 \ راست) \ cdot \ نوار (i) + \ چپ (7- \ چپ (-2 \ راست) \ راست) \ cdot \ نوار (j) + \ چپ (2-8 \ راست) \ cdot \ نوار (k) = 5 \ cdot \ نوار (i) +9 \ cdot \ نوار (j) -10 \ cdot \ نوار (k). \]

اجازه دهید پاره ای که فاصله بین خطوط را نشان می دهد از نقطه $ N \ چپ (x_ (N)، y_ (N)، z_ (N) \ راست) $ در خط $ CD $ عبور کند.

ما بردار $ \ overline (CN) $ را می سازیم:

\ [\ خط (CN) = \ چپ (x_ (N) -1 \ راست) \ cdot \ نوار (i) + \ چپ (y_ (N) - \ چپ (-2 \ راست) \ راست) \ cdot \ نوار (j) + \ چپ (z_ (N) -8 \ راست) \ cdot \ نوار (k) = \] \ [= \ چپ (x_ (N) -1 \ راست) \ cdot \ نوار (i) + \ چپ (y_ (N) +2 \ راست) \ cdot \ نوار (j) + \ چپ (z_ (N) -8 \ راست) \ cdot \ نوار (k). \]

بردارهای $ \ overline (CD) $ و $ \ overline (CN) $ بر هم منطبق هستند، بنابراین آنها هم خط هستند. شرط همخطی بودن بردارها را اعمال می کنیم:

$ \ فراکس (x_ (N) -1) (5) = \ فراکس (y_ (N) +2) (9) = \ فراکس (z_ (N) -8) (- 10) = n $، که در آن $ n $ نتیجه تقسیم است.

از اینجا دریافت می کنیم: $ x_ (N) -1 = 5 \ cdot n $; $ y_ (N) + 2 = 9 \ cdot n $; $ z_ (N) -8 = -10 \ cdot n $.

در نهایت، عباراتی را برای مختصات نقطه $ N $ بدست می آوریم:

ما بردار $ \ overline (MN) $ را می سازیم:

\ [\ overline (MN) = \ چپ (x_ (N) -x_ (M) \ سمت راست) \ cdot \ نوار (i) + \ چپ (y_ (N) -y_ (M) \ سمت راست) \ cdot \ نوار (j) + \ چپ (z_ (N) -z_ (M) \ راست) \ cdot \ نوار (k). \]

عبارات را جایگزین مختصات نقاط $ M $ و $ N $ کنید:

\ [\ overline (MN) = \ چپ (1 + 5 \ cdot n- \ چپ (2-5 \ cdot m \ راست) \ راست) \ cdot \ نوار (i) + \] \ [+ \ چپ (- 2 + 9 \ cdot n- \ چپ (-4 + 9 \ cdot m \ راست) \ راست) \ cdot \ نوار (j) + \ چپ (8-10 \ cdot n- \ چپ (-1 + 7 \ cdot m \ راست) \ راست) \ cdot \ نوار (k). \]

پس از انجام مراحل بدست می آوریم:

\ [\ overline (MN) = \ چپ (-1 + 5 \ cdot n + 5 \ cdot m \ راست) \ cdot \ نوار (i) + \ چپ (2 + 9 \ cdot n-9 \ cdot m \ راست ) \ cdot \ نوار (j) + \ چپ (9-10 \ cdot n-7 \ cdot m \ راست) \ cdot \ نوار (k). \]

از آنجایی که خطوط $ AB $ و $ MN $ عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر بردارهای مربوطه برابر با صفر است، یعنی $ \ overline (AB) \ cdot \ overline (MN) = 0 $:

\ [- 5 \ cdot \ چپ (-1 + 5 \ cdot n + 5 \ cdot m \ راست) +9 \ cdot \ چپ (2 + 9 \ cdot n-9 \ cdot m \ راست) +7 \ cdot \ چپ (9-10 \ cdot n-7 \ cdot m \ راست) = 0؛ \] \

پس از انجام مراحل، اولین معادله را برای تعیین $ m $ و $ n $ بدست می آوریم: $ 155 \ cdot m + 14 \ cdot n = 86 $.

از آنجایی که خطوط $ CD $ و $ MN $ عمود هستند، حاصل ضرب اسکالر بردارهای مربوطه برابر با صفر است، یعنی $ \ overline (CD) \ cdot \ overline (MN) = 0 $:

\ \ [- 5 + 25 \ cdot n + 25 \ cdot m + 18 + 81 \ cdot n-81 \ cdot m-90 + 100 \ cdot n + 70 \ cdot m = 0. \]

پس از انجام مراحل، معادله دوم را برای تعیین $ m $ و $ n $ بدست می آوریم: $ 14 \ cdot m + 206 \ cdot n = 77 $.

$ m $ و $ n $ را با حل سیستم معادلات $ \ چپ \ (\ شروع (آرایه) (c) (155 \ cdot m + 14 \ cdot n = 86) \\ (14 \ cdot m + 206 \) پیدا کنید cdot n = 77) \ end (آرایه) \ سمت راست $.

ما از روش کرامر استفاده می کنیم:

\ [\ دلتا = \ چپ | \ شروع (آرایه) (cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \ پایان (آرایه) \ سمت راست | = 31734; \] \ [\ دلتا _ (m) = \ چپ | \ شروع (آرایه) (cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \ پایان (آرایه) \ سمت راست | = 16638; \] \ [\ دلتا _ (n) = \ چپ | \ شروع (آرایه) (cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \ پایان (آرایه) \ سمت راست | = 10731; \ ] \

مختصات نقاط $ M $ و $ N $ را پیدا کنید:

\ \

سرانجام:

در نهایت، بردار $ \ overline (MN) $ را می نویسیم:

$ \ overline (MN) = \ چپ (2.691- \ چپ (-0.6215 \ راست) \ راست) \ cdot \ نوار (i) + \ چپ (1.0438-0.7187 \ راست) \ cdot \ نوار (j) + \ چپ (4.618-2.6701 \ سمت راست) \ cdot \ نوار (k) $ یا $ \ overline (MN) = 3.3125 \ cdot \ نوار (i) +0.3251 \ cdot \ نوار (j) +1.9479 \ cdot \ نوار (k) $ .

فاصله بین خطوط مستقیم $ AB $ و $ CD $ طول بردار $ \ overline (MN) $ است: $ d = \ sqrt (3.3125 ^ (2) + 0.3251 ^ (2) + 1.9479 ^ (2) ) \ تقریباً 3.8565 $ lin. واحدها

تزریق φ معادلات کلی A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 و A 2 x + B 2 y + C 2 = 0، با فرمول محاسبه می شود:

تزریق φ بین دو خط مستقیم داده شده معادلات متعارف(x-x 1) / m 1 = (y-y 1) / n 1 و (x-x 2) / m 2 = (y-y 2) / n 2، با فرمول محاسبه می شود:

فاصله از نقطه به خط

هر صفحه در فضا را می توان به عنوان یک معادله خطی نشان داد معادله کلیسطح

موارد خاص.

o اگر در رابطه (8)، صفحه از مبدأ عبور می کند.

o در (،) صفحه به ترتیب با محور (محور، محور) موازی است.

o در (،) صفحه موازی با صفحه (صفحه، صفحه) است.

راه حل: استفاده از (7)

جواب: معادله کلی هواپیما.

مثال.

صفحه در سیستم مختصات مستطیلی Oxyz با معادله کلی هواپیما به دست می آید ... مختصات تمام بردارهای عادی این صفحه را بنویسید.

می دانیم که ضرایب متغیرهای x، y و z در معادله کلی صفحه مختصات مربوط به بردار نرمال این صفحه هستند. بنابراین، بردار نرمال یک صفحه معین مختصات دارد مجموعه تمام بردارهای عادی را می توان به صورت مشخص کرد.

معادله صفحه ای را بنویسید اگر در سیستم مختصات مستطیلی اکسیز در فضا از نقطه ای عبور کند. ، آ بردار نرمال این صفحه است.

در اینجا دو راه حل برای این مشکل وجود دارد.

از شرایطی که داریم. ما این داده ها را در معادله کلی صفحه ای که از نقطه عبور می کند جایگزین می کنیم:

معادله کلی صفحه ای موازی با صفحه مختصات اویز و گذر از نقطه ای را بنویسید. .

صفحه ای که موازی با صفحه مختصات Oyz است را می توان با معادله ناقص کلی صفحه دید تعریف کرد. از آنجا که نقطه با شرط به صفحه تعلق دارد، پس مختصات این نقطه باید معادله صفحه را برآورده کند، یعنی برابری باید صادق باشد. از اینجا پیدا می کنیم. بنابراین، معادله مورد نیاز شکل دارد.

راه حل. حاصلضرب متقاطع، طبق تعریف 10.26، متعامد بردارهای p و q است. بنابراین نسبت به صفحه مورد نظر متعامد است و بردار را می توان بردار عادی آن در نظر گرفت. بیایید مختصات بردار n را پیدا کنیم:

به این معنا که ... با استفاده از فرمول (11.1) بدست می آوریم

با گسترش پرانتز در این معادله به پاسخ نهایی می رسیم.

پاسخ: .

بیایید بردار معمولی را به شکل بازنویسی کنیم و طول آن را پیدا کنیم:

با توجه به مطالب فوق:

پاسخ:

صفحات موازی بردار نرمال یکسانی دارند. 1) از معادله بردار نرمال صفحه را پیدا می کنیم :.

2) معادله هواپیما توسط نقطه و بردار نرمال جمع آوری می شود:

پاسخ:

معادله برداری یک هواپیما در فضا

معادله پارامتریک صفحه در فضا

معادله صفحه ای که از نقطه ای عمود بر یک بردار معین عبور می کند

اجازه دهید یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی در فضای سه بعدی داده شود. اجازه دهید مشکل زیر را فرموله کنیم:

صفحه ای را که از یک نقطه معین می گذرد معادل کنید م(ایکس 0, y 0, z 0) عمود بر بردار داده شده n = ( آ, ب, سی} .

راه حل. اجازه دهید پ(ایکس, y, z) یک نقطه دلخواه در فضا است. نقطه پمتعلق به صفحه اگر و فقط اگر بردار باشد نماینده مجلس = {ایکس − ایکس 0, y − y 0, z − z 0) متعامد بردار است n = {آ, ب, سی) (عکس. 1).

با نوشتن شرط متعامد برای این بردارها (n, نماینده مجلس) = 0 در فرم مختصات، به دست می آوریم:

آ(ایکس − ایکس 0) + ب(y − y 0) + سی(z − z 0) = 0

معادله صفحه سه نقطه

به صورت برداری

در مختصات

آرایش متقابل هواپیماها در فضا

- معادلات کلی دو صفحه. سپس:

1) اگر ، سپس هواپیماها منطبق می شوند.

2) اگر ، سپس هواپیماها موازی هستند.

3) اگر یا، آنگاه صفحات و سیستم معادلات همدیگر را قطع می کنند

(6)

معادلات خط تقاطع این صفحات است.

راه حل: معادلات متعارف خط مستقیم با فرمول زیر جمع آوری می شوند: پاسخ:

معادلات به دست آمده را می گیریم و به طور ذهنی "قطع" می کنیم، به عنوان مثال، قطعه سمت چپ:. حالا این قطعه را برابر می کنیم به هر شماره(به یاد داشته باشید که قبلا صفر بود)، به عنوان مثال، به یک:. از آنجا که، پس دو "قطعه" دیگر نیز باید برابر با یک باشند. در اصل، شما باید سیستم را حل کنید:

برای خطوط مستقیم زیر معادلات پارامتریک ایجاد کنید:

راه حل: خطوط مستقیم با معادلات متعارف به دست می آیند و در مرحله اول باید نقطه ای متعلق به خط مستقیم و بردار جهت آن را پیدا کرد.

الف) از معادلات حذف نقطه و بردار جهت:. می توانید نقطه دیگری را انتخاب کنید (نحوه انجام آن - که در بالا توضیح داده شد)، اما بهتر است واضح ترین مورد را انتخاب کنید. به هر حال، برای جلوگیری از اشتباه، همیشه مختصات آن را در معادلات جایگزین کنید.

بیایید معادلات پارامتری این خط مستقیم را بسازیم:

راحتی معادلات پارامتری این است که با کمک آنها می توان نقاط دیگر یک خط مستقیم را پیدا کرد. به عنوان مثال، بیایید نقطه ای را پیدا کنیم که مختصات آن، مثلاً، با مقدار پارامتر مطابقت دارد:

بنابراین: ب) معادلات متعارف را در نظر بگیرید ... انتخاب یک نقطه در اینجا ساده، اما مشکل است: (مراقب باشید، مختصات را با هم مخلوط نکنید !!!). چگونه بردار جهت را بیرون بکشم؟ می توانید حدس بزنید که این خط با چه چیزی موازی است، یا می توانید از یک ترفند رسمی ساده استفاده کنید: "بازی" و "z" با هم تناسب دارند، بنابراین بردار جهت را یادداشت می کنیم و در فضای باقی مانده صفر قرار می دهیم.

بیایید معادلات پارامتریک خط مستقیم را بسازیم:

ج) معادلات را به شکل بازنویسی کنیم، یعنی «ز» می تواند هر چیزی باشد. و اگر وجود دارد، به عنوان مثال اجازه دهید. بنابراین، نقطه متعلق به این خط است. برای یافتن بردار جهت، از تکنیک رسمی زیر استفاده می کنیم: در معادلات اصلی "x" و "بازی" وجود دارد و در بردار جهت در این مکان ها می نویسیم. صفرها: فضای باقی مانده را می گذاریم واحد: به جای یک، هر عددی غیر از صفر انجام خواهد شد.

اجازه دهید معادلات پارامتریک خط مستقیم را بنویسیم:

گوشهبین خطوط مستقیم در فضا، هر یک از زوایای مجاور را که توسط دو خط مستقیم که از طریق یک نقطه دلخواه موازی با داده ها کشیده شده اند، می نامیم.

بگذارید دو خط مستقیم در فضا داده شود:

بدیهی است که زاویه بین خطوط مستقیم را می توان به عنوان زاویه بین بردارهای جهت آنها و. از آنجا که، پس، با توجه به فرمول کسینوس زاویه بین بردارها، به دست می آوریم

شرایط موازی و عمود بودن دو خط مستقیم معادل شرایط موازی و عمود بردارهای جهت آنهاست و:

دوتا مستقیم موازیاگر و فقط اگر ضرایب متناظر آنها متناسب باشد، یعنی. ل 1 موازی ل 2 اگر و فقط اگر موازی باشد .

دوتا مستقیم عمود براگر و فقط اگر مجموع حاصل ضرب ضرایب مربوطه صفر باشد:.

دارند هدف بین خط مستقیم و صفحه

بگذارید مستقیم باشد د- عمود بر صفحه θ نیست.
د"- طرح ریزی خط مستقیم ددر هواپیما θ؛
کوچکترین زاویه بین خطوط مستقیم دو د" تماس خواهیم گرفت زاویه بین خط و صفحه.
آن را به صورت φ = ( د,θ)
اگر د⊥θ، سپس ( د، θ) = π / 2

اوه→j→ک→ - سیستم مختصات مستطیلی.
معادله صفحه:

θ: تبر+توسط+Cz+دی=0

فرض می کنیم که خط با یک نقطه و یک بردار جهت داده می شود: د[م 0,پ→]
بردار n→(آ,ب,سی)⊥θ
سپس برای یافتن زاویه بین بردارها باقی مانده است n→ و پ→، آن را با γ = ( n→,پ→).

اگر زاویه γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

اگر زاویه γ> π / 2، آنگاه زاویه جستجوی φ = γ - π / 2

sinφ = گناه (2π - γ) = cosγ

sinφ = گناه (γ - 2π) = - cosγ

سپس، زاویه بین خط و صفحهرا می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

sinφ = ∣cosγ∣ = ∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √آ 2+ب 2+سی 2√پ 21+پ 22+پ 23

سوال 29. مفهوم فرم درجه دوم. علامت - قطعیت اشکال درجه دوم.

شکل درجه دوم j (x 1، x 2، ...، x n) n متغیر واقعی x 1، x 2، ...، x nجمع فرم نامیده می شود
, (1)

جایی که یک ij - برخی از اعداد به نام ضریب. بدون از دست دادن کلیت، می توانیم چنین فرض کنیم یک ij = یک جی.

شکل درجه دوم نامیده می شود معتبر،اگر یک ij Î GR. با یک ماتریس از فرم درجه دومماتریسی متشکل از ضرایب آن نامیده می شود. شکل درجه دوم (1) با تنها ماتریس متقارن مطابقت دارد
یعنی A T = A... بنابراین، شکل درجه دوم (1) را می توان به شکل ماتریس j نوشت ( ایکس) = x T Ax، جایی که x T = (ایکس 1 ایکس 2 … x n). (2)

و برعکس، هر ماتریس متقارن (2) با یک شکل درجه دوم منحصر به فرد تا نماد متغیرها مطابقت دارد.

با رتبه فرم درجه دومرتبه ماتریس آن را صدا بزنید. شکل درجه دوم نامیده می شود غیر منحط،اگر ماتریس آن غیر منحط باشد آ... (به یاد بیاورید که ماتریس آدر صورتی که تعیین کننده آن صفر نباشد، غیر منحط نامیده می شود. در غیر این صورت، شکل درجه دوم منحط است.

مثبت تعریف شده است(یا کاملاً مثبت) اگر

j ( ایکس) > 0 ، برای هرکس ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , …, x n), بعلاوه ایکس = (0, 0, …, 0).

ماتریس آشکل درجه دوم قطعی مثبت j ( ایکس) را قطعی مثبت نیز می گویند. در نتیجه، یک ماتریس قطعی مثبت منفرد با یک فرم درجه دوم قطعی مثبت مطابقت دارد و بالعکس.

شکل درجه دوم (1) نامیده می شود منفی تعریف شده است(یا کاملاً منفی) اگر

j ( ایکس) < 0, для любого ایکس = (ایکس 1 , ایکس 2 , …, x n)، بعلاوه ایکس = (0, 0, …, 0).

به طور مشابه مانند بالا، یک ماتریس از شکل درجه دوم قطعی منفی نیز قطعی منفی نامیده می شود.

بنابراین، شکل درجه دوم قطعی مثبت (منفی) j ( ایکس) به حداقل (حداکثر) مقدار j می رسد ( ایکس*) = 0 برای ایکس* = (0, 0, …, 0).

توجه داشته باشید که اکثر اشکال درجه دوم قطعی نیستند، یعنی نه مثبت هستند و نه منفی. چنین اشکال درجه دوم نه تنها در مبدأ سیستم مختصات، بلکه در نقاط دیگر نیز ناپدید می شوند.

چه زمانی n> 2، معیارهای خاصی برای بررسی قطعی بودن فرم درجه دوم مورد نیاز است. بیایید آنها را در نظر بگیریم.

خردسالان عمدهبه شکل درجه دوم مینور می گویند:

یعنی اینها مینورهای مرتبه 1، 2، ...، nماتریس ها آواقع در گوشه سمت چپ بالا، آخرین آنها با تعیین کننده ماتریس منطبق است آ.

معیار قطعیت مثبت (معیار سیلوستر)

ایکس) = x T Axقطعی مثبت بود، لازم و کافی است که همه جزئی های اصلی ماتریس باشند آمثبت بودند، یعنی: م 1 > 0, م 2 > 0, …, M n > 0. معیار قطعیت منفی به منظور شکل درجه دوم j ( ایکس) = x T Axبه طور منفی قطعی بود، لازم و کافی است که صغیر اصلی آن از مرتبه زوج مثبت و از ترتیب فرد منفی باشد، یعنی: م 1 < 0, م 2 > 0, م 3 < 0, …, (–1)n

تعریف.اگر دو خط مستقیم y = k 1 x + b 1، y = k 2 x + b 2 داده شوند، آنگاه زاویه تند بین این خطوط مستقیم به صورت تعریف می شود.

اگر k 1 = k 2 دو خط مستقیم موازی باشند. اگر k 1 = -1 / k 2 باشد، دو خط مستقیم عمود هستند.

قضیه.خطوط مستقیم Ax + Vy + C = 0 و A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 زمانی که ضرایب متناسب A 1 = λA، B 1 = λB موازی هستند. اگر همچنین С 1 = λС، خطوط بر هم منطبق هستند. مختصات نقطه تقاطع دو خط مستقیم به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات این خطوط مستقیم یافت می شود.

معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه معین می گذرد

عمود بر این خط

تعریف.خط مستقیمی که از نقطه M 1 (x 1, y 1) می گذرد و عمود بر خط مستقیم y = kx + b با معادله نشان داده می شود:

فاصله از نقطه به خط

قضیه.اگر یک نقطه M (x 0، y 0) داده شود، فاصله تا خط مستقیم Ax + Vy + C = 0 به عنوان تعیین می شود.

.

اثباتبگذارید نقطه M 1 (x 1, y 1) قاعده عمودی باشد که از نقطه M روی یک خط مستقیم داده شده است. سپس فاصله بین نقاط M و M 1:

(1)

مختصات x 1 و y 1 را می توان به عنوان راه حلی برای سیستم معادلات یافت:

معادله دوم سیستم معادله یک خط مستقیم است که از یک نقطه معین M 0 عمود بر یک خط مستقیم معین می گذرد. اگر معادله اول سیستم را به شکل زیر تبدیل کنیم:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

سپس با حل کردن، دریافت می کنیم:

با جایگزینی این عبارات به معادله (1)، متوجه می شویم:

قضیه ثابت می شود.

مثال... زاویه بین خطوط مستقیم را تعیین کنید: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = p / 4.

مثال... نشان دهید که خطوط مستقیم 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عمود هستند.

راه حل... ما پیدا می کنیم: k 1 = 3/5، k 2 = -5/3، k 1 * k 2 = -1، بنابراین، خطوط مستقیم عمود هستند.

مثال... رئوس مثلث A (0; 1)، B (6; 5)، C (12; -1) داده شده است. معادله ارتفاع رسم شده از راس C را پیدا کنید.

راه حل... معادله ضلع AB را پیدا می کنیم: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

معادله ارتفاع مورد نیاز عبارت است از: Ax + By + C = 0 یا y = kx + b. k =. سپس y =. زیرا ارتفاع از نقطه C عبور می کند، سپس مختصات آن این معادله را برآورده می کند: از آنجا b = 17. مجموع:.

پاسخ: 3 x + 2 y - 34 = 0.

معادله خط مستقیمی که از نقطه معینی در جهت معین می گذرد. معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد. زاویه بین دو خط مستقیم. شرط موازی بودن و عمود بودن دو خط. تعیین نقطه تقاطع دو خط

1. معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه معین می گذرد آ(ایکس 1 , y 1) در یک جهت معین، تعیین شده توسط شیب ک,

y - y 1 = ک(ایکس - ایکس 1). (1)

این معادله دسته ای از خطوط مستقیم را که از نقطه عبور می کنند تعریف می کند آ(ایکس 1 , y 1) که مرکز پرتو نامیده می شود.

2. معادله خط مستقیمی که از دو نقطه می گذرد: آ(ایکس 1 , y 1) و ب(ایکس 2 , y 2) به صورت زیر نوشته می شود:

شیب خط مستقیمی که از دو نقطه داده شده می گذرد با فرمول تعیین می شود

3. زاویه بین خطوط مستقیم آو ببه آن زاویه ای می گویند که باید اولین مسیر مستقیم را بچرخانید آاطراف نقطه تقاطع این خطوط در خلاف جهت عقربه های ساعت تا زمانی که با خط دوم منطبق شود ب... اگر دو خط مستقیم با معادلات با شیب داده شود

y = ک 1 ایکس + ب 1 ,

y = ک 2 ایکس + ب 2 , (4)

سپس زاویه بین آنها با فرمول تعیین می شود

توجه داشته باشید که در صورت شمار کسر، شیب خط مستقیم اول از شیب خط مستقیم دوم کم می شود.

اگر معادلات خط مستقیم به صورت کلی آورده شده باشد

آ 1 ایکس + ب 1 y + سی 1 = 0,

آ 2 ایکس + ب 2 y + سی 2 = 0, (6)

زاویه بین آنها با فرمول تعیین می شود

4. شرایط موازی بودن دو خط:

الف) اگر خطوط مستقیم با معادله (4) با شیب به دست آیند، شرط لازم و کافی برای موازی بودن آنها برابری شیب آنها است:

ک 1 = ک 2 . (8)

ب) در موردی که خطوط مستقیم با معادلات به صورت کلی (6) به دست می‌آیند، شرط لازم و کافی برای موازی بودن آنها این است که ضرایب در مختصات جریان متناظر در معادلات آنها متناسب باشند، یعنی.

5. شرایط عمود بودن دو خط:

الف) در حالتی که خطوط مستقیم با معادلات (4) با شیب به دست می‌آیند، شرط لازم و کافی برای عمود بودن آنها این است که شیب آنها از نظر قدر متقابل و از نظر علامت مخالف باشند، یعنی.

این شرط را می توان به صورت هم نوشت

ک 1 ک 2 = -1. (11)

ب) اگر معادلات خطوط مستقیم به صورت کلی (6) آورده شده باشد، شرط عمود بودن آنها (لازم و کافی) عبارت است از تحقق تساوی.

آ 1 آ 2 + ب 1 ب 2 = 0. (12)

6. مختصات نقطه تقاطع دو خط مستقیم با حل سیستم معادلات (6) بدست می آید. خطوط مستقیم (6) اگر و فقط اگر را قطع می کنند

1. معادلات خطوط مستقیمی که از نقطه M عبور می کنند را بنویسید که یکی از آنها موازی و دیگری عمود بر یک خط مستقیم l است.