تبدیل عبارات لگاریتمی خواص لگاریتم ها و مثال هایی از حل آنها
وظایفی که راه حل آن است تبدیل عبارات لگاریتمی، اغلب در امتحان یافت می شود.
برای کنار آمدن موفقیت آمیز با آنها با حداقل صرف زمان، علاوه بر هویت های لگاریتمی پایه، لازم است برخی از فرمول های بیشتری را بشناسیم و به درستی استفاده کنیم.
این عبارت است از: a log a b = b، که در آن a، b > 0، a ≠ 1 (مستقیماً از تعریف لگاریتم ناشی می شود).
log a b = log c b / log c a یا log a b = 1/log b a
که در آن a، b، c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |ب|
که در آن a، b > 0، a ≠ 1، m، n Є R، n ≠ 0.
a log c b = b log c a
که در آن a، b، c > 0 و a، b، c ≠ 1
برای نشان دادن اعتبار تساوی چهارم، لگاریتم ضلع چپ و راست را در مبنای a می گیریم. ما log a (a log c b) = log a (b log c a) یا log c b = log c a log a b را دریافت می کنیم. log c b = log c a (log c b / log c a); log با b = ورود با b.
تساوی لگاریتم ها را ثابت کردیم یعنی عبارات زیر لگاریتم ها هم مساوی هستند. فرمول 4 ثابت شده است.
مثال 1
81 log 27 5 log 5 4 را محاسبه کنید.
راه حل.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. بنابراین
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
سپس 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
می توانید کار زیر را خودتان انجام دهید.
محاسبه (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0.2 5.
به عنوان یک اشاره، 0.2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0.2 5 = -1.
جواب: 5.
مثال 2
محاسبه (√11) ورود به سیستم √3 9 log 121 81 .
راه حل.
بیایید عبارات را جایگزین کنیم: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,
121 = 11 2، 81 = 3 4، log 121 81 = 2 log 11 3 (فرمول 3 استفاده شد).
سپس (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
مثال 3
محاسبه log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.
راه حل.
لگاریتم های موجود در مثال را با لگاریتم های پایه 2 جایگزین می کنیم.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
سپس log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).
پس از باز کردن براکت ها و کاهش عبارت های مشابه، عدد 3 را به دست می آوریم. (هنگام ساده سازی عبارت، log 2 3 را می توان با n نشان داد و عبارت را ساده کرد.
(3 + n) (5 + n) - (6 + n) (2 + n)).
پاسخ: 3.
شما می توانید کارهای زیر را به تنهایی انجام دهید:
محاسبه (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
در اینجا لازم است که به لگاریتم در پایه 3 انتقال داده شود و به عوامل اول اعداد بزرگ تجزیه شود.
جواب: 1/2
مثال 4
سه عدد A \u003d 1 / (log 3 0.5)، B \u003d 1 / (log 0.5 3)، C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3. آنها را به ترتیب صعودی مرتب کنید.
راه حل.
بیایید اعداد A \u003d 1 / (log 3 0.5) \u003d log 0.5 3 را تبدیل کنیم. C \u003d log 0.5 12 - log 0.5 3 \u003d log 0.5 12/3 \u003d log 0.5 4 \u003d -2.
بیایید آنها را با هم مقایسه کنیم
log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 و log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
یا 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
پاسخ. بنابراین ترتیب قرارگیری اعداد: ج; آ؛ V.
مثال 5
چند عدد صحیح در بازه وجود دارد (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
راه حل.
بیایید تعیین کنیم که بین کدام قدرت های عدد 3 عدد 1/16 است. ما 1/27 می گیریم< 1 / 16 < 1 / 9 .
از آنجایی که تابع y \u003d log 3 x در حال افزایش است، پس log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). گزارش 6 (4/3) و 1/5 را با هم مقایسه کنید. و برای این ما اعداد 4 / 3 و 6 1/5 را با هم مقایسه می کنیم. هر دو عدد را به توان 5 برسانید. ما (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243 می گیریم< 6. Следовательно,
گزارش 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
بنابراین، بازه (log 3 1 / 16 ; log 6 48) شامل بازه [-2; 4] و اعداد صحیح -2 روی آن قرار می گیرند. -یک 0; یک 2 3; 4.
پاسخ: 7 عدد صحیح.
مثال 6
3 lglg 2 / lg 3 - lg20 را محاسبه کنید.
راه حل.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 log 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
سپس 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0.1 = -1.
پاسخ 1.
مثال 7
مشخص است که log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2) را پیدا کنید.
راه حل.
اعداد (√3 + 1) و (√3 - 1)؛ (√6 - 2) و (√6 + 2) مزدوج هستند.
اجازه دهید تبدیل عبارات زیر را انجام دهیم
√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).
سپس log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.
جواب: 2 - الف.
مثال 8.
ساده کنید و مقدار تقریبی عبارت را پیدا کنید (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
راه حل.
همه لگاریتم ها را به یک پایه مشترک 10 کاهش می دهیم.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0.3010. (مقدار تقریبی lg 2 را می توان با استفاده از جدول، قانون اسلاید یا ماشین حساب پیدا کرد).
پاسخ: 0.3010.
مثال 9.
log a 2 b 3 √(a 11 b -3) را محاسبه کنید اگر log √ a b 3 = 1. (در این مثال، a 2 b 3 پایه لگاریتم است).
راه حل.
اگر log √ a b 3 = 1، سپس 3/(0.5 log a b = 1. و log a b = 1/6.
سپس log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log aa 11 + log ab -3) / (2(log aa 2 + log ab 3)) = (11 - 3log ab) / (2(2 + 3log ab)) که log و b = 1/6 دریافت می کنیم (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10.5/5 = 2.1.
پاسخ: 2.1.
شما می توانید کارهای زیر را به تنهایی انجام دهید:
محاسبه log √3 6 √2.1 اگر log 0.7 27 = a.
پاسخ: (3 + a) / (3a).
مثال 10
6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125 را محاسبه کنید.
راه حل.
6.5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (فرمول 4))
ما 9 + 6 = 15 می گیریم.
جواب: 15.
آیا هیچ سوالی دارید؟ مطمئن نیستید که چگونه مقدار یک عبارت لگاریتمی را پیدا کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است
سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.
برابری های فهرست شده هنگام تبدیل عبارات با لگاریتم هم از راست به چپ و هم از چپ به راست استفاده می شود.
شایان ذکر است که لازم نیست پیامدهای ویژگی ها را به خاطر بسپارید: هنگام انجام تبدیل ها، می توانید با ویژگی های اصلی لگاریتم ها و سایر حقایق (به عنوان مثال، موارد b≥0) که مربوط به آن ها می شود، کنار بیایید. عواقب به دنبال دارد. "عوارض جانبی" این رویکرد فقط این است که راه حل کمی طولانی تر خواهد بود. به عنوان مثال، به منظور انجام بدون نتیجه، که با فرمول بیان می شود 
، و فقط با شروع از ویژگی های اصلی لگاریتم ها، باید زنجیره ای از تبدیل ها را به شکل زیر انجام دهید: 
.
همین امر را می توان در مورد آخرین ویژگی از لیست بالا که مطابق با فرمول است، گفت 
، زیرا از خواص اصلی لگاریتم ها نیز بر می آید. نکته اصلی برای درک این است که همیشه ممکن است درجه یک عدد مثبت با یک لگاریتم در توان، پایه درجه و عدد زیر علامت لگاریتم را عوض کند. انصافاً متذکر می شویم که نمونه هایی که شامل اجرای تحولاتی از این نوع است در عمل نادر است. در زیر به چند مثال می پردازیم.
تبدیل عبارات عددی با لگاریتم
ما خواص لگاریتم ها را به یاد آوردیم، اکنون زمان آن رسیده است که یاد بگیریم چگونه آنها را برای تبدیل عبارات عملی کنیم. طبیعی است که با تبدیل عبارات عددی شروع کنیم و نه عبارات با متغیرها، زیرا یادگیری اصول اولیه روی آنها راحت تر و آسان تر است. بنابراین ما این کار را انجام می دهیم و با مثال های بسیار ساده شروع می کنیم تا نحوه انتخاب خاصیت مورد نظر لگاریتم را بیاموزیم، اما به تدریج مثال ها را پیچیده می کنیم تا جایی که باید چندین ویژگی در یک مورد اعمال شود. ردیف کنید تا نتیجه نهایی را به دست آورید.
انتخاب ویژگی مورد نظر لگاریتم
خواص لگاریتم ها چندان کم نیستند و واضح است که باید بتوانید از بین آنها مورد مناسب را انتخاب کنید که در این مورد خاص به نتیجه دلخواه منجر می شود. معمولاً این کار با مقایسه شکل لگاریتم یا عبارت در حال تبدیل با انواع قسمت‌های چپ و راست فرمول‌های بیان‌کننده ویژگی‌های لگاریتم دشوار نیست. اگر سمت چپ یا راست یکی از فرمول ها با لگاریتم یا عبارت داده شده مطابقت داشته باشد، به احتمال زیاد این ویژگی است که باید در طول تبدیل اعمال شود. مثال های زیر به وضوح این موضوع را نشان می دهد.
بیایید با مثال هایی از تبدیل عبارات با استفاده از تعریف لگاریتم شروع کنیم که با فرمول a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 مطابقت دارد.
مثال.
در صورت امکان محاسبه کنید: a) 5 log 5 4 , b) 10 log (1+2 π) , c) 
، د) 2 log 2 (-7) ، e) .
راه حل.
در مثال، حرف a) به وضوح ساختار a log a b را نشان می دهد، جایی که a=5، b=4. این اعداد شرایط a>0، a≠1، b>0 را برآورده می کنند، بنابراین می توانید با خیال راحت از برابری a log a b =b استفاده کنید. 5 log 5 4=4 داریم.
ب) در اینجا a=10، b=1+2 π، شرایط a>0، a≠1، b>0 برآورده می شوند. در این حالت برابری 10 lg(1+2 π) =1+2 π صورت می گیرد.
ج) و در این مثال با درجه ای از شکل a log a b ، Where و b=ln15 سروکار داریم. بنابراین 
.
علیرغم تعلق به همان شکل a log a b (در اینجا a=2، b=−7)، عبارت زیر حرف d) نمی تواند با فرمول a log a b =b تبدیل شود. دلیل آن این است که منطقی نیست زیرا دارای یک عدد منفی در زیر علامت لگاریتم است. علاوه بر این، عدد b=−7 شرط b>0 را برآورده نمی‌کند، که استفاده از فرمول a log a b =b را غیرممکن می‌کند، زیرا به شرایط a>0، a≠1، b>0 نیاز دارد. بنابراین، ما نمی توانیم در مورد محاسبه مقدار 2 log 2 (-7) صحبت کنیم. در این مورد، نوشتن 2 log 2 (-7) = -7 یک خطا خواهد بود.
به همین ترتیب، در مثال زیر حرف ه) نمی توان راه حلی برای شکل ارائه داد 
، از آنجایی که عبارت اصلی معنی ندارد.
پاسخ:
الف) 5 log 5 4 = 4، ب) 10 log(1+2 π) =1+2 π، ج) ، د) ه) عبارات معنی ندارند.
اغلب مفید است که یک عدد مثبت را به عنوان توان یک عدد غیر یک مثبت با یک لگاریتم در توان تبدیل کنیم. این بر اساس همان تعریف لگاریتم است. برای مثال 3=e ln3 یا 5=5 log 5 5 .
بیایید به استفاده از خواص لگاریتم برای تبدیل عبارات ادامه دهیم.
مثال.
مقدار عبارت را بیابید: الف) log −2 1، ب) log 1 1، ج) log 0 1، د) log 7 1، ه) ln1، f) lg1، g) log 3.75 1، h) log 5 π 7 1 .
راه حل.
در مثال های زیر حروف a)، b) و c)، عبارات log −2 1، log 1 1، log 0 1 آورده شده است، که منطقی نیستند، زیرا پایه لگاریتم نباید دارای عدد منفی باشد. صفر یا یک، زیرا لگاریتم را فقط برای پایه مثبت و غیر واحدی تعریف کرده ایم. بنابراین، در مثال های الف - ج) بحثی در مورد یافتن ارزش عبارت وجود ندارد.
در تمام کارهای دیگر، بدیهی است که پایه های لگاریتم به ترتیب شامل اعداد مثبت و غیر واحدی 7، e، 10، 3.75 و 5 π7 هستند و واحدها در همه جا زیر علائم لگاریتم قرار دارند. و ما ویژگی لگاریتم وحدت را می دانیم: log a 1=0 برای هر a>0 , a≠1 . بنابراین، مقادیر عبارات b) - f) برابر با صفر است.
پاسخ:
الف)، ب)، ج) عبارات معنی ندارند، د) log 7 1=0، ه) ln1=0، f) log1=0، g) log 3.75 1=0، h) log 5 e 7 1 =0
مثال.
محاسبه کنید: الف) ، ب) lne ، ج) lg10 ، d) log 5 π3-2 (5 π3-2), ه) log −3 (−3) , f) log 1 1 .
راه حل.
واضح است که باید از خاصیت لگاریتم پایه استفاده کنیم که با فرمول log a a=1 برای a>0 , a≠1 مطابقت دارد. در واقع، در وظایف زیر همه حروف، عدد زیر علامت لگاریتم با پایه آن منطبق است. بنابراین، من می خواهم بلافاصله بگویم که ارزش هر یک از عبارات داده شده 1 است. با این حال، در نتیجه گیری عجله نکنید: در وظایف زیر حروف الف) - د) مقادیر عبارات واقعاً برابر با یک است و در وظایف e) و و) عبارات اصلی معنی ندارند، بنابراین نمی توان گفته می شود که مقادیر این عبارات برابر با 1 است.
پاسخ:
الف)، ب) lne=1، ج) lg10=1، d) log 5 π 3 - 2 ( 5 π 3 - 2 ) = 1، ه) و) عبارات معنی ندارند.
مثال.
مقدار را پیدا کنید: a) log 3 3 11 , b) 
، ج) ، د) log -10 (-10) 6.
راه حل.
بدیهی است که در زیر علائم لگاریتم درجاتی از قاعده وجود دارد. بر این اساس، می‌دانیم که ویژگی درجه پایه در اینجا مفید است: log a a p =p، که در آن a>0، a≠1 و p هر عدد واقعی است. با توجه به این، نتایج زیر را داریم: الف) log 3 3 11 = 11 , b) 
، v) 
. آیا می توان یک برابری مشابه برای مثال زیر حرف d) از شکل log −10 (−10) 6 =6 نوشت؟ نه، نمی توانید، زیرا log −10 (−10) 6 منطقی نیست.
پاسخ:
الف) لاگ 3 3 11 = 11، ب) ، v) د) بیان معنی ندارد.
مثال.
عبارت را به صورت مجموع یا اختلاف لگاریتم ها در یک پایه بیان کنید: الف) 
، ب) ، ج) log((-5) (-12)) .
راه حل.
الف) حاصلضرب تحت علامت لگاریتم است و ویژگی لگاریتم حاصلضرب log a (xy)=log a x+log ay , a>0 , a≠1 , x>0 , y> را می دانیم. 0 . در مورد ما، عدد در پایه لگاریتم و اعداد در محصول مثبت هستند، یعنی شرایط ویژگی انتخاب شده را برآورده می کنند، بنابراین، می توانیم با خیال راحت آن را اعمال کنیم: 
.
ب) در اینجا از خاصیت لگاریتم ضریب استفاده می کنیم که a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . در مورد ما، پایه لگاریتم یک عدد مثبت است، صورت و مخرج π مثبت هستند، به این معنی که آنها شرایط خاصیت را برآورده می کنند، بنابراین ما حق داریم از فرمول انتخاب شده استفاده کنیم: 
.
ج) ابتدا توجه داشته باشید که عبارت lg((-5) (-12)) منطقی است. اما در عین حال، ما حق اعمال فرمول لگاریتم محصول log a (xy)=log a x+log ay , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 را نداریم. ، از آنجایی که اعداد -5 و -12 منفی هستند و شرایط x>0، y>0 را برآورده نمی کنند. یعنی انجام چنین تحولی غیرممکن است: log((-5)(-12))=log(-5)+log(-12). اما چه باید کرد؟ در چنین مواردی، عبارت اصلی باید از قبل تبدیل شود تا از اعداد منفی جلوگیری شود. در مورد موارد مشابه تبدیل عبارات با اعداد منفی زیر علامت لگاریتم در یکی از آنها به تفصیل صحبت خواهیم کرد، اما فعلاً برای این مثال راه حلی خواهیم داد که از قبل واضح و بدون توضیح است: lg((-5)(-12))=lg(5 12)=lg5+lg12.
پاسخ:
آ) ، ب) ، ج) lg((-5) (-12))=lg5+lg12.
مثال.
عبارت را ساده کنید: الف) log 3 0.25 + log 3 16 + log 3 0.5، b) .
راه حل.
در اینجا، همه همان خواص لگاریتم حاصل و لگاریتم ضریب که در مثال های قبلی استفاده کردیم به ما کمک می کند، فقط اکنون آنها را از راست به چپ اعمال می کنیم. یعنی مجموع لگاریتم ها را به لگاریتم حاصلضرب و تفاضل لگاریتم ها را به لگاریتم ضریب تبدیل می کنیم. ما داریم
آ) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 (0.25 16 0.5)=log 3 2.
ب) 
.
پاسخ:
آ) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 2، ب) 
.
مثال.
از درجه زیر علامت لگاریتم خلاص شوید: الف) log 0.7 5 11، ب) 
، ج) log 3 (-5) 6.
راه حل.
به راحتی می توان فهمید که ما با عباراتی مانند log a b p سروکار داریم. خاصیت متناظر لگاریتم log a b p = p log a b است که a>0 , a≠1 , b>0 , p هر عدد واقعی است. یعنی تحت شرایط a>0 , a≠1 , b>0 از لگاریتم درجه log a b p می توانیم به حاصل ضرب p·log a b برویم. بیایید این تبدیل را با عبارات داده شده انجام دهیم.
الف) در این حالت a=0.7، b=5 و p=11. بنابراین log 0.7 5 11 = 11 log 0.7 5.
ب) در اینجا، شرایط a>0، a≠1، b>0 برآورده می شود. بنابراین 
ج) عبارت log 3 (-5) 6 دارای همان ساختار log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 است. اما برای b، شرط b>0 برآورده نمی شود، که استفاده از فرمول log a b p = p log a b را غیرممکن می کند. پس چرا نمی توانید کار را انجام دهید؟ ممکن است، اما تبدیل اولیه عبارت مورد نیاز است، که در زیر در پاراگراف تحت عنوان به طور مفصل در مورد آن بحث خواهیم کرد. راه حل به این صورت خواهد بود: log 3 (-5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.
پاسخ:
الف) log 0.7 5 11 = 11 log 0.7 5،
ب)
ج) log 3 (-5) 6 =6 log 3 5 .
اغلب، فرمول لگاریتم درجه هنگام انجام تبدیل ها باید از راست به چپ به شکل p log a b \u003d log a b p اعمال شود (این به شرایط یکسانی برای a، b و p نیاز دارد). به عنوان مثال، 3 ln5=ln5 3 و lg2 log 2 3 = log 2 3 lg2 .
مثال.
الف) مقدار log 2 5 را در صورتی که معلوم باشد lg2≈0.3010 و lg5≈0.6990 محاسبه کنید. ب) کسر را به صورت لگاریتمی بر مبنای 3 بنویسید.
راه حل.
الف) فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم به ما امکان می دهد این لگاریتم را به عنوان نسبت لگاریتم های اعشاری نشان دهیم که مقادیر آن برای ما شناخته شده است: . فقط برای انجام محاسبات باقی مانده است، ما داریم 
.
ب) در اینجا کافی است از فرمول انتقال به یک پایه جدید استفاده کنید و آن را از راست به چپ اعمال کنید، یعنی به شکل 
. ما گرفتیم 
.
پاسخ:
الف) log 2 5≈2.3223، ب) .
در این مرحله، تبدیل ساده‌ترین عبارات را با استفاده از ویژگی‌های اصلی لگاریتم و تعریف لگاریتم با دقت بررسی کرده‌ایم. در این مثال ها باید از یک خاصیت استفاده می کردیم و نه چیز دیگری. اکنون، با وجدان راحت، می توانید به سراغ نمونه هایی بروید که تبدیل آنها مستلزم استفاده از چندین ویژگی لگاریتم و سایر تبدیل های اضافی است. در پاراگراف بعدی به آنها خواهیم پرداخت. اما قبل از آن، اجازه دهید به طور خلاصه به نمونه هایی از کاربرد پیامدهای خواص اصلی لگاریتم ها بپردازیم.
مثال.
الف) از ریشه زیر علامت لگاریتم خلاص شوید. ب) کسر را به لگاریتم پایه 5 تبدیل کنید. ج) از قدرت های زیر علامت لگاریتم و در پایه آن خلاص شوید. د) مقدار عبارت را محاسبه کنید 
. ه) عبارت را با پایه 3 جایگزین کنید.
راه حل.
الف) اگر نتیجه را از خاصیت لگاریتم درجه به یاد آوریم 
، سپس می توانید بلافاصله پاسخ دهید: 
.
ب) در اینجا از فرمول استفاده می کنیم 
از راست به چپ، داریم 
.
ج) در این صورت فرمول به نتیجه می رسد . ما گرفتیم 
.
د) و در اینجا کافی است نتیجه ای که فرمول با آن مطابقت دارد اعمال شود 
. بنابراین 
.
ه) خاصیت لگاریتم به ما امکان می دهد به نتیجه دلخواه برسیم: 
.
پاسخ:
آ) . ب) . v) 
. ز) 
. ه) .
استفاده مداوم از چندین ویژگی
وظایف واقعی برای تبدیل عبارات با استفاده از ویژگی های لگاریتم معمولاً پیچیده تر از مواردی هستند که در پاراگراف قبل به آنها پرداختیم. در آنها، به عنوان یک قاعده، نتیجه در یک مرحله به دست نمی آید، اما راه حل از قبل شامل اعمال متوالی ویژگی های یکی پس از دیگری، همراه با تبدیل های مشابه اضافی، مانند باز کردن براکت ها، کاهش عبارت های مشابه، کاهش کسرها و غیره است. . پس بیایید به چنین نمونه هایی نزدیک شویم. هیچ چیز پیچیده ای در این مورد وجود ندارد، نکته اصلی این است که با رعایت ترتیب انجام اقدامات، با دقت و به طور مداوم عمل کنید.
مثال.
مقدار یک عبارت را محاسبه کنید (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.
راه حل.
تفاوت لگاریتم ها در پرانتز با خاصیت لگاریتم ضریب را می توان با لگاریتم log 3 (15:5) جایگزین کرد و سپس مقدار آن را log 3 (15:5)=log 3 3=1 محاسبه کرد. و مقدار عبارت 7 log 7 5 با تعریف لگاریتم 5 است. با جایگزینی این نتایج به عبارت اصلی، دریافت می کنیم (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.
در اینجا یک راه حل بدون توضیح وجود دارد:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5 = 1 5 = 5 .
پاسخ:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.
مثال.
مقدار عبارت عددی log 3 log 2 2 3 −1 چقدر است؟
راه حل.
بیایید ابتدا لگاریتمی را که زیر علامت لگاریتم است، مطابق فرمول لگاریتم درجه تبدیل کنیم: log 2 2 3 =3. بنابراین log 3 log 2 2 3 =log 3 3 و سپس log 3 3 = 1 . بنابراین log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .
پاسخ:
log 3 log 2 2 3 −1=0 .
مثال.
بیان را ساده کنید.
راه حل.
فرمول تبدیل به پایه جدید لگاریتم اجازه می دهد تا نسبت لگاریتم به یک پایه به صورت log 3 5 نمایش داده شود. در این حالت، عبارت اصلی به شکل . طبق تعریف لگاریتم 3 log 3 5 = 5 , یعنی 
، و مقدار عبارت حاصل، به موجب همان تعریف لگاریتم، برابر با دو است.
در اینجا یک نسخه کوتاه از راه حل است که معمولا ارائه می شود: 
.
پاسخ:
.
برای انتقال آرام به اطلاعات پاراگراف بعدی، اجازه دهید نگاهی به عبارات 5 2+log 5 3 و lg0.01 بیاندازیم. ساختار آنها با هیچ یک از خواص لگاریتم مطابقت ندارد. پس اگر نتوان آنها را با استفاده از خواص لگاریتم تبدیل کرد چه اتفاقی می افتد؟ این امکان وجود دارد که شما تبدیلات اولیه را انجام دهید که این عبارات را برای اعمال خواص لگاریتم آماده می کند. بنابراین 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, 
و lg0,01=lg10 −2 = −2 . علاوه بر این، ما با جزئیات خواهیم فهمید که چگونه چنین آماده سازی عبارات انجام می شود.
آماده سازی عبارات برای اعمال خواص لگاریتم
لگاریتم ها در عبارت تبدیل شده اغلب در ساختار علامت گذاری با قسمت های چپ و راست فرمول ها که با ویژگی های لگاریتم مطابقت دارند متفاوت است. اما به همان اندازه اغلب، تبدیل این عبارات شامل استفاده از خواص لگاریتم است: استفاده از آنها فقط به آماده سازی اولیه نیاز دارد. و این آماده سازی شامل انجام برخی تبدیلات یکسان است که لگاریتم ها را به شکلی مناسب برای اعمال خواص می آورد.
در انصاف، ما توجه می کنیم که تقریباً هر تبدیل عبارات می تواند به عنوان تبدیل اولیه عمل کند، از کاهش پیش پا افتاده اصطلاحات مشابه تا استفاده از فرمول های مثلثاتی. این قابل درک است، زیرا عبارات تبدیل شده می توانند شامل هر شیء ریاضی باشند: براکت، ماژول، کسری، ریشه، درجه و غیره. بنابراین، برای بهره مندی بیشتر از خواص لگاریتم، باید آماده انجام هرگونه تبدیل مورد نیاز باشد.
بیایید فوراً بگوییم که در این بخش ما وظیفه طبقه‌بندی و تجزیه و تحلیل همه تبدیل‌های اولیه قابل تصور را که به ما امکان می‌دهد خواص لگاریتم یا تعریف لگاریتم را در آینده اعمال کنیم، قرار نمی‌دهیم. در اینجا تنها به چهار مورد از آنها می پردازیم که مشخصه ترین آنها هستند و اغلب در عمل با آن مواجه می شوند.
و اکنون به تفصیل در مورد هر یک از آنها، پس از آن، در چارچوب موضوع ما، تنها پرداختن به تبدیل عبارات با متغیرها در زیر علائم لگاریتم باقی می ماند.
انتخاب توان ها در زیر علامت لگاریتم و در پایه آن
بیایید بلافاصله با یک مثال شروع کنیم. بگذارید یک لگاریتم داشته باشیم. بدیهی است که در این شکل ساختار آن برای استفاده از خواص لگاریتم مساعد نیست. آیا می توان این عبارت را به نحوی تبدیل کرد تا آن را ساده کرد یا حتی بهتر مقدار آن را محاسبه کرد؟ برای پاسخ به این سوال، اجازه دهید نگاهی دقیق تر به اعداد 81 و 1/9 در زمینه مثال خود بیاندازیم. در اینجا به راحتی می توان فهمید که این اعداد را می توان به عنوان توان 3، در واقع، 81=3 4 و 1/9=3 −2 نشان داد. در این حالت لگاریتم اصلی به صورت ارائه شده و امکان اعمال فرمول میسر می شود . بنابراین، 
.
تجزیه و تحلیل مثال تحلیل شده ایده زیر را به وجود می آورد: در صورت امکان، می توانید سعی کنید درجه را در زیر علامت لگاریتم و در پایه آن برجسته کنید تا خاصیت لگاریتم درجه یا پیامد آن را اعمال کنید. فقط باید بفهمیم که چگونه این درجه ها را مشخص کنیم. ما در این مورد توصیه هایی خواهیم داشت.
گاهی اوقات کاملاً واضح است که عدد زیر علامت لگاریتم و / یا در پایه آن نشان دهنده مقداری قدرت صحیح است، همانطور که در مثالی که در بالا بحث شد. تقریباً دائماً باید با قدرت های دو دست و پنجه نرم کنید که به خوبی آشنا هستند: 4=2 2، 8=2 3، 16=2 4، 32=2 5، 64=2 6، 128=2 7، 256=2 8. , 512 = 2 9 , 1024 = 2 10 . در مورد درجات ثلاث هم می توان گفت: 9=3 2، 27=3 3، 81=3 4، 243=3 5، ... در کل اگر وجود داشته باشد ضرری ندارد. جدول توان اعداد طبیعیدر عرض ده همچنین کار با توان های اعداد صحیح ده، صد، هزار و غیره دشوار نیست.
مثال.
مقدار را محاسبه کنید یا عبارت را ساده کنید: a) log 6 216 , b) , c) log 0.000001 0.001 .
راه حل.
الف) بدیهی است 216=6 3 پس log 6 216=log 6 6 3 =3 .
ب) جدول توان های اعداد طبیعی به ما اجازه می دهد تا اعداد 343 و 1/243 را به ترتیب به عنوان توان های 7 3 و 3 −4 نشان دهیم. بنابراین، تبدیل زیر لگاریتم داده شده ممکن است: 
ج) از آنجایی که 0.000001=10-6 و 0.001=10-3، پس log 0.000001 0.001=log 10 -6 10 -3 =(-3)/(-6)=1/2.
پاسخ:
الف) لاگ 6 216=3، ب) 
، ج) log 0.000001 0.001=1/2.
در موارد پیچیده تر، برای برجسته کردن قدرت اعداد، باید به آن متوسل شوید.
مثال.
عبارت را به شکل ساده تر log 3 648 log 2 3 تغییر دهید.
راه حل.
بیایید ببینیم که تجزیه عدد 648 به عوامل اول چیست:
یعنی 648=2 3 3 4 . به این ترتیب، log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.
حال لگاریتم حاصل را به مجموع لگاریتم ها تبدیل می کنیم و پس از آن خواص لگاریتم درجه را اعمال می کنیم:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .
بر اساس نتیجه خاصیت لگاریتم درجه، که با فرمول مطابقت دارد ، محصول log32 log23 حاصلضرب است و برابر با یک شناخته می شود. با در نظر گرفتن این موضوع، دریافت می کنیم 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.
پاسخ:
log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.
اغلب، عبارات زیر علامت لگاریتم و در پایه آن، محصولات یا نسبت‌های ریشه‌ها و/یا توان‌های برخی اعداد هستند، برای مثال، . عبارات مشابه را می توان به عنوان یک درجه نشان داد. برای انجام این کار، انتقال از ریشه به درجات انجام می شود، و اعمال می شود. این تبدیل ها به شما این امکان را می دهد که درجه ها را در زیر علامت لگاریتم و در پایه آن انتخاب کنید و سپس ویژگی های لگاریتم را اعمال کنید.
مثال.
محاسبه کنید: الف) 
، ب).
راه حل.
الف) عبارت در پایه لگاریتم حاصل ضرب توان هایی با پایه های یکسان است، با خاصیت متناظر توان هایی که داریم. 5 2 5 −0.5 5 −1 = 5 2−0.5−1 = 5 0.5.
حالا بیایید کسری را زیر علامت لگاریتم تبدیل کنیم: از ریشه به درجه حرکت می کنیم، پس از آن از ویژگی نسبت درجه ها با پایه های مشابه استفاده می کنیم: 
.
باقی مانده است که نتایج به دست آمده در عبارت اصلی را جایگزین کنید، از فرمول استفاده کنید و تبدیل را تمام کنید: 
ب) از آنجایی که 729=3 6، و 1/9=3 −2، عبارت اصلی را می توان به صورت بازنویسی کرد.
سپس، ویژگی ریشه توان را اعمال کنید، از ریشه به توان حرکت کنید و از ویژگی نسبت توان ها برای تبدیل پایه لگاریتم به توان استفاده کنید: 
.
با در نظر گرفتن آخرین نتیجه، داریم 
.
پاسخ:
آ) 
، ب).
واضح است که در حالت کلی، برای به دست آوردن توان ها در زیر علامت لگاریتم و در پایه آن، ممکن است تبدیل های مختلفی از عبارات مختلف لازم باشد. بیایید چند مثال بزنیم.
مثال.
ارزش عبارت چیست: الف) 
، ب) 
.
راه حل.
علاوه بر این، توجه می کنیم که عبارت داده شده دارای شکل log A B p است که در آن A=2، B=x+1 و p=4 است. ما عبارات عددی از این نوع را با توجه به خاصیت لگاریتم درجه log abp \u003d p log ab تبدیل کردیم ، بنابراین ، با یک عبارت داده شده ، می خواهم همین کار را انجام دهم و از log 2 (x + 1) 4 بروم به 4 log 2 (x + 1) . و حالا بیایید مقدار عبارت اصلی و عبارتی که پس از تبدیل به دست می آید را مثلاً با x=−2 محاسبه کنیم. ما log 2 داریم (−2+1) 4 =log 2 1=0 و 4 log 2 (-2+1)=4 log 2 (-1)- بیان بی معنی این یک سوال مشروع ایجاد می کند: "ما چه اشتباهی کردیم"؟
و دلیل آن به شرح زیر است: ما تبدیل log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) را بر اساس فرمول log abp =p log ab انجام دادیم، اما ما فقط حق اعمال این فرمول را داریم. اگر شرایط a >0، a≠1، b>0، p - هر عدد واقعی. یعنی تبدیلی که ما انجام داده‌ایم اگر x+1>0 اتفاق می‌افتد، که همان x>−1 است (برای A و p، شرایط برقرار است). با این حال، در مورد ما، ODV متغیر x برای عبارت اصلی نه تنها از بازه x> -1، بلکه از بازه x نیز تشکیل شده است.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.
نیاز به در نظر گرفتن ODZ
بیایید به تجزیه و تحلیل تبدیل عبارت log 2 (x+1) 4 که انتخاب کرده‌ایم ادامه دهیم، و اکنون ببینیم هنگام انتقال به عبارت 4 log 2 (x+1) چه اتفاقی برای ODZ می‌افتد. در پاراگراف قبلی، ODZ عبارت اصلی را پیدا کردیم - این مجموعه (−∞, -1)∪(−1, +∞) است. حالا بیایید مساحت مقادیر قابل قبول متغیر x را برای عبارت 4 log 2 (x+1) پیدا کنیم. با شرط x+1>0 تعیین می‌شود که با مجموعه (-1، +∞) مطابقت دارد. واضح است که هنگام رفتن از log 2 (x+1) 4 به 4·log 2 (x+1)، دامنه مقادیر مجاز باریک می شود. و ما توافق کردیم که از اصلاحاتی که منجر به کاهش ODZ می شود اجتناب کنیم، زیرا این امر می تواند منجر به پیامدهای منفی مختلفی شود.
در اینجا شایان ذکر است که برای خودتان مفید است که ODZ را در هر مرحله از تبدیل کنترل کنید و اجازه ندهید که باریک شود. و اگر ناگهان در مرحله ای از دگرگونی باریک شدن ODZ رخ داد، پس ارزش آن را دارد که با دقت نگاه کنیم که آیا این تحول مجاز است و آیا ما حق انجام آن را داشتیم.
برای رعایت انصاف، می گوییم که در عمل معمولاً باید با عباراتی کار کنیم که در آنها ODZ متغیرها به گونه ای است که به ما امکان می دهد از خواص لگاریتم ها بدون محدودیت به شکلی که قبلاً می شناسیم، از چپ به راست استفاده کنیم. و از راست به چپ، هنگام انجام تغییرات. شما به سرعت به این عادت می کنید و بدون اینکه فکر کنید آیا انجام آنها امکان پذیر است یا خیر، شروع به انجام تغییرات مکانیکی می کنید. و در چنین لحظاتی، طبق شانس، نمونه‌های پیچیده‌تری از بین می‌روند، که در آن کاربرد نادرست ویژگی‌های لگاریتم منجر به خطا می‌شود. بنابراین باید همیشه هوشیار باشید و مطمئن شوید که ODZ باریک نمی شود.
برجسته کردن جداگانه تبدیلات اصلی بر اساس ویژگی های لگاریتم، که باید با دقت انجام شود، ضرری ندارد، که می تواند منجر به باریک شدن ODZ و در نتیجه خطاها شود:
برخی از تبدیل عبارات با توجه به خواص لگاریتم نیز می تواند منجر به مخالف شود - گسترش ODZ. برای مثال، رفتن از 4 log 2 (x+1) به log 2 (x+1) 4 ODZ را از مجموعه (-1, +∞) به (-∞, -1)∪(-1, +∞) گسترش می دهد. ) . اگر در ODZ برای عبارت اصلی باقی بمانید، چنین تبدیل‌هایی اتفاق می‌افتد. بنابراین تبدیل ذکر شده 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 روی متغیر ODZ x برای عبارت اصلی 4 log 2 (x+1) انجام می شود، یعنی زمانی که x+1> 0 که همان (-1، +∞) است.
اکنون که در مورد تفاوت‌های ظریفی که هنگام تبدیل عبارات با متغیرها با استفاده از ویژگی‌های لگاریتم باید به آنها توجه کنید، بحث کردیم، باید بفهمیم که این تبدیل‌ها چگونه باید به درستی انجام شوند.
X+2>0. آیا در مورد ما کار می کند؟ برای پاسخ به این سوال، اجازه دهید نگاهی به DPV متغیر x بیاندازیم. توسط سیستم نابرابری ها تعیین می شود 
، که معادل شرط x+2>0 است (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید حل سیستم های نابرابری). بنابراین، می توانیم با خیال راحت خاصیت لگاریتم درجه را اعمال کنیم.
ما داریم
3 log(x+2) 7-log(x+2)-5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)-log(x+2)-5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)-log(x+2)-20log(x+2)=
=(21-1-20)lg(x+2)=0.
شما می توانید متفاوت عمل کنید، زیرا ODZ به شما اجازه می دهد این کار را انجام دهید، به عنوان مثال: 
پاسخ:
3 log(x+2) 7-log(x+2)-5 log(x+2) 4 =0.
و وقتی شرایط مربوط به خواص لگاریتم در ODZ برآورده نمی شود چه باید کرد؟ با مثال هایی به این موضوع می پردازیم.
اجازه دهید از ما خواسته شود که عبارت lg(x+2) 4-lg(x+2) 2 را ساده کنیم. تبدیل این عبارت، برخلاف عبارت مثال قبلی، اجازه استفاده آزادانه از خاصیت لگاریتم درجه را نمی دهد. چرا؟ ODZ متغیر x در این مورد، اتحاد دو بازه x>−2 و x است<−2 . При x>−2 می‌توانیم با خیال راحت خاصیت لگاریتم درجه را اعمال کنیم و مانند مثال بالا عمل کنیم: log(x+2) 4-log(x+2) 2 =4 log(x+2)-2 log(x+2)=2 log (x+2). اما ODZ شامل بازه دیگری x+2 است<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2و علاوه بر این، به دلیل ویژگی های قدرت lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. عبارت حاصل را می توان با توجه به خاصیت لگاریتم درجه تبدیل کرد، زیرا |x+2|>0 برای هر مقدار از متغیر. ما داریم log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. اکنون می توانید از شر ماژول خلاص شوید، زیرا کار خود را انجام داده است. از آنجایی که در x+2 در حال تبدیل هستیم<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .
بیایید یک مثال دیگر برای آشنا کردن کار با ماژول ها در نظر بگیریم. اجازه دهید از بیان تصور کنیم 
به مجموع و تفاضل لگاریتم های دوجمله ای خطی x-1، x-2 و x-3 منتقل می شود. ابتدا ODZ را پیدا می کنیم: 
در بازه (3، +∞)، مقادیر عبارات x−1، x−2 و x−3 مثبت هستند، بنابراین می‌توانیم با خیال راحت خواص لگاریتم مجموع و تفاوت را اعمال کنیم: 
و در بازه (1، 2)، مقادیر عبارت x-1 مثبت و مقادیر عبارات x-2 و x-3 منفی هستند. بنابراین، در بازه مورد بررسی، x-2 و x-3 را با استفاده از مدول به صورت -|x-2| و −|x−3| به ترتیب. که در آن 
اکنون می‌توانیم ویژگی‌های لگاریتم محصول و ضریب را اعمال کنیم، زیرا در بازه در نظر گرفته شده (1، 2) مقادیر عبارات x−1 , |x−2| و |x−3| - مثبت
ما داریم 
نتایج به دست آمده را می توان ترکیب کرد:
به طور کلی، استدلال مشابه، بر اساس فرمول های لگاریتم محصول، نسبت و درجه، به دست آوردن سه نتیجه عملا مفید که برای استفاده بسیار راحت است، اجازه می دهد:
- لگاریتم حاصل ضرب دو عبارت دلخواه X و Y به شکل log a (X·Y) را می توان با مجموع لگاریتم های log a |X|+log a |Y| جایگزین کرد. , a>0 , a≠1 .
- log لگاریتمی ویژه a (X:Y) را می توان با تفاوت لگاریتم log a |X|−log a |Y| جایگزین کرد. , a>0 , a≠1 , X و Y عباراتی دلخواه هستند.
- از لگاریتم برخی از عبارت B به توان زوج p به شکل log a B p، می توان به عبارت p log a |B| ، که در آن a>0، a≠1، p یک عدد زوج و B یک عبارت دلخواه است.
نتایج مشابهی به عنوان مثال در دستورالعمل حل معادلات نمایی و لگاریتمی در مجموعه مسائل ریاضی برای متقاضیان ورود به دانشگاه ها با ویرایش M. I. Skanavi ارائه شده است.
مثال.
بیان را ساده کنید 
.
راه حل.
خوب است که خواص لگاریتم درجه، مجموع و تفاوت را اعمال کنیم. اما آیا ما می توانیم آن را در اینجا انجام دهیم؟ برای پاسخ به این سوال باید ODZ را بشناسیم.
بیایید آن را تعریف کنیم: 
کاملاً بدیهی است که عبارات x+4، x−2 و (x+4) 13 در محدوده مقادیر ممکن متغیر x می‌توانند مقادیر مثبت و منفی داشته باشند. بنابراین، ما باید از طریق ماژول ها کار کنیم. 
ویژگی‌های ماژول به شما اجازه می‌دهد تا به صورت، بنابراین بازنویسی کنید 
همچنین، هیچ چیز شما را از استفاده از خاصیت لگاریتم درجه باز نمی دارد و سپس عبارت های مشابه را بیاورید: 
توالی دیگری از تحولات منجر به همان نتیجه می شود: 
و از آنجایی که عبارت x-2 می تواند هر دو مقدار مثبت و منفی را در ODZ بگیرد، هنگام گرفتن توان زوج 14
لگاریتم ها مانند هر عددی را می توان به هر طریق ممکن اضافه، تفریق و تبدیل کرد. اما از آنجایی که لگاریتم ها اعداد کاملاً معمولی نیستند، قوانینی در اینجا وجود دارد که نامیده می شوند خواص اساسی.
این قوانین باید شناخته شوند - هیچ مشکل لگاریتمی جدی بدون آنها قابل حل نیست. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - همه چیز را می توان در یک روز یاد گرفت. پس بیایید شروع کنیم.
جمع و تفریق لگاریتم ها
دو لگاریتم با پایه یکسان را در نظر بگیرید: log آ ایکسو وارد شوید آ y. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:
- ورود به سیستم آ ایکس+log آ y= ورود آ (ایکس · y);
- ورود به سیستم آ ایکس-ورود آ y= ورود آ (ایکس : y).
پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی در اینجا این است - همین زمینه ها. اگر پایه ها متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!
این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند که عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:
log 6 4 + log 6 9.
از آنجایی که پایه های لگاریتم یکسان است، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 2 48 − log 2 3.
پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 3 135 − log 3 5.
باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه در نظر گرفته نمی شوند. اما پس از تبدیل، اعداد کاملاً عادی به دست می‌آیند. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، کنترل - عبارات مشابه با جدیت تمام (گاهی اوقات - تقریباً بدون تغییر) در امتحان ارائه می شود.
حذف توان از لگاریتم
حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر درجه ای در پایه یا آرگومان لگاریتم وجود داشته باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:
به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد به میزان قابل توجهی مقدار محاسبات را کاهش می دهد.
البته، اگر لگاریتم ODZ رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: آ > 0, آ ≠ 1, ایکس> 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید، i.e. می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.
وظیفه. مقدار عبارت log 7 49 6 را بیابید.
بیایید با توجه به فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:
[شرح تصویر]
توجه داشته باشید که مخرج لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 2 4 ; 49 = 72. ما داریم:
[شرح تصویر] فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه فقط با مخرج کار می کنیم. آنها پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به صورت درجه ارائه کردند و شاخص ها را بیرون آوردند - آنها یک کسری "سه طبقه" گرفتند.
حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج عدد یکسانی دارند: log 2 7. از آنجایی که log 2 7 ≠ 0، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد که انجام شد. نتیجه این است که: 2.
انتقال به یک پایه جدید
در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر پایه ها متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟
فرمول های انتقال به یک پایگاه جدید به کمک می آیند. ما آنها را در قالب یک قضیه فرمول بندی می کنیم:
اجازه دهید لگاریتم ثبت شود آ ایکس. سپس برای هر عددی جبه طوری که ج> 0 و ج≠ 1، برابری درست است:
[شرح تصویر]
به ویژه اگر قرار دهیم ج = ایکس، ما گرفتیم:
[شرح تصویر]
از فرمول دوم برمی‌آید که مبنا و آرگومان لگاریتم را می‌توان با هم عوض کرد، اما کل عبارت «برگردانده شده» است، یعنی. لگاریتم در مخرج است.
این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.
با این حال، وظایفی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید یکی دو مورد از این موارد را در نظر بگیریم:
وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log 5 16 log 2 25.
توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
حالا بیایید لگاریتم دوم را برگردانیم:
[شرح تصویر]از آنجایی که حاصلضرب از جایگشت عوامل تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس لگاریتم ها را فهمیدیم.
وظیفه. مقدار عبارت: log 9 100 lg 3 را بیابید.
مبنا و آرگومان لگاریتم اول توان های دقیق هستند. بیایید آن را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:
[شرح تصویر]حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:
[شرح تصویر]هویت لگاریتمی پایه
اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول ها به ما کمک می کنند:
در مورد اول، شماره nمبدل برهان می شود. عدد nمی تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط مقدار لگاریتم است.
فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به آن هویت لگاریتمی پایه می گویند.
در واقع، چه اتفاقی خواهد افتاد اگر تعداد ببالا بردن به قدرت به طوری که بتا این حد یک عدد می دهد آ? درست است: این همان عدد است آ. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم روی آن "آویزان" هستند.
مانند فرمول های جدید تبدیل پایه، هویت لگاریتمی پایه گاهی تنها راه حل ممکن است.
وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید:
[شرح تصویر]
توجه داشته باشید که log 25 64 = log 5 8 - فقط مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم خارج کرد. با توجه به قوانین ضرب توان ها با پایه یکسان، به دست می آوریم:
[شرح تصویر]اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از امتحان بود :)
واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی
در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه اینها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات یافت می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.
- ورود به سیستم آ آ= 1 واحد لگاریتمی است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه آاز این پایه خود برابر با یک است.
- ورود به سیستم آ 1 = 0 صفر لگاریتمی است. پایه آمی تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان یک باشد، لگاریتم صفر است! زیرا آ 0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.
این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.
حال از دیدگاه کلی به تبدیل عبارات حاوی لگاریتم می پردازیم. در اینجا ما نه تنها تبدیل عبارات را با استفاده از خواص لگاریتم تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، بلکه تبدیل عبارات را با لگاریتم های عمومی در نظر خواهیم گرفت که نه تنها شامل لگاریتم ها، بلکه توان ها، کسرها، ریشه ها و غیره هستند. طبق معمول، ما تمام مطالب را با مثال های مشخص با توضیحات دقیق راه حل ها ارائه خواهیم کرد.
پیمایش صفحه.
عبارات با لگاریتم و عبارات لگاریتمی
انجام اعمال با کسر
در پاراگراف قبلی، تبدیل‌های اصلی را که با کسرهای منفرد حاوی لگاریتم انجام می‌شوند، تحلیل کردیم. البته این تبدیل‌ها را می‌توان با هر کسر مجزا که بخشی از یک عبارت پیچیده‌تر است انجام داد، برای مثال، مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب کسرهای مشابه را نشان می‌دهد. اما علاوه بر کار با کسرهای منفرد، تبدیل عبارات از این نوع اغلب شامل انجام اقدامات مناسب با کسری است. در مرحله بعد، ما قوانینی را که توسط آنها این اقدامات انجام می شود را در نظر خواهیم گرفت.
از کلاس های 5-6، ما قوانینی را می دانیم که بر اساس آن . در مقاله نمای کلی عملیات با کسریما این قواعد را از کسرهای معمولی به کسری‌هایی با شکل کلی A/B گسترش داده‌ایم، که در آن A و B برخی عددی، تحت اللفظی یا عبارت‌های دارای متغیر هستند و B به طور یکسان غیر صفر است. واضح است که کسرهای دارای لگاریتم موارد خاصی از کسرهای عمومی هستند. و در این راستا مشخص است که اعمال با کسری که دارای لگاریتم در رکوردهای آنهاست، طبق همین قوانین انجام می شود. برای مثال:
- برای جمع یا تفریق دو کسر با مخرج یکسان، اعداد را بر اساس آن جمع یا تفریق کنید و مخرج را ثابت نگه دارید.
- برای جمع یا تفریق دو کسر با مخرج های مختلف، باید آنها را به یک مخرج مشترک برسانید و طبق قانون قبلی اعمال مناسب را انجام دهید.
- برای ضرب دو کسر، باید کسری بنویسید که صورت آن حاصل ضرب کسرهای اصلی و مخرج حاصل ضرب مخرج ها باشد.
- برای تقسیم کسری بر کسری، باید کسری قابل تقسیم را در متقابل مقسوم علیه ضرب کرد، یعنی در کسری که صورت و مخرج آن مرتب شده است.
در اینجا چند نمونه برای انجام عملیات با کسرهای حاوی لگاریتم آورده شده است.
مثال.
انجام اعمال با کسرهای حاوی لگاریتم: الف)، ب) 
، v) 
، G) 
.
راه حل.
الف) مخرج کسرهای جمع شده آشکارا یکسان است. بنابراین طبق قانون جمع کسری با مخرج یکسان، اعداد را جمع می کنیم و مخرج را ثابت می گذاریم: 
.
ب) در اینجا مخرج ها متفاوت است. بنابراین، ابتدا شما نیاز دارید کسری را به مخرج یکسان بیاورید. در مورد ما، مخرج ها قبلاً به عنوان فرآورده ارائه شده اند و باقی مانده است که مخرج کسر اول را بگیریم و عوامل گمشده از مخرج کسر دوم را به آن اضافه کنیم. بنابراین ما یک مخرج مشترک از فرم به دست می آوریم 
. در این حالت، کسرهای تفریق شده به ترتیب با استفاده از عوامل اضافی به شکل لگاریتم و عبارت x 2 ·(x+1) به یک مخرج مشترک تقلیل می‌یابند. پس از آن، کم کردن کسری با مخرج یکسان باقی می ماند که کار دشواری نیست.
پس راه حل این است: 
ج) معلوم است که حاصل ضرب کسرها کسری است که صورت آن حاصلضرب اعراض و مخرج حاصلضرب مخرج است، پس 
به راحتی می توان فهمید که امکان پذیر است کاهش کسریبا دو و با لگاریتم اعشاری، در نتیجه داریم 
.
د) از تقسیم کسرها به ضرب گذر می کنیم و کسر - مقسوم علیه آن را جایگزین می کنیم. بنابراین 
شمارنده کسر حاصل را می توان به صورت نمایش داد 
، که از آن ضریب مشترک صورت و مخرج به وضوح قابل مشاهده است - ضریب x، می توانید کسری را با آن کاهش دهید: 
پاسخ:
الف) ب) 
، v) 
، G) 
.
لازم به یادآوری است که اقدامات با کسری با در نظر گرفتن ترتیب انجام اعمال انجام می شود: ابتدا ضرب و تقسیم، سپس جمع و تفریق، و اگر براکت وجود داشته باشد، ابتدا اقدامات در پرانتز انجام می شود.
مثال.
اعمال را با کسر انجام دهید 
.
راه حل.
ابتدا کسری را در پرانتز جمع می کنیم و پس از آن ضرب را انجام می دهیم: 
پاسخ:
در این مرحله، باید سه نکته نسبتاً واضح، اما در عین حال مهم را با صدای بلند بیان کنیم:
تبدیل عبارات با استفاده از خواص لگاریتم
اغلب، تبدیل عبارات با لگاریتم شامل استفاده از هویت هایی است که تعریف لگاریتم و . برای مثال، با اشاره به هویت لگاریتمی پایه a log ab =b , a>0 , a≠1 , b>0 , می توانیم عبارت x−5 log 5 7 را به صورت x−7 و فرمول انتقال به پایه جدید ورود به سیستم 
، جایی که a>0 , a≠1 , b>0 , c>0 , c≠1 امکان عبور از عبارت به تفاوت 1−lnx را فراهم می کند.
کاربرد خواص ریشه ها، توان ها، هویت های مثلثاتی و غیره.
عبارات با لگاریتم، علاوه بر خود لگاریتم، تقریباً همیشه دارای قدرت، ریشه، توابع مثلثاتی و غیره هستند. واضح است که برای تبدیل این گونه عبارات در کنار ویژگی های لگاریتم، ممکن است به خواص توان ها، ریشه ها و ... نیاز باشد. ما به طور جداگانه کاربرد هر بلوک از ویژگی ها را برای تبدیل عبارات تجزیه و تحلیل کردیم، پیوندهای مقالات مربوطه را می توان در بخش سایت www.site عبارت ها و تبدیل آنها یافت. در اینجا ما حل چند مثال را در مورد استفاده از خواص در ارتباط با لگاریتم نشان خواهیم داد.
مثال.
ساده سازی بیان 
.
راه حل.
ابتدا اجازه دهید عبارات را با ریشه تبدیل کنیم. در متغیر ODZ x برای عبارت اصلی (که در مورد ما مجموعه‌ای از اعداد حقیقی مثبت است)، می‌توانید از ریشه به توان‌هایی با توان‌های کسری بروید و سپس از خاصیت ضرب توان با پایه‌های مشابه استفاده کنید: 
. به این ترتیب، 
حالا صورت حساب را به شکل نمایش می دهیم 
(که به ما اجازه می دهد تا خاصیت درجه را در یک درجه انجام دهیم، در صورت لزوم، تبدیل عبارات را با استفاده از ویژگی های درجه و همچنین نمایش یک عدد را مشاهده کنید، که به شما امکان می دهد مجموع مربع های سینوس و جایگزین کنید. کسینوس همان آرگومان با یک.پس واحد زیر علامت لگاریتم را بدست می آوریم.الف همانطور که می دانید لگاریتم وحدت برابر با صفر است.
بیایید تبدیل های انجام شده را بنویسیم: 
صفر در مکعب صفر است، بنابراین به عبارت می رویم 
.
کسری که صورت آن صفر و مخرج آن غیر صفر است (در مورد ما این درست است، زیرا به راحتی می توان توجیه کرد که مقدار عبارت زیر علامت لگاریتم طبیعی با یک متفاوت است) برابر با صفر است. . به این ترتیب، 
تبدیل های بعدی بر اساس تعیین ریشه یک درجه فرد از یک عدد منفی انجام می شود: 
.
از آنجایی که 2 15 یک عدد مثبت است، پس می‌توانیم خواص ریشه‌ها را اعمال کنیم که منجر به نتیجه نهایی می‌شود: 
.
پاسخ:
