کدام خط با معادله x y مشخص می شود. معادله یک خط در یک هواپیما
رابطه ای از فرم را در نظر بگیرید F(x, y)=0پیوند دادن متغیرها ایکسو در. برابری (1) نامیده می شود معادله با دو متغیر x,y,اگر این برابری برای همه جفت اعداد صادق نباشد ایکسو در. مثال های معادله: 2x + 3y \u003d 0، x 2 + y 2 - 25 \u003d 0،
sin x + sin y - 1 = 0.
اگر (1) برای همه جفت اعداد x و y درست باشد، آن را فراخوانی می‌کنیم هویت. نمونه های هویتی: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0، (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
معادله (1) فراخوانی خواهد شد معادله مجموعه نقاط (x; y)،اگر این معادله با مختصات ارضا شود ایکسو درهر نقطه از مجموعه و مختصات هر نقطه ای که به این مجموعه تعلق ندارد را برآورده نمی کند.
یک مفهوم مهم در هندسه تحلیلی مفهوم معادله خط است. اجازه دهید یک سیستم مختصات مستطیلی و مقداری خط α.
تعریف.معادله (1) را معادله خط می نامند α
(در سیستم مختصات ایجاد شده)، در صورتی که این معادله توسط مختصات ارضا شود ایکسو درهر نقطه از خط α
، و مختصات هر نقطه ای را که روی این خط قرار ندارد برآورده نکنید.
اگر (1) معادله خط باشد α, سپس می گوییم که معادله (1) تعیین می کند (مجموعه می کند)خط α.
خط α نه تنها با یک معادله شکل (1)، بلکه با یک معادله شکل نیز قابل تعیین است
F(P, φ) = 0، حاوی مختصات قطبی است.
- معادله یک خط مستقیم با شیب.
اجازه دهید مقداری خط مستقیم، نه عمود بر محور، داده شود اوه. بیا زنگ بزنیم زاویه شیبخط داده شده به محور اوهتزریق α که توسط آن محور می چرخد اوهبه طوری که جهت مثبت با یکی از جهات خط مستقیم منطبق است. مماس زاویه میل یک خط مستقیم بر محور اوهتماس گرفت فاکتور شیباین خط مستقیم و با حرف نشان داده می شود به.
|
|||
|
|||
اگر بدانیم معادله این خط مستقیم را به دست می آوریم بهو مقدار در بخش OV، که او در محور قطع می کند OU.
|
|
معادله (2) نامیده می شود معادله یک خط مستقیم با شیب.اگر K=0، سپس خط موازی با محور است اوهو معادله آن است y = ب.
- معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه عبور می کند.
|
|
. این معادله اگر است y 1 ≠ y 2، را می توان به صورت زیر نوشت: اگر y 1 = y 2، سپس معادله خط مستقیم مورد نظر شکل می گیرد y = y 1. در این حالت، خط موازی با محور است اوه. اگر x 1 = x 2، سپس خط عبور از نقاط M 1و M 2، موازی با محور OU، معادله آن شکل دارد x = x 1.
- معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه معین با شیب معین عبور می کند.
|
|
و برعکس، معادله (5) برای ضرایب دلخواه الف، ب، ج (آو B ≠ 0به طور همزمان) خطی را در یک سیستم مختصات مستطیلی تعریف می کند اوهو
اثبات
اجازه دهید ابتدا ادعای اول را ثابت کنیم. اگر خط عمود نباشد اوه،سپس با معادله درجه اول مشخص می شود: y = kx + b، یعنی معادله شکل (5)، که در آن
A=k، B=-1و C = b.اگر خط عمود باشد اوه،سپس تمام نقاط آن دارای یک ابسیسا برابر با مقدار هستند α قطعه بریده شده توسط یک خط مستقیم در محور اوه
معادله این خط دارای شکل است x = α،آن ها همچنین یک معادله درجه یک از شکل (5)، که در آن A \u003d 1، B \u003d 0، C \u003d - α.این ادعای اول را ثابت می کند.
اجازه دهید ادعای معکوس را ثابت کنیم. اجازه دهید معادله (5) و حداقل یکی از ضرایب داده شود آو B ≠ 0.
اگر B ≠ 0، سپس (5) را می توان به صورت . شیب دار 
، معادله را بدست می آوریم y = kx + b، یعنی معادله ای از شکل (2) که یک خط مستقیم را تعریف می کند.
اگر B = 0، سپس A ≠ 0و (5) به شکل . دلالت از طریق α, ما گرفتیم
x = α، یعنی معادله یک خط مستقیم عمود بر Ox.
خطوطی که در یک سیستم مختصات مستطیلی با معادله درجه اول تعریف می شوند نامیده می شوند خطوط سفارش اول
معادله نوع Ah + Wu + C = 0ناقص است، یعنی یکی از ضرایب برابر با صفر است.
1) C = 0; آه + وو = 0و خطی را که از مبدا می گذرد تعریف می کند.
2) B = 0 (A ≠ 0); معادله تبر + C = 0 OU.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0و یک خط موازی تعریف می کند اوه
معادله (6) معادله یک خط مستقیم "در پاره" نامیده می شود. شماره آو بمقادیر قطعاتی هستند که خط مستقیم آنها را بر روی محورهای مختصات قطع می کند. این شکل از معادله برای ساخت هندسی یک خط مستقیم مناسب است.
- معادله عادی یک خط مستقیم؛
Ax + Вy + С = 0 معادله کلی یک خط مستقیم است و (5) ایکس cos α + y sin α – p = 0(7)
معادله عادی آن
از آنجایی که معادلات (5) و (7) یک خط مستقیم را تعریف می کنند، پس ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0و
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) ضرایب این معادلات متناسب است. به این معنی که با ضرب تمام عبارات معادله (5) در مقداری M، معادله را بدست می آوریم. MA x + MB y + MS = 0، مصادف با معادله (7) i.e.
MA = cos α، MB = گناه α، MC = - P(8)
برای یافتن ضریب M، دو برابر اول را مربع می کنیم و اضافه می کنیم:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1
(9)
§ 9. مفهوم معادله یک خط.
یک خط را با استفاده از یک معادله تعریف کنید
برابری فرم F (x، y) = 0معادله ای با دو متغیر نامیده می شود ایکس، y ،اگر برای همه جفت اعداد صادق نباشد x، y.دو عدد می گویند ایکس = ایکس 0 , y=y 0, برخی از معادلات فرم را برآورده کنید F(x، y)=0،اگر هنگام جایگزینی این اعداد به جای متغیرها ایکسو دردر معادله، سمت چپ آن ناپدید می شود.
معادله یک خط معین (در سیستم مختصات اختصاص داده شده) معادله ای با دو متغیر است که با مختصات هر نقطه ای که روی این خط قرار دارد ارضا می شود و با مختصات هر نقطه ای که روی آن قرار ندارد ارضا نمی شود.
در آینده به جای عبارت «با توجه به معادله خط F(x y) = 0" اغلب کوتاهتر می گوییم: یک خط داده می شود F(x، y) = 0.
با توجه به معادلات دو خط F(x، y) = 0و Ф(x، y) = Q،سپس راه حل مشترک سیستم
تمام نقاط تقاطع آنها را می دهد. به طور دقیق تر، هر جفت اعداد که راه حل مشترک این سیستم است، یکی از نقاط تقاطع را تعیین می کند.
1)ایکس 2 +y 2 = 8، x-y = 0;
2) ایکس 2 +y 2 -16ایکس+4در+18 = 0, x + y= 0;
3) ایکس 2 +y 2 -2ایکس+4در -3 = 0, ایکس 2 + y 2 = 25;
4) ایکس 2 +y 2 -8ایکس+10y+40 = 0، ایکس 2 + y 2 = 4.
163. نقاط در سیستم مختصات قطبی داده شده است
مشخص کنید کدام یک از این نقاط روی خطی قرار دارند که با معادله در مختصات قطبی = 2 cos تعریف شده است و کدام یک روی آن قرار ندارند. چه خطی با این معادله تعیین می شود؟ (آن را روی نقاشی نشان دهید :)
164. روی خطی که با معادله = تعریف شده است 
,
نقاطی را پیدا کنید که زوایای قطبی آنها برابر با اعداد زیر است: الف) 
، ب) - ، ج) 0، د)
. کدام خط با این معادله تعریف می شود؟
(آن را روی نقاشی بسازید.)
165. روی خطی که با معادله = تعریف شده است 
نقاطی را بیابید که شعاع قطبی آنها برابر با اعداد زیر است: الف) 1، ب) 2، ج) 
.
کدام خط با این معادله تعریف می شود؟ (آن را روی نقاشی بسازید.)
166. تعیین کنید که کدام خطوط در مختصات قطبی با معادلات زیر تعیین می شوند (آنها را روی نقشه بسازید):
1) = 5; 2) = ; 3) = 
; 4) cos = 2; 5) گناه = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 گناه ; 8) گناه =
بنابراین، Agip. = s/2 = 2 و bhyp.2 = s2 – agip.2 = 16 – 4 = 12. x2 y2 -7, 0) و معادله Directrix x – 7 = 0. حل از معادله Directrix داریم x = - p/2 = 7 یا p = -14. بنابراین، معادله سهمی مورد نیاز 2 y = -28x است. وظیفه 12. تعیین کنید که کدام خطوط با معادلات زیر تعیین می شوند. نقاشی بکشید. 3 2 1. y = 7 - x - 6 x + 13، y< 7, x ∈ R. 2 Решение 3 2 y−7=− x − 6 x + 13. Возводим обе части 2 уравнения в квадрат: 9 2 (y − 7) 2 = 4 (x − 6 x + 13) или 4 (y − 7) = (x 2 − 6 x + 13). 2 9 Выделяем в правой части полный квадрат: 4 (x − 3) 2 (y − 7) 2 (y − 7) = (x − 3) + 4 или 2 2 − = −1. 9 4 9 Это – сопряженная гипербола. О′(3, 7), полуоси а = 2, b = 3. Заданное же уравнение определяет ветвь гиперболы, расположенную под прямой y – 7 = 0, т.к. y < 7. 1 y +1 2. x = 1 − . 2 2 Решение Область допустимых значений (х, у) определяется условиями ⎧ y +1 ⎪ ≥ 0, ⎧ y ≥ −1, ⎨ 2 → ⎨ ⎪ 1 − x ≥ 0, ⎩ x ≤ 1. ⎩ (y + 1)/2 = 4⋅(1 – x)2 → y + 1 = 8⋅(1 – x)2. Искомая кривая – часть параболы с вершиной в точке (1, -1). 41 3. y = −2 − 9 − x 2 + 8 x . Решение Искомая кривая – часть окружности: (y + 2)2 + (x – 4)2 = 52, y ≤ -2, x ∈ [-1, 9]. 4. y2 – x2 = 0. y Решение y=-x y=x (y – x)⋅(y + x) = 0 – две пересекающиеся прямые. x 0 Задача 13. Какую линию определяет уравнение x2 + y2 = x? Решение Запишем уравнение в виде x2 – x + y2 = 0. Выделим полный квадрат из слагаемых, содержащих х: x2 – x = (x – 1/2)2 – 1/4. 2 ⎛ 1⎞ 1 Уравнение принимает вид ⎜ x − ⎟ + y 2 = ⎝ 2⎠ 4 и определяет окружность с центром в точке (1/2, 0) и радиусом 1/2. Задача 14. Преобразовать уравнение x2 – y2 = a2 поворотом осей на 45° против часовой стрелки. Решение Так как α = -45°, то cos α = 2 2, sin α = − 2 2. Отсюда преобразование поворота принимает вид (см. п.4.2): ⎧ x = 2 2 ⋅ (x′ + y′) , ⎪ ⎨ ⎪ y = 2 2 ⋅ (y′ − x′) . ⎩ Подстановка в исходное уравнение дает х′у′ = а2/2. Проиллюстрируем приведение общих уравнений прямых второго порядка к каноническому виду на нескольких примерах, иллюстрирующих разные схемы преобразований. Задача 15. Привести уравнение 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0 к каноническому виду и построить кривую. Решение Сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты: (5x2 – 30x) + (9y2 + 18y) +9 = 0, или 5(x2 – 6x) + 9(y2 + 2y) +9 = 0. 42 y y′ Дополняем члены в скобках до полных квадратов: x 5(x2 – 6x + 9 – 9) + 9(y2 + 2y + 1 – 1) +9 = 0, или 0 5(x – 3)2 + 9(y + 1)2 = 45. 01 x′ Обозначаем x′ = x – 3, y′ = y + 1, x0 = 3, y0 = -1, то есть точка О1(3, -1) – центр кривой. Уравнение в новой системе координат принимает вид: x′2 y′2 5 x′ + 9 y′ = 45 → 2 2 + = 1 и определяет эллипс с полуосями 9 5 а = 3, b = 5,который в исходной системе координат имеет центр в точке О1(3, -1). 5 2 3 7 Задача 16. Определить вид кривой x + xy + y 2 = 2. 4 2 4 Решение Определим угол поворота осей по формуле (7) п.4.4: π 5 7 A = ,C = , B = 4 4 4 3 1 , A ≠ C и ϕ = arctg 2 2B 1 (= arctg − 3 = − . A−C 2 6) Подвергнем уравнение кривой преобразованию: ⎧ 3 1 ⎪ x = x′ cos ϕ − y′ sin ϕ = x′ ⎪ + y′ , 2 2 ⎨ ⎪ y = x′ sin ϕ + y′ cos ϕ = − x′ 1 + y′ 3 ⎪ ⎩ 2 2 и получим уравнение эллипса 2 2 5⎛ 3 1⎞ 3⎛ 3 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞ 7⎛ 1 3 ⎞ ⎜ x′ + y′ ⎟ + ⎜ x′ + y′ ⎟⎜ − x′ + y′ ⎟ + ⎜ − x′ + y′ ⎟ = 2 . 4⎝ 2 2⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠ 4⎝ 2 2 ⎠ x′ 2 + 2y′ 2 = 2. Задача 17. Установить, какую линию определяет уравнение x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0. Решение Перенесем начало координат в такую точку О1(х0, у0), чтобы уравнение не содержало х′ и у′ в первой степени. Это соответствует преобразованию координат вида (см. п.4.1): ⎧ x = x′ + x0 , ⎨ ⎩ y = y′ + y0 . Подстановка в исходное уравнение дает (x′ + x0)2 + (x′ + x0)(y′ + y0) + (y′ + y0)2 – 2(x′ + x0) + 3(y′ + y0) = 0 или x′2 + x′y′ + y′2 + (2x0 + y0 - 2)x′ + (x0 + 2y0 + 3)y′ + x02 + x0y0 + y02 - 2x0 + 3y0 =0. Положим 2x0 + y0 – 2 = 0, x0 + 2y0 + 3 = 0. 43 Решение полученной системы уравнений: x0 = 7/3 и y0 = -8/3. Таким образом, координаты нового начала координат O1(7/3, -8/3), а уравнение принимает вид x′2 + x′y′ + y′ 2 = 93/25. Повернем оси координат на такой угол α, чтобы исчез член х′у′. Подвергнем последнее уравнение преобразованию (см. п.4.2): ⎧ x′ = x′′ cos α − y′′ sin α, ⎨ ⎩ y′ = x′′ sin α + y′′ cos α и получим (cos2α + sinα⋅cosα + sin2α)⋅x′′2 + y ′′ y y′ x′′ (cos2α - sin2α)⋅x′′y′′ + 0 x + (sin2α - sinα⋅cosα + cos2α)⋅y′′ 2 = 93/25. Полагая cos2α - sin2α = 0, имеем tg2α = 1. α x′ Следовательно, α1,2 = ±45°. Возьмем α = 45°, cos45° = sin45° = 2 2 . 01 После соответствующих вычислений получаем 3 2 1 2 93 x ′′ + y ′′ = . 2 2 25 x′′2 y′′2 Итак, + =1 62 25 186 25 – уравнение эллипса с полуосями a = 62 5 ≈ 1,5; b = 186 5 ≈ 2,7 в дважды штрихованной системе координат, получаемой из исходной параллельным переносом осей координат в точку О1(7/3, -8/3) и последующим поворотом на угол 45° против часовой стрелки. Уравнение x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0 приведено к каноническому виду x′′2 y′′2 + 2 = 1. a2 b Задача 18. Привести к каноническому виду уравнение 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = 0. Решение Система уравнений для нахождения центра кривой (формула (6) п.4.4) ⎧ 4 x0 − 2 y0 − 1 = 0, ⎨ несовместна, ⎩ −2 x0 + y0 − 7 = 0 значит, данная кривая центра не имеет. Не меняя начала координат, повернем оси на некоторый угол α, соответствующие преобразования координат имеют ⎧ x = x′ cos α − y′ sin α, вид: ⎨ ⎩ y = x′ sin α + y′ cos α. 44 Перейдем в левой части уравнения к новым координатам: 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = (4cos2α - 4cosα⋅sinα + sin2α)⋅x′2 + + 2⋅(-4sinα⋅cosα - 2cos2α + 2sin2α + sinα⋅cosα)⋅x′y′ + + (4sin2α + 4sinα⋅cosα + cos2α)⋅y′2 + + 2⋅(-cosα - 7sinα)⋅x′ + 2⋅(sinα - 7cosα)⋅y′ + 7. (*) Постараемся теперь подобрать угол α так, чтобы коэффициент при х′у′ обратился в нуль. Для этого нам придется решить тригонометрическое уравнение -4sinα⋅cosα - 2cos2α + 2sin2α + sinα⋅cosα = 0. Имеем 2sin2α - 3sinα⋅cosα - 2cos2α = 0, или 2tg2α - 3tgα - 2 = 0. Отсюда tgα = 2, или tgα = -1/2. Возьмем первое решение, что соответствует повороту осей на острый угол. Зная tgα, вычислим cosα и sinα: 1 1 tg α 2 cos α = = , sin α = = . 1 + tg 2α 5 1 + tg 2α 5 Отсюда, и учитывая (*), находим уравнение данной кривой в системе х′,у′: 5 y′2 − 6 5 x′ − 2 5 y′ + 7 = 0. (**) Дальнейшее упрощение уравнения (**) производится при помощи параллельного перенесения осей Ох′, Оу′. Перепишем уравнение (**) следующим образом: 5 5(y′2 − 2 y′) − 6 5 x′ + 7 = 0. 5 Дополнив выражение в первой скобке до полного квадрата разности и компенсируя это дополнение надлежащим слагаемым, получим: 2 ⎛ 5⎞ 6 5⎛ 5⎞ ⎜ y′ − ⎟ − ⎜ x′ − ⎟ = 0. ⎝ 5 ⎠ 5 ⎝ 5 ⎠ Введем теперь еще новые координаты х′′,у′′, полагая x′ = x′′ + 5 5, y′ = y′′ + 5 5 , что соответствует параллельному перемещению осей на величину 5 5 в направлении оси Ох′ и на величину 5 5 в направлении оси Оу′. В координатах х′′у′′ уравнение данной линии принимает вид 6 5 2 y′′ = x′′ . 5 Это есть каноническое уравнение параболы с 3 5 параметром p = и с вершиной в начале координат системы х′′у′′. Парабола 5 расположена симметрично относительно оси х′′ и бесконечно простирается в 45 положительном направлении этой оси. Координаты вершины в системе х′у′ ⎛ 5 5⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎜ ; ⎟ а в системе ху ⎜ − ; ⎟ . ⎝ 5 5 ⎠ ⎝ 5 5⎠ Задача 19. Какую линию определяет уравнение 4x2 - 4xy + y2 + 4x - 2y - 3 =0? Решение Система для нахождения центра кривой в данном случае имеет вид: ⎧ 4 x0 − 2 y0 + 2 = 0, y 2x-y+3=0 ⎨ 2x-y+1=0 ⎩ −2 x0 + y0 − 1 = 0. Эта система равносильна одному уравнению 2х0 – у0 2x-y-1=0 + 1 = 0, следовательно, линия имеет бесконечно много центров, составляющих прямую 2х – у + 1= 0. x Заметим, что левая часть данного уравнения 0 разлагается на множители первой степени: 4х2 – 4ху + у2 + 4х –2у –3 = = (2х – у +3)(2х – у – 1). Значит, рассматриваемая линия есть пара параллельных прямых: 2ху – у +3 = 0 и 2х – у – 1 = 0. Задача 20 1. Уравнение 5х2 + 6ху + 5у2 – 4х + 4у + 12 = 0 x′2 y′2 приводится к каноническому виду х′ 2 + 4у′ 2 + 4 = 0, или + = −1. 4 1 Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса. Однако оно не определяет на плоскости никакого действительного образа, так как для любых действительных чисел х′,у′ левая часть его не отрицательна, а cправа стоит –1. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями мнимого эллипса. 2. Уравнение 5х2 + 6ху + 5у2 – 4х + 4у + 4 = 0 x′2 y′2 приводится к каноническому виду х′ 2 + 4у′ 2 = 0, или + = 0. 4 1 Уравнение также похоже на каноническое уравнение эллипса, но определяет не эллипс, а единственную точку: х′ = 0, у′ = 0. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями вырожденного эллипса. Задача 21. Составить уравнение параболы, если ее фокус находится в точке F(2, -1) и уравнение директрисы D: x – y – 1 = 0. Решение Пусть в некоторой системе координат х′О1у′ парабола имеет канонический вид у′2 = 2рх′. Если прямая у = х – 1 является ее директрисой, то оси системы координат х′О1у′ параллельны директрисе. 46 Координаты вершины параболы, совпадающей с новым началом координат О1, найдем как середину отрезка нормали к директрисе D, проходящей через фокус. Итак, ось О1х′ описывается уравнением у = -х + b, -1 = -2 + b. Откуда b = 1 и О1х′: у = -х + 1. Координаты точки K пересечения директрисы и оси О1х′ находим из условия: ⎧ y = x −1 ⎨ , → x К = 1, y K = 0. ⎩ y = −x + 1 Координаты нового начала координат О1(х0, у0): 1+ 2 3 −1 + 0 1 x0 = = ; y0 = = − . Оси новой системы координат повернуты 2 2 2 2 относительно старой на угол (-45°). Найдем р = KF = 2. Итак, уравнение параболы в старой системе координат получим, если подвергнем уравнение параболы y′ 2 = 2 2 ⋅x′ преобразованию (см. формулу (5) п.4.3): ⎧ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎧ 2 ⎪ x′ = ⎜ x − 2 ⎟ cos(−45°) + ⎜ y + 2 ⎟ sin(−45°), ⎪ x′ = (x − y − 2), ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x − sin(−45°) + ⎛ y + cos(−45°) 3⎞ 1⎞ ⎪ y′ = 2 (x + y − 1), ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎩ 2 1 2 y′2 = 2 2 ⋅ x′ ⇒ (x + y − 1) 2 = 2 2 ⋅ (x − y − 2), 2 2 откуда искомое уравнение параболы имеет вид: х2 + 2ху + у2 – 6х + 2у + 9 = 0. Задача 22. Написать уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е = 5 , фокус F(2, -3) и уравнение директрисы y′ y D1 3х – у + 3 = 0. Решение 3 B Уравнение директрисы D1: у = 3х + 3 позволяет заключить, что новая ось координат Ох′ имеет вид y = (-1/3)x + b, проходит через точку F(2, - -7 -1 α x A 0 1 3), значит, −3 = − ⋅ 2 + b, откуда b = -7/3 и Ох′ O1 K 3 a/ 5 -7/3 1 7 F x′ задается уравнением y = − x − . 3 3 Пусть начало новой системы координат находится в точке О1(х0, у0). Найдем координаты точки К как координаты точки пересечения директрисы D1 и 47 ⎧3 x − y + 3 = 0, 8 9 оси Ох′′ из системы ⎨ → xK = − , y K = − . ⎩3y + x + 7 = 0 5 5 Геометрические свойства гиперболы, которая в новых осях координат x′2 y′2 Ох′у′ имеет вид 2 − 2 = 1, позволяют найти КF как расстояние от фокуса a b F(2, -3) до директрисы D1: 3х – у + 3 = 0. 3 ⋅ (2) − (−3) + 3 12 a a KF = = , O1K = = , O1F = c = a 2 + b 2 , 9 +1 10 e 5 a 12 O1K = O1F − KF ⇒ = a 2 + b2 − , 5 10 b2 так как e = 1 + 2 = 5, b 2 = 4a 2 . Значение а находим из уравнения a a 12 3 =a 5− и получаем a = . При этом b2 = 18. 5 10 2 x′2 y′2 Уравнение гиперболы в новых координатах имеет вид − = 1. 9 2 18 Координаты нового центра найдем, зная что точка К делит отрезок О1F в OK a 5 1 отношении λ = 1 = = : KF 12 10 4 ⎧ 1 ⎪ x0 + x F 4 5 ⎪ xK = , x0 = − , ⎪ 1+1 4 2 ⎨ откуда ⎪ 1 3 y0 + y F y0 = − . ⎪y = 4 , 2 ⎪ K ⎩ 1+1 4 Из ∆ АВО: sinα = 1 10 , cosα = 3 10 . Так как поворот совершается на угол (-α): sin(-α) = − 1 10 , cos(-α) = 3 10 , то формулы преобразований координат (см. (5) в п.4.3) принимают вид: ⎧ ⎛ 5⎞ 3 ⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎧ ′ 1 ⎪ ⎪ x′ = ⎜ x + ⎟ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎝ + ⎜ y + ⎟⎜ − 2 ⎠ ⎝ 10 ⎠⎟, ⎪ x = 10 (3x − y + 6) , ⎪ ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x + 5 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ + ⎛ y + 3 ⎞ 3 , ⎪ y′ = 1 (x + 3 y + 7) ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎩ 10 1 1 (3x − y + 6) (x + 3y + 7) 2 2 и уравнение гиперболы принимает вид 10 − 10 = 1, 92 18 4(3х – у +6)2 – (х + 3у + 7)2 = 180 или 7х2 – у2 – 6ху – 18у + 26х + 17 = 0. 48 Задача 23. Найти полярный угол отрезка, направленного из точки (5, 3) в точку (6, 2 3). Решение ρ = (6 − 5) 2 + (2 3 − 3) 2 = 2, cos ϕ = 1 2, sin ϕ = 3 2 ⇒ ϕ = 60°. (см. п.5.2). Задача 24. Составить уравнение прямой в полярных координатах, считая известными расстояние р от полюса до прямой и угол α от полярной оси до луча, направленного из полюса перпендикулярно к прямой. M (ρ, ϕ) Решение L Известны ОР = р, ∠ РОА = α, произвольная точка М P прямой L имеет координаты (ρ, ϕ). β Точка М лежит на прямой L в том и только в том случае, α когда проекция точки М на луч ОР совпадает с точкой Р, O A т.е. когда р = ρ⋅cosβ, где ∠ РОМ = β. Угол ϕ = α + β и уравнение прямой L принимает вид ρ⋅cos(ϕ - α) = p. Задача 25. Найти полярные уравнения указанных кривых: 1). x = a, a >0 راه حل ρ⋅cosφ = a → ρ = a/cosφ. a 0 ρ 2). y = b، b > 0 b راه حل ρ⋅sinϕ = b → ρ = b/sinϕ. 0 ρ 3). (x2 + y2)2 = a2xy راه حل: xy ≥ 0، a2 ρ = a ρ cos ϕ sin ϕ → ρ = sin 2ϕ، sin 2ϕ ≥ 0 . 4 2 2 2 2 معادله منحنی در مختصات قطبی به شکل ρ = sin 2ϕ , ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2] است و یک گل رز 2 گلبرگ را تعریف می کند: مسئله 26. خطوط را بسازید. در سیستم مختصات قطبی داده شده است: یک). ρ = 2a⋅sinϕ, a > 0. راه حل y x 2 + y 2 = 2a ⋅ , x + y 2 2 a 2 2 x + y – 2ay = 0, ρ 0 49 x2 + (y – a)2 = a2. 2). ρ = 2 + cosφ. اگر هر بردار شعاع دایره ρ = cosφ دو برابر شود، راه حل خط به دست می آید. مختصات نقاط کنترل را پیدا کنید: ϕ = 0، ρ = 3. ϕ = π/2، ρ = 2; ϕ = π، ρ = 1. 9 3). ρ = 4 - 5cos ϕ راه حل 4 - 5⋅cosϕ > 0، cosϕ< 4/5, ϕ ∈ (arccos(4/5), 2π – arccos(4/5)). При этом ρ⋅(4 - 5⋅cosϕ) = 9. Переходя к декартовым координатам, получаем ⎛ x ⎞ x2 + y2 ⎜ 4 − 5 ⎟ = 9, ⎜ x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠ 16 (x 2 + y 2) = (5 x + 9) , 2 4 x 2 + y 2 = 5 x + 9, 16x2 + 16y2 = 25x2 + 90x + 81, 9x2 + 90x – 16y2 +81 = 0, 2 2 (x + 5) 2 y 2 9(x + 5) – 16y = 144 → − 2 = 1 – правая ветвь 42 3 гиперболы при указанных ϕ. Кривую можно было построить по точкам, например, при ϕ = π ρ = 9/10. 4). ρ2⋅sin2ϕ = а2. Решение sin 2ϕ ≥ 0, ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2]. a ρ= . sin 2ϕ Перейдем к декартовым координатам, учтем, что ρ2 2 xy sin 2ϕ = 2 cos ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ 2 = 2 , ρ x + y2 a2 2 тогда кривая принимает вид гиперболы: y = . x Задача 27. Какие линии задаются следующими параметрическими уравне- ниями: 50
مهمترین مفهوم هندسه تحلیلی است معادله یک خط در یک هواپیما.
تعریف. معادله یک خط (منحنی) در یک صفحه اکسیمعادله ای نامیده می شود که مختصات را برآورده می کند ایکسو yهر نقطه از این خط و مختصات هر نقطه ای که روی این خط قرار ندارد را برآورده نمی کند (شکل 1).
به طور کلی می توان معادله خط را به صورت زیر نوشت F(x,y)=0یا y=f(x).
مثال.معادله مجموعه نقاط با فاصله مساوی از نقاط را پیدا کنید A(-4;2)، B(-2;-6).
راه حل.اگر M(x;y)یک نقطه دلخواه از خط مورد نظر (شکل 2) است، سپس ما داریم AM=BMیا
پس از تحولات، می گیریم
بدیهی است که این معادله یک خط مستقیم است. MD- عمود بر وسط قطعه بازسازی شده است AB.
از بین تمام خطوط هواپیما، از اهمیت ویژه ای برخوردار است خط مستقیم. این نمودار یک تابع خطی است که در رایج ترین مدل های اقتصادی و ریاضی خطی در عمل استفاده می شود.
انواع مختلف معادله یک خط مستقیم:
1) با شیب k و مختصات اولیه b:
y = kx + b,
زاویه بین خط مستقیم و جهت مثبت محور کجاست اوه(شکل 3).
موارد خاص:
- خط از آن عبور می کند اصل و نسب(شکل 4):
– نیمساززوایای مختصات اول و سوم، دوم و چهارم:
y=+x، y=-x;
- سر راست موازی با محور xو خودش محور OX(شکل 5):
y=b، y=0;
- سر راست موازی با محور OYو خودش محور OY(شکل 6):
x=a، x=0;
2) عبور در این جهت (با شیب) k از نقطه داده شده (شکل 7) :
.
اگر در معادله بالا کیک عدد دلخواه است، سپس معادله تعریف می کند دسته ای از خطوط مستقیمعبور از نقطه ، به جز یک خط مستقیم موازی با محور اوه
مثالA (3,-2):
الف) در یک زاویه نسبت به محور اوه
ب) موازی با محور OY.
راه حل.
آ) 
, y-(-2)=-1(x-3)یا y=-x+1;
ب) x=3.
3) عبور از دو نقطه داده شده (شکل 8) :
.
مثال. معادله خط مستقیمی که از نقاط عبور می کند را بنویسید A(-5.4)، B(3،-2).
راه حل. 
,
4) معادله یک خط مستقیم در پاره ها (شکل 9):
جایی که الف، ب-قطعاتی که به ترتیب بر روی محورها قطع می شوند گاو نرو اوه
مثال. برای خطی که از یک نقطه می گذرد معادله بنویسید A (2,-1)، اگر این خط از نیم محور مثبت قطع شود اوهیک قطعه دو برابر بیشتر از نیم محور مثبت گاو نر(شکل 10).
راه حل. با شرط b=2a، سپس . مختصات نقطه را جایگزین کنید A (2,-1):
جایی که a=1.5.
در نهایت می رسیم:
یا y=-2x+3.
5) معادله کلی خط مستقیم:
Ax+By+C=0،
جایی که آو بهمزمان با صفر برابر نیست.
برخی از ویژگی های مهم خطوط مستقیم :
1) فاصله d از یک نقطه تا یک خط:
.
2) زاویه بین خطوط مستقیم و به ترتیب:
و 
.
3) وضعیت خطوط موازی:
یا .
4) شرط عمود بودن خطوط:
یا 
.
مثال 1. برای دو خطی که از یک نقطه می گذرند معادله بنویسید A (5.1)که یکی از آنها موازی خط است 3x+2y-7=0و دیگری عمود بر همان خط است. فاصله بین خطوط موازی را پیدا کنید.
راه حل. شکل 11.
1) معادله یک خط موازی Ax+By+C=0:
از شرط توازی ;
با گرفتن ضریب تناسب برابر با 1، به دست می آوریم A=3، B=2;
سپس. 3x+2y+C=0;
معنی بابا جایگزین کردن مختصات پیدا کنید A (5,1)
3*5+2*1+C=0،جایی که C=-17;
معادله یک خط موازی 3x+2y-17=0 است.
2) معادله یک خط عمود بر هماز شرط عمودی شکل خواهد داشت 2x-3y+C=0;
جایگزینی مختصات A (5.1)، ما گرفتیم 2*5-3*1+C=0، جایی که C=-7;
معادله یک خط عمود 2x-3y-7=0 است.
3) فاصله بین خطوط موازیرا می توان به عنوان فاصله از A (5.1)قبل از اینکه مستقیم داده شود 3x+2y-7=0:
.
مثال 2. با توجه به معادلات اضلاع مثلث:
3x-4y+24=0 (AB)، 4x+3y+32=0 (BC)، 2x-y-4=0 (AC).
معادله ای برای نیمساز یک زاویه بنویسید ABC.
راه حل. ابتدا مختصات راس را پیدا کنید Vمثلث:
,
جایی که x=-8، y=0،آن ها B(-8.0)(شکل 12) .
با خاصیت نیمساز فاصله از هر نقطه M(x,y)، نیمسازها BDتا طرفین ABو آفتاببرابر هستند، یعنی
,
دو معادله بدست می آوریم
x+7y+8=0، 7x-y+56=0.
از شکل 12، شیب خط مستقیم مورد نظر منفی است (زاویه با اوهمبهم)، بنابراین، معادله اول برای ما مناسب است x+7y+8=0یا y=-1/7x-8/7.
تساوی به شکل F(x,y) = 0 معادله ای با دو متغیر x,y نامیده می شود، اگر برای هیچ جفتی از اعداد x و y معتبر نباشد. آنها می گویند که دو عدد x \u003d x 0 ، y \u003d y 0 معادله ای از فرم F (x, y) \u003d 0 را برآورده می کند ، اگر وقتی این اعداد جایگزین متغیرهای x و y در معادله شوند ، سمت چپ آن سمت ناپدید می شود
معادله یک خط معین (در سیستم مختصات اختصاص داده شده) معادله ای در دو متغیر است که با مختصات هر نقطه ای که روی این خط قرار دارد ارضا می شود و با مختصات هر نقطه ای که روی آن قرار ندارد برآورده نمی شود.
در ادامه، به جای عبارت «با توجه به معادله خط F(x, y) = 0»، اغلب کوتاهتر می گوییم: با توجه به خط F(x, y) = 0.
اگر معادلات دو خط F(x, y) = 0 و Ф(x, y) = 0 داده شوند، جواب مشترک سیستم
F(x، y) = 0، F(x، y) = 0
تمام نقاط تقاطع آنها را می دهد. به طور دقیق تر، هر جفت اعدادی که راه حل مشترک این سیستم است، یکی از نقاط تقاطع را تعیین می کند.
157. امتیاز داده شده *) M 1 (2; -2)، M 2 (2; 2)، M 3 (2; - 1)، M 4 (3; -3)، M 5 (5; -5)، M 6 (3; -2). مشخص کنید کدام یک از نقاط داده شده روی خطی که با معادله x + y = 0 تعریف شده است قرار دارد و کدام یک روی آن قرار ندارد. کدام خط با این معادله تعریف می شود؟ (آن را روی نقاشی نشان دهید.)
158. در خطی که با معادله x 2 + y 2 \u003d 25 تعریف شده است، نقاطی را پیدا کنید که ابسیساهای آنها برابر با اعداد زیر است: 1) 0، 2) -3، 3) 5، 4) 7. در همان خط، نقاطی را پیدا کنید که مختصات آنها با اعداد زیر برابر است: 5) 3، 6) -5، 7) -8. کدام خط با این معادله تعریف می شود؟ (آن را روی نقاشی نشان دهید.)
159. تعیین کنید کدام خطوط با معادلات زیر تعیین می شوند (آنها را روی نقاشی بسازید): 1) x - y \u003d 0. 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4) x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + توسط + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. خطوط داده شده است: l)x + y = 0; 2) x - y \u003d 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. مشخص کنید که کدام یک از آنها از مبدأ عبور می کنند.
161. خطوط داده شده است: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. نقاط تقاطع آنها را بیابید: a) با محور x; ب) با محور Oy.
162. نقاط تقاطع دو خط را بیابید:
1) x 2 + y 2 - 8; x - y \u003d 0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.
163. امتیاز M 1 (l؛ π/3)، M 2 (2؛ 0)، M 3 (2؛ π/4)، M 4 (√3؛ π/6) و M 5 (1;2/3π ). تعیین کنید کدام یک از این نقاط روی خطی قرار دارند که در مختصات قطبی با معادله p = 2cosΘ تعریف شده است و کدام یک روی آن قرار ندارند. چه خطی با این معادله تعیین می شود؟ (آن را روی نقاشی نشان دهید.)
164. در خطی که با معادله p \u003d 3 / cosΘ تعریف شده است، نقاطی را پیدا کنید که زوایای قطبی آنها برابر با اعداد زیر است: الف) π / 3، ب) - π / 3، ج) 0، د) π / 6 . کدام خط با این معادله تعریف می شود؟ (آن را روی نقاشی بسازید.)
165. در خطی که با معادله p \u003d 1 / sinΘ تعریف شده است، نقاطی را پیدا کنید که شعاع قطبی آنها برابر با اعداد زیر است: الف) 1 6) 2، ج) √2. کدام خط با این معادله تعریف می شود؟ (آن را روی نقاشی بسازید.)
166. تعیین کنید کدام خطوط در مختصات قطبی با معادلات زیر تعیین می شوند (آنها را روی نقاشی بسازید): 1) p \u003d 5. 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. مارپیچ های ارشمیدس زیر را روی نقشه بسازید: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p \u003d -Θ / π.
168. مارپیچ های هذلولی زیر را روی نقشه بسازید: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ
169. مارپیچ های لگاریتمی زیر را در نقشه بسازید: 1) p \u003d 2 Θ. 2) p = (1/2) Θ .
170. طول بخشهایی را تعیین کنید که مارپیچ ارشمیدسی p = 3Θ تیری را که از قطب خارج شده و به سمت محور قطبی با زاویه Θ = π / 6 متمایل می شود قطع می کند. یک نقاشی بکشید.
171. نقطه C روی مارپیچ ارشمیدسی p \u003d 5 / πΘ گرفته شده است که شعاع قطبی آن 47 است. تعیین کنید که این مارپیچ چند قسمت شعاع قطبی نقطه C را قطع می کند. یک نقاشی بکشید.
172. روی یک مارپیچ هذلولی P \u003d 6 / Θ، نقطه P را پیدا کنید که شعاع قطبی آن 12 است. یک نقاشی بکشید.
173. روی یک مارپیچ لگاریتمی p \u003d 3 Θ نقطه P را پیدا کنید که شعاع قطبی آن 81 است. یک نقاشی بکشید.
