اعداد مختلط چگونه زاویه فی را پیدا کنیم. مدول اعداد مختلط و آرگومان
طرح درس.
1. لحظه سازمانی.
2. ارائه مطالب.
3. تکالیف.
4. جمع بندی درس.
در طول کلاس ها
I. لحظه سازمانی.
II. ارائه مطالب.
انگیزه
بسط مجموعه اعداد حقیقی بدین صورت است که اعداد جدید (خیالی) به اعداد حقیقی اضافه می شوند. معرفی این اعداد با عدم امکان استخراج ریشه از یک عدد منفی در مجموعه اعداد حقیقی همراه است.
معرفی مفهوم عدد مختلط.
اعداد خیالی که اعداد حقیقی را با آنها تکمیل می کنیم به صورت نوشته می شوند دو، جایی که منیک واحد خیالی است و i 2 = - 1.
بر این اساس تعریف زیر را از عدد مختلط بدست می آوریم.
تعریف... عدد مختلط بیانی از فرم است a + bi، جایی که آو ب- اعداد واقعی. در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:
الف) دو عدد مختلط a 1 + b 1 iو a 2 + b 2 iاگر و فقط اگر برابر هستند a 1 = a 2, b 1 = b 2.
ب) جمع اعداد مختلط با این قانون تعیین می شود:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
ج) ضرب اعداد مختلط با این قانون تعیین می شود:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
شکل جبری یک عدد مختلط.
نوشتن یک عدد مختلط در فرم a + biشکل جبری یک عدد مختلط نامیده می شود که در آن آ- بخش واقعی، دوقسمت خیالی است و بیک عدد واقعی است
عدد مختلط a + biدر صورتی که اجزای واقعی و خیالی آن برابر با صفر باشد برابر با صفر در نظر گرفته می شود: a = b = 0
عدد مختلط a + biدر b = 0به عنوان یک عدد واقعی در نظر گرفته می شود آ: a + 0i = a.
عدد مختلط a + biدر a = 0صرفاً خیالی نامیده می شود و نشان داده می شود دو: 0 + bi = bi.
دو عدد مختلط z = a + biو = a - biکه فقط در علامت قسمت خیالی با هم تفاوت دارند، مزدوج نامیده می شوند.
اعمال روی اعداد مختلط به شکل جبری.
می توانید موارد زیر را در مورد اعداد مختلط به صورت جبری انجام دهید.
1) اضافه.
تعریف... مجموع اعداد مختلط z 1 = a 1 + b 1 iو z 2 = a 2 + b 2 iیک عدد مختلط نامیده می شود z، که قسمت واقعی آن برابر است با مجموع اجزای واقعی z 1و z 2و قسمت خیالی مجموع اجزای خیالی اعداد است z 1و z 2، به این معنا که z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
شماره z 1و z 2اصطلاحات نامیده می شوند.
جمع اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:
1º. قابلیت جابجایی: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2 درجه انجمنی بودن: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3 درجه. عدد مختلط –A –biمخالف یک عدد مختلط نامیده می شود z = a + bi... عدد مختلط مقابل عدد مختلط z، نشان داده شده است -z... مجموع اعداد مختلط zو -zبرابر با صفر است: z + (-z) = 0
مثال 1. جمع را انجام دهید (3 - i) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) تفریق.
تعریف.از یک عدد مختلط کم کنید z 1عدد مختلط z 2 z،چی z + z 2 = z 1.
قضیه... تفاوت اعداد مختلط وجود دارد و علاوه بر این، منحصر به فرد است.
مثال 2. تفریق را انجام دهید (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (2 - 2) i = 7 - 4i.
3) ضرب.
تعریف... حاصل ضرب اعداد مختلط z 1 = a 1 + b 1 iو z 2 = a 2 + b 2 iیک عدد مختلط نامیده می شود zتعریف شده توسط برابری: z = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1) i.
شماره z 1و z 2عوامل نامیده می شوند.
ضرب اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:
1º. قابلیت جابجایی: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2 درجه انجمنی بودن: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3 درجه. توزیع ضرب نسبت به جمع:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4 درجه z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2یک عدد واقعی است
در عمل، ضرب اعداد مختلط طبق قاعده ضرب مجموع در مجموع و جداسازی اجزای واقعی و خیالی انجام می شود.
در مثال زیر ضرب اعداد مختلط را به دو صورت در نظر می گیریم: با قانون و ضرب اعداد مختلط در مجموع.
مثال 3. ضرب را انجام دهید (2 + 3i) (5 - 7i).
1 راه. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) ) i = 31 + i.
روش 2. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) تقسیم.
تعریف... تقسیم عدد مختلط z 1روی یک عدد مختلط z 2، سپس چنین عدد مختلطی را پیدا کنید z، چی z z 2 = z 1.
قضیه.ضریب اعداد مختلط وجود دارد و منحصر به فرد است اگر z 2 ≠ 0 + 0i.
در عمل، ضریب اعداد مختلط با ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج به دست می آید.
اجازه دهید z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i، سپس
.
در مثال زیر به فرمول و قاعده ضرب بر مزدوج مخرج تقسیم می کنیم.
مثال 4. ضریب را پیدا کنید 
.
5) افزایش به یک عدد صحیح مثبت.
الف) قوای واحد خیالی.
با استفاده از برابری i 2 = -1، تعریف هر عدد صحیح مثبت واحد خیالی آسان است. ما داریم:
i 3 = i 2 i = -i،
i 4 = i 2 i 2 = 1،
i 5 = i 4 i = i،
i 6 = i 4 i 2 = -1،
i 7 = i 5 i 2 = -i،
i 8 = i 6 i 2 = 1و غیره.
این نشان می دهد که مقادیر درجه که در، جایی که n- یک عدد صحیح مثبت که به صورت دوره ای زمانی که شاخص افزایش می یابد تکرار می شود 4 .
بنابراین، برای افزایش تعداد منبه یک درجه مثبت کامل، توان باید بر تقسیم شود 4 و ایستاده منبه توانی که توان آن برابر با باقیمانده تقسیم است.
مثال 5. محاسبه کنید: (i 36 + i 17) i 23.
i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1،
i 17 = i 4 × 4 + 1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.
i 23 = i 4 × 5 + 3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 - i.
ب) افزایش یک عدد مختلط به یک عدد صحیح مثبت طبق قاعده افزایش یک دوجمله ای به توان مناسب انجام می شود، زیرا یک مورد خاص از ضرب همان ضرایب مختلط است.
مثال 6. محاسبه کنید: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.
اعداد مختلط حداقل پسوند مجموعه اعداد حقیقی هستند که به آن عادت کرده ایم. تفاوت اساسی آنها در این است که عنصری ظاهر می شود که -1 را در مربع می دهد، یعنی. من، یا
هر عدد مختلط دو بخش دارد: واقعی و خیالی:
بنابراین، می توان دید که مجموعه اعداد حقیقی با مجموعه اعداد مختلط با یک جزء خیالی صفر منطبق است.
محبوب ترین مدل برای مجموعه اعداد مختلط هواپیما است. مختصات اول هر نقطه قسمت واقعی آن و مختصات دوم خیالی خواهد بود. سپس بردارهایی با مبدا در نقطه (0,0) خود به عنوان اعداد مختلط عمل خواهند کرد.
عملیات روی اعداد مختلط
در واقع، اگر مدل مجموعه ای از اعداد مختلط را در نظر بگیریم، به طور شهودی مشخص می شود که جمع (تفریق) و ضرب دو عدد مختلط مانند عملیات مربوطه بر روی بردارها انجام می شود. و منظور ما حاصل ضرب برداری بردارها است، زیرا نتیجه این عمل باز هم یک بردار است.
1.1 اضافه شدن
(همانطور که می بینید، این عملیات دقیقا مطابقت دارد)
1.2 تفریق، به طور مشابه، طبق قانون زیر انجام می شود:
2. ضرب.
3. تقسیم.
به سادگی به عنوان معکوس ضرب تعریف می شود.
فرم مثلثاتی.
مدول عدد مختلط z مقدار زیر است:
,
بدیهی است که این باز هم فقط مدول (طول) بردار (a, b) است.
اغلب مدول یک عدد مختلط را به صورت نشان می دهند ρ.
معلوم می شود که
z = ρ (cosφ + isinφ).
موارد زیر بلافاصله از شکل مثلثاتی نماد یک عدد مختلط پیروی می کنند. فرمول ها :
آخرین فرمول نامیده می شود فرمول Moivre. فرمول به طور مستقیم از آن مشتق شده است ریشه n ام یک عدد مختلط:
بنابراین، n ریشه از درجه n از عدد مختلط z وجود دارد.
اعداد مختلط
خیالی و اعداد مختلط. ابسیسا و دستور
عدد مختلط. اعداد مختلط را مزدوج کنید.
عملیات با اعداد مختلط هندسی
نمایش اعداد مختلط هواپیمای پیچیده
مدول و آرگومان یک عدد مختلط. مثلثاتی
فرم اعداد مختلط عملیات با پیچیده
اعداد به صورت مثلثاتی فرمول مویور
اطلاعات اولیه در مورد خیالی و اعداد مختلط در بخش "اعداد خیالی و مختلط" آورده شده است. نیاز به این اعداد از نوع جدید هنگام حل معادلات درجه دوم برای مورد ظاهر شد
دی< 0 (здесь دی- ممیز معادله درجه دوم). برای مدت طولانی این اعداد کاربرد فیزیکی پیدا نمی کردند، بنابراین آنها را اعداد "خیالی" می نامیدند. با این حال، در حال حاضر آنها بسیار گسترده در زمینه های مختلف فیزیک استفاده می شود.و فناوری: مهندسی برق، هیدرودینامیک و آیرودینامیک، تئوری الاستیسیته و غیره.
اعداد مختلط به صورت زیر نوشته می شوند:a + bi... اینجا آو ب – اعداد واقعی ، آ من – واحد خیالی، یعنیه. من 2 = –1. عدد آتماس گرفت اوکیسا، آ ب - ترتیبعدد مختلطa + bi.دو عدد مختلطa + biو a - bi نامیده می شوند مرتبط استاعداد مختلط.
توافقات اساسی:
1. عدد واقعی
آرا نیز می توان در قالب نوشتعدد مختلط:یک + 0 منیا آ - 0 من. به عنوان مثال، رکوردهای 5 + 0منو 5 - 0 منیعنی همان عدد 5 .2. مجتمع شماره 0 + دوتماس گرفت کاملا خیالی عدد. در حال ضبطدویعنی همان 0 + دو.
3. دو عدد مختلطa + bi وج + دیبرابر در نظر گرفته می شوند اگرa = cو b = d... در غیر این صورت اعداد مختلط برابر نیستند
اضافه مجموع اعداد مختلطa + biو ج + دیعدد مختلط نامیده می شود (a + c ) + (b + d ) من.به این ترتیب، هنگام اضافه کردن اعداد مختلط، ابسیساها و مختصات آنها به طور جداگانه اضافه می شوند.
این تعریف از قوانین برخورد با چند جمله ای های معمولی پیروی می کند.
منها کردن. تفاوت دو عدد مختلطa + bi(کاهش یافته) و ج + دی(کاهش) عدد مختلط نامیده می شود (الف - ج ) + (ب - د ) من.
به این ترتیب، هنگام تفریق دو عدد مختلط، ابسیساها و مختصات آنها به طور جداگانه تفریق می شوند.
ضرب. حاصل ضرب اعداد مختلطa + biو ج + دی به نام یک عدد مختلط:
(ac - bd ) + (آگهی + قبل از میلاد ) من.این تعریف از دو الزام ناشی می شود:
1) اعداد a + biو ج + دیباید مثل جبری ضرب شوددو جمله ای،
2) شماره مندارای ویژگی اصلی:من 2 = – 1.
مثال ( a + bi )(a - bi) = a 2 + ب 2 . از این رو، کار
دو عدد مختلط مزدوج برابر با واقعی است
یک عدد مثبت
بخش. تقسیم عدد مختلطa + bi (قابل تقسیم) بر دیگریج + دی(تقسیم کننده) - به معنای یافتن عدد سوم استe + f i(چت)، که در یک مقسوم علیه ضرب می شودج + دی، منجر به سود سهام می شودa + bi.
اگر مقسوم علیه صفر نباشد، تقسیم همیشه امکان پذیر است.
مثال یافتن (8 +من ) : (2 – 3 من) .
راه حل. بیایید این نسبت را به صورت کسری بازنویسی کنیم:
ضرب صورت و مخرج آن در 2 + 3من
و پس از تکمیل تمام تبدیل ها، به دست می آوریم:
نمایش هندسی اعداد مختلط اعداد واقعی با نقاط روی خط اعداد نشان داده می شوند:
نکته اینجاست آبه معنی عدد -3، نقطهب- شماره 2 و O- صفر در مقابل، اعداد مختلط با نقاط در صفحه مختصات نشان داده می شوند. برای این کار مختصات مستطیلی (دکارتی) با مقیاس های یکسان در هر دو محور را انتخاب می کنیم. سپس عدد مختلطa + bi با یک نقطه نشان داده خواهد شد P با آبسیسا الف و ترتیب ب (شکل را ببینید). این سیستم مختصات نامیده می شود هواپیمای پیچیده .
مدول عدد مختلط طول بردار استOPنشان دهنده یک عدد مختلط روی مختصات ( یکپارچه) سطح. ماژول اعداد مختلطa + biنشان داده شده با | a + bi| یا نامه r
