यह अद्भुत मिस्र का त्रिकोण. मिस्र की ज्यामिति के सूत्र, मिस्र के सभी त्रिकोण
ज्यामिति के क्षेत्र में, मिस्रवासी एक आयत, त्रिभुज, समलंब और गोले के क्षेत्रफल के सटीक सूत्र जानते थे, और एक समानांतर चतुर्भुज, सिलेंडर और पिरामिड के आयतन की गणना कर सकते थे।
ए, बी, सी, डी भुजाओं वाले एक मनमाने चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना लगभग इस प्रकार की गई थी; यदि आकृति एक आयत के करीब है तो यह मोटा सूत्र स्वीकार्य सटीकता देता है।
मिस्रवासियों ने यह मान लिया कि (त्रुटि 1% से कम है)।
व्यास d वाले वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र था:
अकमीम पेपिरस में एक और त्रुटि निहित है: लेखक का मानना है कि यदि वृत्त A की त्रिज्या अन्य दो वृत्त B और C की त्रिज्याओं का अंकगणितीय माध्य है, तो वृत्त A का क्षेत्रफल क्षेत्रों का अंकगणितीय माध्य है वृत्त B और C का.
एक काटे गए पिरामिड के आयतन की गणना: आइए हमारे पास एक नियमित काटे गए पिरामिड है जिसका आधार निचला भाग a, ऊपरी भाग b और ऊँचाई h है; फिर वॉल्यूम की गणना मूल लेकिन सटीक सूत्र का उपयोग करके की गई:
मिस्र का त्रिकोण
मिस्र का त्रिकोण
मिस्र का त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसका पक्षानुपात 3:4:5 है। प्राचीन काल से ज्ञात त्रिभुज की एक विशेषता यह है कि भुजाओं के ऐसे अनुपात के साथ, पाइथागोरस प्रमेय दोनों पैरों और कर्ण का पूर्ण वर्ग देता है, अर्थात 9:16:25। इन संख्याओं का योग (3+4+5=12) प्राचीन काल से बहुलता की एक इकाई के रूप में उपयोग किया जाता रहा है जब इसकी लंबाई के 3/12 और 7/12 पर गांठों से चिह्नित रस्सी का उपयोग करके समकोण का निर्माण किया जाता है।
इस पक्षानुपात वाले त्रिभुज का नाम हेलेनेस द्वारा दिया गया था। 7वीं-5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में। ई. यूनानी दार्शनिक और सार्वजनिक हस्तियाँसक्रिय रूप से मिस्र का दौरा किया। उदाहरण के लिए, 535 ईसा पूर्व में पाइथागोरस। ई. थेल्स के आग्रह पर, वह खगोल विज्ञान और गणित का अध्ययन करने के लिए मिस्र गए - और, जाहिर है, यह किसी भी समकोण त्रिकोण के लिए मिस्र के त्रिकोण की विशेषता वाले वर्गों के अनुपात को सामान्य बनाने का प्रयास था जिसने पाइथागोरस को उनके प्रसिद्ध सूत्रीकरण और प्रमाण के लिए प्रेरित किया। प्रमेय.
मिस्र के त्रिकोण का उपयोग मध्य युग की वास्तुकला में आनुपातिक योजनाओं के निर्माण और सर्वेक्षणकर्ताओं और वास्तुकारों द्वारा समकोण बनाने के लिए किया जाता था। मिस्र का त्रिभुज हेरोनियन त्रिभुजों में सबसे सरल (और सबसे पहले ज्ञात) है - पूर्णांक भुजाओं और क्षेत्रफल वाले त्रिभुज।
एक काटे गए शंकु का आयतन
ऑक्सिरहिन्चस के चित्रों के आधार पर जल घड़ी का पुनर्निर्माण
ऑक्सिरहिन्चस में पाए गए एक प्राचीन पपीरस स्क्रॉल से पता चलता है कि मिस्रवासी एक काटे गए शंकु के आयतन की गणना कर सकते थे। उन्होंने इस ज्ञान का उपयोग जल घड़ियाँ बनाने में किया। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि अमेनहोटेप III के तहत कर्णक में एक जल घड़ी बनाई गई थी।
मिस्र में गणित के प्रारंभिक विकास के बारे में कोई जानकारी नहीं है। बाद के बारे में, हेलेनिस्टिक युग तक - भी। टॉलेमीज़ के परिग्रहण के बाद, मिस्र और ग्रीक संस्कृतियों का एक अत्यंत उपयोगी संश्लेषण शुरू हुआ।
प्रसिद्ध गणितज्ञ पाइथागोरस ने कई अलग-अलग खोजें कीं, लेकिन ज्यादातर लोग जो नियमित रूप से बीजगणित और ज्यामिति से नहीं निपटते हैं, उनके लिए वह अपने प्रमेय के लिए जाने जाते हैं। वैज्ञानिक ने इसकी खोज मिस्र में की थी, जहां वह पिरामिडों की सुंदरता और भव्यता से मंत्रमुग्ध हो गए थे और इससे उन्हें यह विचार आया कि उनके रूपों में एक निश्चित पैटर्न का पता लगाया जा सकता है।
खोज का इतिहास
मिस्र के त्रिकोण का नाम हेलेनेस के नाम पर पड़ा है, जो अक्सर मिस्र का दौरा करते थे 7वीं-5वीं शताब्दीईसा पूर्व ई., उनमें से पाइथागोरस भी था। चेप्स पिरामिड का आधार एक आयताकार बहुभुज है, और
खफरे के पिरामिड तथाकथित मिस्र के त्रिकोण हैं, जिन्हें प्राचीन लोग पवित्र कहते थे। प्लूटार्क ने लिखा है कि मिस्र के निवासियों ने प्रकृति को इस ज्यामितीय आकृति के साथ जोड़ा: ऊर्ध्वाधर पैर एक पुरुष का प्रतीक था, आधार एक महिला का, और कर्ण एक बच्चे का प्रतीक था। इसमें पहलू अनुपात 3:4:5 है, और यह पाइथागोरस प्रमेय की ओर ले जाता है, क्योंकि 3 2 x 4 2 = 5 2। इसलिए, यह तथ्य कि मिस्र का त्रिकोण खफरे के पिरामिड के आधार पर स्थित है, यह बताता है कि प्रसिद्ध प्रमेय निवासियों को ज्ञात था प्राचीन विश्वपाइथागोरस द्वारा इसे तैयार करने से भी पहले। इस आकृति की एक विशेष विशेषता यह भी मानी जाती है कि, इस पक्षानुपात के कारण, यह हेरोनियन त्रिभुजों में सबसे पहला और सबसे सरल है, क्योंकि इसकी भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांक हैं।
आवेदन
मिस्र का त्रिकोण प्राचीन काल से वास्तुकला और निर्माण में लोकप्रिय रहा है।
इसका उपयोग मुख्य रूप से 12 भागों में विभाजित रस्सी या डोरी का उपयोग करके समकोण बनाते समय किया जाता था। ऐसी रस्सी पर निशानों का उपयोग करके, बहुत सटीक रूप से एक आयताकार आकृति बनाना संभव था, जिसके पैर स्थापना के लिए मार्गदर्शक के रूप में काम करेंगे। समकोणइमारतें. यह ज्ञात है कि इस ज्यामितीय आकृति के ऐसे गुणों का उपयोग न केवल प्राचीन मिस्र में किया जाता था, बल्कि उससे बहुत पहले, चीन, बेबीलोन और मेसोपोटामिया में भी किया जाता था। मध्य युग में आनुपातिक संरचनाएँ बनाने के लिए मिस्र के त्रिकोण का भी उपयोग किया गया था।
एंगल्स
इस त्रिभुज का पक्षानुपात 3:4:5 है जिसके परिणामस्वरूप यह एक समकोण त्रिभुज है, अर्थात इसका एक कोण 90 डिग्री का है और अन्य दो कोण 53.13 और 36.87 डिग्री के हैं। समकोण भुजाओं के बीच का कोण है जिसका अनुपात 3:4 होता है।
सबूत
कुछ सरल गणनाओं से आप सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है। यदि हम पाइथागोरस द्वारा बनाए गए व्युत्क्रम प्रमेय का पालन करते हैं, अर्थात, यदि दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरे के वर्ग के बराबर है, तो यह आयताकार है, और चूँकि इसकी भुजाएँ समानता 3 2 x 4 की ओर ले जाती हैं 2 = 5 2, अत: यह आयताकार है।
संक्षेप में, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि मिस्र का त्रिकोण, जिसके गुण कई शताब्दियों से मानव जाति को ज्ञात हैं, आज भी वास्तुकला में उपयोग किया जा रहा है। यह बिल्कुल भी आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि यह विधि सटीकता की गारंटी देती है, जो निर्माण के दौरान बहुत महत्वपूर्ण है। इसके अलावा, इसका उपयोग करना बहुत आसान है, जो प्रक्रिया को भी बहुत आसान बनाता है। इस पद्धति के उपयोग के सभी लाभों का सदियों से परीक्षण किया गया है और यह आज भी लोकप्रिय है।
यह संभव है कि "मिस्र का त्रिकोण" शब्द दिया गया हो पाइथागोरस, आग्रह पर दौरा किया थेल्समिस्र में...
"... इस निबंध में हम गणित के गैर-व्यावहारिक, गैर-अनुप्रयुक्त पहलू में रुचि रखते हैं, हम मानते हैं कि "सज्जन की किट" में शामिल करना बहुत ही शिक्षाप्रद होगा; गणितीय निरूपण 3, 4, 5 भुजाओं वाले त्रिभुज को मिस्र क्यों कहा जाता है इसका ज्ञान।
संपूर्ण मुद्दा यह है कि प्राचीन मिस्र के पिरामिड निर्माताओं को समकोण बनाने के लिए एक तरीके की आवश्यकता थी। यहाँ आवश्यक विधि है. रस्सी को 12 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, आसन्न भागों के बीच की सीमाओं को चिह्नित किया जाता है, और रस्सी के सिरों को जोड़ा जाता है। फिर रस्सी को तीन लोगों द्वारा खींचा जाता है ताकि यह एक त्रिकोण बन जाए, और आसन्न तनावियों के बीच की दूरी क्रमशः 3 भाग, 4 भाग और 5 भाग होती है। इस स्थिति में, त्रिभुज समकोण होगा, जिसमें भुजाएँ 3 और 4 पैर होंगे, और भुजा 5 कर्ण होगी, इसलिए भुजाएँ 3 और 4 के बीच का कोण समकोण होगा।
मुझे डर है कि अधिकांश पाठक इस प्रश्न का उत्तर देंगे कि "त्रिभुज समकोण क्यों होगा?" पाइथागोरस प्रमेय का उल्लेख करेंगे: आख़िरकार, तीन वर्ग जमा चार वर्ग पाँच वर्ग के बराबर होता है। हालाँकि, पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि यदि कोई त्रिभुज समकोण है, तो इस स्थिति में इसकी दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजाओं के वर्ग के बराबर होता है।
यहां हम पाइथागोरस प्रमेय के व्युत्क्रम प्रमेय का उपयोग करते हैं: यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है, तो इस स्थिति में त्रिभुज समकोण है। (मुझे यकीन नहीं है कि इस व्युत्क्रम प्रमेय का स्कूली पाठ्यक्रम में उचित स्थान है।)
उसपेन्स्की वी.ए. , गणित की माफी, या आध्यात्मिक संस्कृति के हिस्से के रूप में गणित के बारे में, पत्रिका "न्यू वर्ल्ड", 2007, एन 11, पी। 131.
मान लीजिए कि हमारे पास एक रेखा है जिस पर हमें लंब स्थापित करने की आवश्यकता है, अर्थात। पहली रेखा के सापेक्ष 90 डिग्री के कोण पर दूसरी रेखा। या हमारे पास एक कोण है (उदाहरण के लिए, एक कमरे का कोना) और हमें यह जांचना होगा कि यह 90 डिग्री के बराबर है या नहीं।
यह सब केवल एक टेप माप और एक पेंसिल से किया जा सकता है।
दो महान चीजें हैं जैसे " मिस्र का त्रिकोण"और पाइथागोरस प्रमेय, जो इसमें हमारी सहायता करेगा।
एक बार कारण और लक्ष्य मिल जाएं, तो नवीन ज्ञान की खोज एक स्वाभाविक परिणाम होगी। आपको आशावादी होना होगा, लेकिन यह पर्याप्त नहीं है। विश्वासों को कार्यों में बदलना होगा। यदि संभव हो तो पृथक कार्यों में नहीं। यदि कक्षा ही एकमात्र स्थान है जिसकी आपको आवश्यकता है, तो आपको समझदारी से उस पर कब्जा करना होगा और जो आपने एक बार सपना देखा था उसे साकार करना होगा।
गणित के कई ज्ञानों में से एक के रूप में ज्यामिति की उत्पत्ति कुछ हद तक अस्पष्ट है, जिसकी खोज का श्रेय किसी एक व्यक्ति को देना असंभव है। हालाँकि, मिस्र में इसकी शुरुआत और आधुनिक ज्यामिति का सबसे पहला प्रमाण लगभग 600 ईसा पूर्व का माना जाता है।
इसलिए, मिस्र का त्रिकोणएक समकोण त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाओं का अनुपात 3:4:5 (भुजा 3: भुजा 4: कर्ण 5) है।
मिस्र का त्रिभुज सीधे पाइथागोरस प्रमेय से संबंधित है - पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है (3*3 + 4*4 = 5*5)।
यह हमारी कैसे मदद कर सकता है? यह बहुत सरल है.
कार्य क्रमांक 1.आपको एक सीधी रेखा (उदाहरण के लिए, दीवार से 90 डिग्री पर एक रेखा) पर लम्ब बनाने की आवश्यकता है।
ऐतिहासिक और सांस्कृतिक संदर्भ में इसके महत्व के बावजूद, ज्यामिति का पर्याप्त अध्ययन नहीं किया गया है। वहीं, छात्रों में जो कौशल विकसित किया जाएगा, वह पुराना हो चुका है। ज्यामिति के शिक्षण और छात्र में विकसित की जाने वाली दक्षताओं के संबंध में सांता कैटरीना के शिक्षण प्रस्ताव के अनुसार, कुछ कारकों को ध्यान में रखा जाना चाहिए।
भौतिक स्थान और रूपों का अध्ययन या अन्वेषण। अभिविन्यास और विज़ुअलाइज़ेशन और भौतिक स्थान का प्रतिनिधित्व। दृश्य और समझ ज्यामितीय आकार. स्वरूपों का उनकी विशेषताओं के अनुसार नामकरण एवं पहचान करना। वस्तुओं का उनके आकार के अनुसार वर्गीकरण।
स्टेप 1. ऐसा करने के लिए, बिंदु संख्या 1 (जहां हमारा कोण होगा) से, हमें इस रेखा पर किसी भी दूरी को मापने की आवश्यकता है जो तीन या चार का गुणक है - यह हमारा पहला चरण होगा (क्रमशः तीन या चार भागों के बराबर) ), हमें बिंदु संख्या 2 मिलता है।
गणना को सरल बनाने के लिए, आप एक दूरी ले सकते हैं, उदाहरण के लिए 2 मीटर (यह प्रत्येक 50 सेमी के 4 भाग हैं)।
आकृतियों के गुणों और उनके बीच संबंधों का अध्ययन करना। ज्यामितीय आकृतियों एवं मॉडलों का निर्माण। काल्पनिक निगमनात्मक तर्क के आधार पर संबंधों और पूर्वसर्गों का निर्माण और औचित्य। इसे प्राप्त करने के लिए, ज्यामिति से संबंधित दक्षताओं को दूसरे वर्ष से स्थानांतरित किया जाना चाहिए प्राथमिक स्कूलछात्र की सामग्री के अवशोषण के स्तर को ध्यान में रखते हुए।
समाज में यह स्वीकार और स्वीकृत है कि "गणित करना समस्याओं को हल करना है।" इस संबंध में, समस्या को हल करना शोधकर्ताओं और गणितज्ञों के लिए एक विषय है। इस महत्वपूर्ण गतिविधि में अधिकांश छात्रों के सामने आने वाली कठिनाइयों को समझना एक बड़ी चुनौती है। निस्संदेह, सबसे पहले, समस्या की सटीक समझ है। लाकाटोस और मार्कोनी के लिए, "एक समस्या एक कठिनाई है, सैद्धांतिक या व्यावहारिक, किसी वास्तविक महत्व को जानने में जिसके लिए एक समाधान खोजा जाना चाहिए", और यह समझ छात्रों के लिए समस्या के समाधान के माध्यम से काम करने के लिए मौलिक है।
चरण दो. फिर उसी बिंदु संख्या 1 से हम ऊपर की ओर 1.5 मीटर (प्रत्येक 50 सेमी के 3 भाग) मापते हैं (हम एक अनुमानित लंबवत सेट करते हैं), एक रेखा (हरा) खींचते हैं।
चरण 3. अब बिंदु संख्या 2 से आपको 2.5 मीटर (प्रत्येक 50 सेमी के 5 भाग) की दूरी पर हरी रेखा पर एक निशान लगाना होगा। इन निशानों का प्रतिच्छेदन हमारा बिंदु संख्या 3 होगा।
बिंदु संख्या 1 और संख्या 3 को जोड़ने पर हमें अपनी पहली पंक्ति पर लंबवत एक रेखा मिलती है।
सबसे पहले, यह कहा जा सकता है कि समस्या समाधान, गणित शिक्षा के विकास की रणनीति के रूप में, "समस्याओं" की अंतहीन सूची द्वारा बनाई गई "आवश्यक बुराई" की इस भावना से छुटकारा पाना चाहिए, जो एक नियम के रूप में, अंत में होती है। कार्यक्रम की प्रत्येक इकाई को शिक्षक विद्यार्थियों के समक्ष प्रस्तुत करता है।
समस्याओं का पारंपरिक उपयोग, जो ज्ञान के अनुप्रयोग और व्यवस्थितकरण तक सीमित है, छात्र में शत्रुता और उदासीनता को आकर्षित करता है, जिससे उन्हें पूरी तरह से रोका जा सकता है। बौद्धिक विकास. परिभाषाओं, विधियों और प्रदर्शनों की अत्यधिक तैयारी एक नियमित और यांत्रिक गतिविधि बन जाती है जिसमें केवल अंतिम उत्पाद का मूल्यांकन किया जाता है। तार्किक-गणितीय विचारों के अनुसंधान और संचार के चरणों का पालन करने में विफलता अवधारणाओं के निर्माण की अनुमति नहीं देती है। इस प्रकार, "गणितीय ज्ञान छात्र को अवधारणाओं की एक प्रणाली के रूप में प्रस्तुत नहीं करता है जो उसे कई समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है, बल्कि अंतहीन प्रतीकात्मक, अमूर्त, समझ से बाहर भाषण के रूप में प्रस्तुत करता है।"
कार्य क्रमांक 2.दूसरी स्थिति यह है कि एक कोण है और आपको यह जांचना होगा कि क्या वह सीधा है।
यह हमारा कोना है. बड़े वर्ग से जांच करना बहुत आसान है। अगर वह वहां नहीं है तो क्या होगा?
>>ज्यामिति: मिस्र का त्रिकोण. पूरा पाठ
गणितीय ज्ञान पूरे इतिहास में पूछे गए कई प्रश्नों के उत्तरों से ही विकसित हुआ है। रचनात्मकता, आलोचनात्मक जनगणना, जिज्ञासा और आनंद वे ईंधन थे जिन्होंने खोज की इस प्रक्रिया को बढ़ावा दिया। पॉल के अनुसार, एक समस्या समाधान योजना।
इस योजना के व्यवस्थित उपयोग से छात्र को अपनी सोच को व्यवस्थित करने में मदद मिलती है। किसी सहकर्मी या समूह के समाधान के साथ उसके मूल समाधान विचार का सामना करने से सीखने को बढ़ावा मिलता है, जिससे शिक्षक की भूमिका पर फिर से जोर दिया जाता है। त्रिकोणमिति के शुरुआती सबूत मिस्र और बेबीलोन दोनों में, संख्याओं के बीच और समान त्रिकोणों की भुजाओं के बीच संबंधों की गणना से सामने आए।
पाठ विषय
पाठ मकसद
- नई परिभाषाओं से परिचित हों और पहले से पढ़ी गई कुछ परिभाषाओं को याद रखें।
- ज्यामिति के बारे में अपना ज्ञान गहरा करें, उत्पत्ति के इतिहास का अध्ययन करें।
- व्यावहारिक गतिविधियों में त्रिभुजों के बारे में छात्रों के सैद्धांतिक ज्ञान को समेकित करना।
- छात्रों को मिस्र के त्रिकोण और निर्माण में इसके उपयोग से परिचित कराएं।
- समस्याओं को हल करते समय आकृतियों के गुणों को लागू करना सीखें।
- विकासात्मक - छात्रों का ध्यान, दृढ़ता, दृढ़ता, विकसित करना तर्कसम्मत सोच, गणितीय भाषण।
- शैक्षिक - पाठ के माध्यम से, एक-दूसरे के प्रति चौकस रवैया अपनाएं, साथियों को सुनने की क्षमता, पारस्परिक सहायता और स्वतंत्रता पैदा करें।
पाठ मकसद
- छात्रों की समस्या-समाधान कौशल का परीक्षण करें।
शिक्षण योजना
- शुरूवाती टिप्पणियां।
- यह याद रखना उपयोगी है.
- टोएगॉन.
शुरूवाती टिप्पणियां
क्या उन्हें पता था प्राचीन मिस्रगणित और ज्यामिति? वे न केवल इसे जानते थे, बल्कि वास्तुशिल्प उत्कृष्ट कृतियों का निर्माण करते समय और यहां तक कि... खेतों के वार्षिक अंकन के दौरान भी इसका लगातार उपयोग करते थे, जिसमें बाढ़ के पानी ने सभी सीमाओं को नष्ट कर दिया था। यहां तक कि सर्वेक्षणकर्ताओं की एक विशेष सेवा भी थी, जो पानी कम होने पर, ज्यामितीय तकनीकों का उपयोग करके, खेतों की सीमाओं को तुरंत बहाल कर देते थे।
एकेमिक पेपिरस गणित पर मिस्र का सबसे व्यापक दस्तावेज़ है जो आज तक जीवित है। जो मुंशी अहम्स के अधिकार में था। बेबीलोनियों को खगोल विज्ञान में बहुत रुचि थी, धार्मिक कारणों से और कैलेंडर तथा रोपण ऋतुओं से संबंध के कारण। माप और पैमाने की इकाइयों की प्रणाली, त्रिकोण के उपयोग के बिना चंद्रमा के चरणों, कार्डिनल बिंदुओं और वर्ष के मौसम का अध्ययन करना असंभव है।
इस अध्ययन को आगे दो भागों में विभाजित किया गया है: समतल त्रिकोणमिति और गोलाकार त्रिकोणमिति। त्रिकोणमिति का अनुप्रयोग विभिन्न क्षेत्रसटीक विज्ञान एक निर्विवाद तथ्य है। इस सत्य का ज्ञान हाई स्कूल के छात्रों के लिए मौलिक महत्व का है, और यह गणित शिक्षक की जिम्मेदारी है कि वह इस विषय को सर्वोत्तम संभव तरीके से कवर करे, जिससे भविष्य के लिए आवश्यक संबंध तैयार हो सके। पेशेवर चुनाव. वर्तमान में, त्रिकोणमिति त्रिभुजों के अध्ययन तक ही सीमित नहीं है। इसका अनुप्रयोग गणित के अन्य क्षेत्रों जैसे "विश्लेषण" और मानव प्रयास के अन्य क्षेत्रों जैसे बिजली, यांत्रिकी, ध्वनिकी, संगीत, स्थलाकृति, सिविल इंजीनियरिंग आदि तक फैला हुआ है।
यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि हम अपनी युवा पीढ़ी को क्या कहेंगे, जो कंप्यूटर पर बड़ी होती है जो हमें गुणन सारणी को याद नहीं करने देती है और हमारे दिमाग में अन्य प्राथमिक गणितीय गणना या ज्यामितीय निर्माण नहीं करने देती है। शायद मानव रोबोट या साइबोर्ग। यूनानियों ने उन लोगों को अज्ञानी कहा जो बाहरी मदद के बिना एक सरल प्रमेय साबित नहीं कर सके। इसलिए, इसमें कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि प्रमेय, जिसका व्यापक रूप से व्यावहारिक विज्ञान में उपयोग किया जाता था, जिसमें खेतों को चिह्नित करना या पिरामिड बनाना शामिल था, को प्राचीन यूनानियों द्वारा "गधों का पुल" कहा जाता था। और वे मिस्र के गणित को बहुत अच्छी तरह से जानते थे।
हालाँकि, यह ध्यान दिया गया है कि माध्यमिक विद्यालय के छात्रों द्वारा सामना की जाने वाली सबसे बड़ी कठिनाइयों में से एक, जैसा कि त्रिकोणमिति में चर्चा की गई है, सूत्रों को याद करने के तथ्य से संबंधित है। हालाँकि, याद न रखने पर परीक्षणों के दौरान अनुमान लगाने के लिए समय की आवश्यकता होगी, जिससे स्थिति असंभव हो जाएगी।
यहां हम ज्यामिति और विशेष रूप से त्रिकोणमिति से जुड़े कुछ बुनियादी संबंध और प्रमेय प्रस्तुत करते हैं। याद रखें कि कारण और, क्रमशः, साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा का प्रतिनिधित्व पहले से खोजे गए त्रिकोण के लिए मान्य हैं और एक नियम के रूप में, इसे सजाने या लेने की आवश्यकता नहीं है, इस प्रकार सूत्र को याद करने के बजाय अवधारणा का मूल्यांकन किया जाता है।
याद रखना उपयोगी
त्रिकोण
त्रिकोणसीधा, तीन सीधे खंडों (त्रिकोण की भुजाएं (ज्यामिति में)) से घिरा हुआ विमान का हिस्सा, प्रत्येक का जोड़े में एक सामान्य अंत होता है (त्रिकोण के शीर्ष (ज्यामिति में))। वह त्रिभुज कहलाता है जिसकी सभी भुजाओं की लंबाई बराबर होती है समभुज, या सही, दो बराबर भुजाओं वाला त्रिभुज - समद्विबाहु. त्रिकोण कहा जाता है तीव्र कोण, यदि इसके सभी कोण तीव्र हों; आयताकार- यदि इसका एक कोण समकोण है; कुंठित कोण- यदि इसका एक कोण अधिक कोण है। एक त्रिभुज (ज्यामिति में) में एक से अधिक समकोण या अधिक कोण नहीं हो सकते, क्योंकि तीनों कोणों का योग दो समकोण (180° या, रेडियन में, p) के बराबर होता है। त्रिभुज का क्षेत्रफल (ज्यामिति में) ah/2 के बराबर है, जहाँ a त्रिभुज की कोई एक भुजा है, जिसे इसका आधार माना जाता है, और h संगत ऊँचाई है। त्रिभुज की भुजाएँ निम्नलिखित शर्त के अधीन हैं: उनमें से प्रत्येक की लंबाई योग से कम है और अन्य दो भुजाओं की लंबाई के अंतर से अधिक है।
त्रिकोणमितीय अवधारणाओं का प्रमुख विकास त्रिकोणमितीय चक्र के उपयोग के बाद हुआ, जिसे पहले त्रिकोणमितीय वृत्त कहा जाता था। ये "समन्वय अक्ष हैं जिनमें माप की एक इकाई के रूप में निर्देशांक अक्षों के समन्वय केंद्र के साथ मेल खाने वाले उन्मुख वृत्त की त्रिज्या होती है।"
बेसल में पैदा हुए यूलर इतिहास के सबसे अच्छे और सबसे उत्पादक गणितज्ञों में से एक थे, और अपने उपर्युक्त योगदान के साथ वह त्रिकोणमितीय चक्र के लिए एकल बीम का उपयोग करने के लिए सहमत हुए। इस प्रकार, "जैसे-जैसे चक्र उन्मुख होता है, डिग्री का प्रत्येक माप चक्र में एक बिंदु के अनुरूप होगा।"
त्रिकोण- 3 शीर्षों (कोणों) और 3 भुजाओं वाला सबसे सरल बहुभुज; समतल का भाग तीन बिंदुओं और इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ने वाले तीन खंडों से घिरा है।
इस परिभाषा के साथ, कोई साइन, कोसाइन और टेंगेंट के लिए समान अवधारणाएं निम्नानुसार स्थापित कर सकता है। आइए चित्र को उस तरफ देखें जहां त्रिकोणमितीय वृत्त दर्शाया गया है। अर्थात्: एक समकोण त्रिभुज की कोज्या उसके कर्ण द्वारा विभाजित आसन्न पाद के बराबर होती है, कर्ण समकोण के विपरीत होता है।
याद रखें कि एक त्रिकोणमितीय वृत्त की त्रिज्या 1 है, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि चाप की ज्या और कोज्या वास्तविक संख्याएँ हैं जो वास्तविक अंतराल में -1 से भिन्न होती हैं। स्पर्शरेखा अक्ष पर अपनाया गया पैमाना भुज और कोटि अक्षों के समान है।
- अंतरिक्ष में तीन बिंदु जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं, एक और केवल एक ही तल के अनुरूप हैं।
- किसी भी बहुभुज को त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है - इस प्रक्रिया को कहा जाता है ट्राईऐन्ग्युलेशंस.
- गणित का एक खंड पूरी तरह से त्रिभुजों के नियमों के अध्ययन के लिए समर्पित है - त्रिकोणमिति.
त्रिभुजों के प्रकार
कोणों के प्रकार से
स्तनों के नियम के लिए निम्नलिखित प्रतिनिधित्व पर विचार करना। ऊपर बताए गए स्तन ग्रंथि के नियम से संबंधित अनुपात निम्नलिखित परिभाषा द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। कोसाइन कानून के लिए निम्नलिखित प्रतिनिधित्व दिया गया है। कोज्या के नियम के अनुसार, जैसा कि ऊपर दर्शाया गया है, एक त्रिभुज एक भुजा का कोई भी वर्ग माप है जो अन्य दो भुजाओं की मापों के वर्गों के योग के बराबर होता है, जिसमें कोज्या द्वारा इन भुजाओं की मापों के गुणनफल का दोगुना घटाया जाता है। वे जो कोण बनाते हैं।
इस अध्याय का उद्देश्य छात्रों की ओर से सीखने को सक्षम करने के लिए समस्याकरण, संदर्भ और ऐतिहासिक जांच के आधार पर त्रिकोणमिति सामग्री के लिए एक पाठ्यक्रम विकसित करना है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि यह समझा जाए कि प्रशिक्षण योजना क्या है एक आवश्यक शर्तकिसी भी सामग्री को पढ़ाकर शैक्षिक प्रक्रिया का मार्गदर्शन करने के लिए, यह जोर देता है, जैसा कि हम नीचे देखेंगे, सामग्री, उद्देश्य, योजना का विकास, सामग्री क्या होनी चाहिए और उस सामग्री का आकलन कैसे किया जाना चाहिए जिसे प्रशासित किया जाना चाहिए।
चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, त्रिभुज में कम से कम दो कोण न्यूनकोण (90° से कम) होने चाहिए। निम्नलिखित प्रकार के त्रिभुज प्रतिष्ठित हैं:
- यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण न्यूनकोण हों तो वह त्रिभुज न्यूनकोण कहलाता है;
- यदि त्रिभुज का एक कोण अधिक कोण (90° से अधिक) हो, तो त्रिभुज को अधिक कोण कहा जाता है;
- यदि किसी त्रिभुज का एक कोण समकोण (90° के बराबर) हो, तो त्रिभुज समकोण कहलाता है। समकोण बनाने वाली दो भुजाएँ पैर कहलाती हैं, और समकोण के विपरीत भुजा कर्ण कहलाती है।
समान भुजाओं की संख्या के अनुसार
विषयगत परियोजना के आधार पर, त्रिकोणमिति उभरी: समस्याकरण और संदर्भीकरण। ऐतिहासिक दृष्टिकोण का उपयोग करके और उसमें मौजूद भौतिक स्थान और आकृतियों की खोज करके विषय वस्तु त्रिकोणमिति को प्रासंगिक बनाएं पर्यावरण. छात्रों को त्रिकोणमिति की मूल बातें सीखने के अवसर प्रदान करें।
पहचानें कि यह कहां फैल रहा है और इसका क्या प्रभाव पड़ रहा है। छात्रों को व्याख्या समझने और समस्या समाधान की सुविधा के लिए तकनीकें प्रदान करें। सामग्री को ट्रैक करने के लिए डिज़ाइन की गई सामग्री के अनुसार त्रिकोणमिति सामग्री लागू की जाएगी, जो निम्नलिखित चरणों का पालन करेगी।
- स्केलीन त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाओं की लंबाई जोड़ीवार अलग-अलग होती है।
- समद्विबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। इन पक्षों को पार्श्व कहा जाता है, तीसरे पक्ष को आधार कहा जाता है। समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं। आधार से नीचे समद्विबाहु त्रिभुज की ऊंचाई, माध्यिका और समद्विभाजक समान होते हैं।
- समबाहु त्रिभुज वह होता है जिसकी तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं। एक समबाहु त्रिभुज में, सभी कोण 60° के बराबर होते हैं, और अंकित और परिचालित वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं।
शोध के संदर्भ में, इसे समूहों में किया जा सकता है और विषय के अनुसार विभाजित किया जा सकता है। प्रत्येक समूह की रचनात्मकता और रुचि के योग्य प्रस्तुति के माध्यम से समाजीकरण पूरा किया जा सकता है। प्रस्तुति के बाद, शिक्षक सामग्री के महत्व को प्राथमिकता देते हुए अपना प्लेसमेंट कर सकते हैं।
त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिभुजों का अध्ययन करती है, विशेषकर समतल में स्थित त्रिभुजों का, जहाँ त्रिभुज का एक कोण 90 डिग्री का होता है। यह विशेष रूप से त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंधों का भी अध्ययन करता है; त्रिकोणमितीय फलन और उन पर आधारित गणनाएँ। त्रिकोणमितीय दृष्टिकोण ज्यामिति के अन्य क्षेत्रों में अपना रास्ता बनाता है, जैसे गोलाकार त्रिकोणमिति का उपयोग करके गोले का अध्ययन।
- 3:4:5 के पक्षानुपात वाला एक समकोण त्रिभुज। इन संख्याओं का योग (3+4+5=12) प्राचीन काल से बहुलता की एक इकाई के रूप में उपयोग किया जाता रहा है जब इसकी लंबाई के 3/12 और 7/12 पर गांठों से चिह्नित रस्सी का उपयोग करके समकोण का निर्माण किया जाता है। मध्य युग की वास्तुकला में आनुपातिक योजनाएँ बनाने के लिए मिस्र के त्रिकोण का उपयोग किया गया था।
त्रिकोणमिति की उत्पत्ति अज्ञात है। त्रिभुज तीन भुजाओं और तीन कोणों वाली एक ज्यामितीय आकृति है। एक त्रिभुज बनाने के लिए, यदि वे संरेखित नहीं हैं तो बस सभी तीन बिंदुओं को खंडों से जोड़ दें। नीचे त्रिकोण हैं. एक ही बिंदु से जुड़ी दो रेखाओं द्वारा प्राप्त छिद्र को कोण कहा जाता है, जो अंतर्राष्ट्रीय होता है माप प्रणालीरेडियन, और डिग्री भी बहुत उपयोगी है. त्रिभुजों में उनके आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।
समकोण को एक प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। समकोण त्रिभुज में समकोण की विपरीत भुजा कर्ण कहलाती है। कुछ लेखकों का मानना है कि पाइथागोरस टेल्स, ईव का छात्र था, जब उसने कहा था कि "वह इससे पचास वर्ष छोटा था और मिलेटस के पास रहता था, जहाँ थेल्स रहते थे।" बॉयर का कहना है कि "हालांकि कुछ बयानों में दावा किया गया है कि पाइथागोरस टेल्स का छात्र था, लेकिन इससे उनकी उम्र के बीच मुश्किल से आधी सदी का अंतर पता चलता है।"
तो कहाँ से शुरू करें? क्या इसका कारण यह है: 3 + 5 = 8. और संख्या 4, संख्या 8 की आधी है। रुकें! अंक 3, 5, 8... क्या वे किसी बहुत परिचित चीज़ से मिलते जुलते नहीं हैं? खैर, निश्चित रूप से, वे सीधे सुनहरे अनुपात से संबंधित हैं और तथाकथित "गोल्डन सीरीज़" में शामिल हैं: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21
... इस श्रृंखला में, प्रत्येक अगला पद पिछले दो के योग के बराबर है: 1 + 1= 2. 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8
और इसी तरह। यह पता चला है कि मिस्र का त्रिकोण सुनहरे अनुपात से संबंधित है? और क्या प्राचीन मिस्रवासी जानते थे कि वे किसके साथ काम कर रहे थे? लेकिन आइए निष्कर्ष पर पहुंचने में जल्दबाजी न करें। अधिक जानकारी प्राप्त करना आवश्यक है।
कुछ लोगों के अनुसार, अभिव्यक्ति "गोल्डन रेशियो" पहली बार 15वीं शताब्दी में पेश की गई थी लियोनार्डो दा विंची
. लेकिन "गोल्डन सीरीज़" स्वयं 1202 में ज्ञात हुई, जब इतालवी गणितज्ञ ने पहली बार इसे अपनी "बुक ऑफ़ काउंटिंग" में प्रकाशित किया। पीसा के लियोनार्डो
. उपनाम फाइबोनैचि। हालाँकि, उनसे लगभग दो हज़ार साल पहले, स्वर्णिम अनुपात ज्ञात था पाइथागोरसऔर उसके छात्र. सच है, इसे अलग तरह से कहा जाता था, "औसत और चरम अनुपात में विभाजन।" लेकिन इसके साथ मिस्र का त्रिकोण "सुनहरा अनुपात" उन दूर के समय में जाना जाता था जब मिस्र में पिरामिड बनाए गए थेजब अटलांटिस फला-फूला।
मिस्र के त्रिभुज प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, ज्ञात लंबाई A-A1 (चित्र) के एक रेखाखंड का उपयोग करना आवश्यक है। यह एक पैमाने, माप की एक इकाई के रूप में काम करेगा, और आपको त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई निर्धारित करने की अनुमति देगा। तीन खंड A-A1 त्रिभुज BC की सबसे छोटी भुजा की लंबाई के बराबर हैं, जिसका अनुपात 3 है। और चार खंड A-A1 दूसरी भुजा की लंबाई के बराबर हैं, जिसका अनुपात संख्या 4 द्वारा व्यक्त किया गया है। और, अंत में, तीसरी भुजा की लंबाई पाँच खंड A-A1 के बराबर है। और फिर, जैसा कि वे कहते हैं, यह तकनीक का मामला है। कागज पर हम एक खंड BC बनाएंगे, जो त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा है। फिर, बिंदु B से अनुपात 5 वाले खंड के बराबर त्रिज्या के साथ, हम एक कम्पास के साथ एक गोलाकार चाप खींचते हैं, और बिंदु C से, अनुपात 4 के साथ खंड की लंबाई के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त का चाप खींचते हैं। यदि अब हम चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु को बिंदुओं बी और सी की रेखाओं से जोड़ते हैं, हमें एक समकोण त्रिभुज पहलू अनुपात 3:4:5 मिलता है।
क्यू.ई.डी.
मिस्र के त्रिकोण का उपयोग मध्य युग की वास्तुकला में आनुपातिक योजनाओं के निर्माण और सर्वेक्षणकर्ताओं और वास्तुकारों द्वारा समकोण बनाने के लिए किया जाता था। मिस्र का त्रिभुज हेरोनियन त्रिभुजों में सबसे सरल (और सबसे पहले ज्ञात) है - पूर्णांक भुजाओं और क्षेत्रफल वाले त्रिभुज।
मिस्र का त्रिकोण - पुरातनता का एक रहस्य
आप में से हर कोई जानता है कि पाइथागोरस एक महान गणितज्ञ थे जिन्होंने बीजगणित और ज्यामिति के विकास में अमूल्य योगदान दिया, लेकिन उन्होंने अपने प्रमेय के कारण और भी अधिक प्रसिद्धि प्राप्त की।
और पाइथागोरस ने मिस्र के त्रिकोण प्रमेय की खोज उस समय की जब वह मिस्र की यात्रा पर गए थे। इस देश में रहते हुए, वैज्ञानिक पिरामिडों की भव्यता और सुंदरता से मोहित हो गए। शायद यही वह प्रेरणा थी जिसने उन्हें इस विचार से अवगत कराया कि पिरामिडों के आकार में कुछ विशिष्ट पैटर्न स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं।
खोज का इतिहास
मिस्र के त्रिकोण को इसका नाम हेलेनेस और पाइथागोरस के कारण मिला, जो मिस्र में अक्सर मेहमान थे। और यह लगभग 7वीं-5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में हुआ था। ई.
चेप्स का प्रसिद्ध पिरामिड वास्तव में एक आयताकार बहुभुज है, लेकिन खफरे का पिरामिड मिस्र का पवित्र त्रिकोण माना जाता है।
जैसा कि प्लूटार्क ने लिखा है, मिस्र के निवासियों ने मिस्र के त्रिकोण की प्रकृति की तुलना पारिवारिक चूल्हे से की। उनकी व्याख्याओं में ऐसा सुनने को मिलता है ज्यामितीय आकृतिइसका ऊर्ध्वाधर पैर एक आदमी का प्रतीक था, आकृति का आधार उसी का था संज्ञा, और पिरामिड के कर्ण को एक बच्चे की भूमिका सौंपी गई।
और जिस विषय का आपने अध्ययन किया है, उससे आप अच्छी तरह से जानते हैं कि इस आंकड़े का पहलू अनुपात 3: 4: 5 है और इसलिए, यह हमें पाइथागोरस प्रमेय की ओर ले जाता है, क्योंकि 32 + 42 = 52 है।
और अगर हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि मिस्र का त्रिकोण खफरे पिरामिड के आधार पर स्थित है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि प्राचीन दुनिया के लोग प्रसिद्ध प्रमेय को पाइथागोरस द्वारा तैयार किए जाने से बहुत पहले से जानते थे।
मिस्र के त्रिभुज की मुख्य विशेषता संभवतः इसका अजीब पहलू अनुपात था, जो हेरोनियन त्रिभुजों में सबसे पहला और सबसे सरल था, क्योंकि दोनों भुजाएँ और इसका क्षेत्रफल पूर्णांक थे।
मिस्र के त्रिभुज की विशेषताएं
आइए अब करीब से देखें विशिष्ट विशेषताएंमिस्र का त्रिकोण:
पहला, जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, इसकी सभी भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांकों से मिलकर बने हैं;
दूसरे, पाइथागोरस प्रमेय से हम जानते हैं कि पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है;
तीसरा, ऐसे त्रिभुज की सहायता से आप अंतरिक्ष में समकोण माप सकते हैं, जो संरचनाओं का निर्माण करते समय बहुत सुविधाजनक और आवश्यक है। और सुविधा यह है कि हम जानते हैं कि यह त्रिभुज समकोण है।
चौथा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, भले ही कोई उपयुक्त माप उपकरण न हों, इस त्रिकोण का निर्माण एक साधारण रस्सी का उपयोग करके आसानी से किया जा सकता है।
मिस्र के त्रिकोण का अनुप्रयोग
प्राचीन शताब्दियों में, मिस्र का त्रिकोण वास्तुकला और निर्माण में बहुत लोकप्रिय था। यह विशेष रूप से आवश्यक था यदि समकोण बनाने के लिए रस्सी या रस्सी का उपयोग किया जाता था।
आख़िरकार, यह ज्ञात है कि अंतरिक्ष में समकोण बनाना काफी कठिन कार्य है, और इसलिए उद्यमशील मिस्रवासियों ने इसका आविष्कार किया दिलचस्प तरीकासमकोण का निर्माण. इन उद्देश्यों के लिए, उन्होंने एक रस्सी ली, जिस पर उन्होंने बारह सम भागों को गांठों से चिह्नित किया और फिर इस रस्सी से एक त्रिकोण बनाया, जिसकी भुजाएँ 3, 4 और 5 भागों के बराबर थीं और अंत में, बिना किसी समस्या के, उन्हें मिल गया एक समकोण त्रिभुज. ऐसे जटिल उपकरण की बदौलत, मिस्रवासियों ने कृषि कार्य के लिए बड़ी सटीकता से भूमि को मापा, घर और पिरामिड बनाए।
इस तरह मिस्र की यात्रा और मिस्र के पिरामिड की विशेषताओं के अध्ययन ने पाइथागोरस को अपने प्रमेय की खोज करने के लिए प्रेरित किया, जो, वैसे, गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में उस प्रमेय के रूप में शामिल किया गया था जिसके पास सबसे बड़ी मात्रा में सबूत हैं।
त्रिकोणीय रेउलेक्स पहिए
पहिया- एक गोल (एक नियम के रूप में), स्वतंत्र रूप से घूमने वाली या धुरी डिस्क पर तय की गई, जिससे उस पर रखे गए शरीर को स्लाइड के बजाय रोल करने की अनुमति मिलती है। पहिये का व्यापक रूप से विभिन्न तंत्रों और उपकरणों में उपयोग किया जाता है। माल परिवहन के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
पहिया अपेक्षाकृत सपाट सतह पर भार को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा को काफी कम कर देता है। पहिये का उपयोग करते समय, रोलिंग घर्षण बल के विरुद्ध कार्य किया जाता है, जो कृत्रिम सड़क स्थितियों में स्लाइडिंग घर्षण बल से काफी कम होता है। पहिए ठोस हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, रेलवे गाड़ी का एक पहिया जोड़ा) और इसमें काफी बड़ी संख्या में हिस्से शामिल होते हैं, उदाहरण के लिए, एक कार के पहिये में एक डिस्क, रिम, टायर, कभी-कभी एक ट्यूब, बन्धन बोल्ट आदि शामिल होते हैं। कार के टायर घिसने की समस्या लगभग हल हो गई है (यदि पहिए के कोण सही ढंग से सेट किए गए हैं)। आधुनिक टायर 100,000 किमी से अधिक की यात्रा करें. हवाई जहाज के पहियों पर टायरों का घिसना एक अनसुलझी समस्या है। जब एक स्थिर पहिया कई सौ किलोमीटर प्रति घंटे की गति से रनवे की कंक्रीट सतह के संपर्क में आता है, तो टायर बहुत घिस जाता है।
- जुलाई 2001 में, निम्नलिखित शब्दों के साथ पहिये के लिए एक अभिनव पेटेंट प्राप्त हुआ था: "माल परिवहन के लिए इस्तेमाल किया जाने वाला एक गोल उपकरण।" यह पेटेंट मेलबर्न के एक वकील जॉन काओ को जारी किया गया था, जो ऑस्ट्रेलियाई पेटेंट कानून की खामियों को दिखाना चाहते थे।
- 2009 में, फ्रांसीसी कंपनी मिशेलिन ने बड़े पैमाने पर उत्पादित कार व्हील, एक्टिव व्हील विकसित किया, जिसमें बिल्ट-इन इलेक्ट्रिक मोटरें थीं जो व्हील, स्प्रिंग, शॉक एब्जॉर्बर और ब्रेक को चलाती हैं। इस प्रकार, ये पहिये निम्नलिखित वाहन प्रणालियों को अनावश्यक बनाते हैं: इंजन, क्लच, गियरबॉक्स, डिफरेंशियल, ड्राइव और ड्राइव शाफ्ट।
- 1959 में, अमेरिकी ए. सफ़्रेड को एक वर्गाकार पहिये के लिए पेटेंट प्राप्त हुआ। यह आसानी से बर्फ, रेत, कीचड़ और छिद्रों पर काबू पा लेता है। डर के विपरीत, ऐसे पहियों पर कार "लंगड़ी" नहीं होती थी और 60 किमी/घंटा तक की गति तक पहुंच जाती थी।
फ्रांज रेलो(फ्रांज़ रेउलेक्स, 30 सितंबर, 1829 - 20 अगस्त, 1905) - जर्मन मैकेनिकल इंजीनियर, बर्लिन रॉयल एकेडमी ऑफ टेक्नोलॉजी में व्याख्याता, जो बाद में इसके अध्यक्ष बने। पहला, 1875 में, तंत्र की संरचना और गतिकी के बुनियादी सिद्धांतों को विकसित और रेखांकित करने के लिए; तकनीकी वस्तुओं, औद्योगिक डिजाइन के सौंदर्यशास्त्र की समस्याओं से निपटा और अपने डिजाइनों को बहुत महत्व दिया बाह्य रूपकारें रेउलेक्स को अक्सर किनेमेटिक्स का जनक कहा जाता है।
प्रश्न
- त्रिभुज क्या है?
- त्रिभुजों के प्रकार?
- मिस्र के त्रिकोण के बारे में क्या खास है?
- मिस्र के त्रिभुज का प्रयोग कहाँ किया जाता है?
