Как решать примеры с алгебраическими дробями. Преобразование рациональных (алгебраических) дробей: виды преобразований, примеры
§ 1 Понятие алгебраической дроби
Алгебраической дробью называют выражение
где Р и Q —многочлены; Р — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.
Вот примеры алгебраических дробей:
Любой многочлен - это частный случай алгебраической дроби, потому что любой многочлен можно записать в виде
Например:
Значение алгебраической дроби зависит от значения переменных.
Например, вычислим значение дроби
1)
2)
В первом случае получаем:
Заметим, данную дробь можно сократить:
Таким образом, вычисление значения алгебраической дроби упрощается. Воспользуемся этим.
Во втором случае получим:
Как видно, с изменением значений переменных изменилось значение алгебраической дроби.
§ 2 Допустимые значения переменных алгебраической дроби
Рассмотрим алгебраическую дробь
Значение x = -1 является недопустимым для данной дроби, т.к. знаменатель дроби при таком значении х обращается в нуль. При этом значении переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.
Таким образом, допустимыми значениями переменных алгебраической дроби являются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.
Решим несколько примеров.
При каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь:
Для нахождения недопустимых значений переменных знаменатель дроби приравнивается к нулю, и находятся корни соответствующего уравнения.
При каких значениях переменной равна нулю алгебраическая дробь:
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Приравняем к нулю числитель нашей дроби и найдем корни получившегося уравнения:
Таким образом, при x = 0 и x= 3 данная алгебраическая дробь не имеет смысла, а значит, мы должны исключить эти значения переменной из ответа.
Итак, на этом уроке Вы изучили основные понятия алгебраической дроби: числитель и знаменатель дроби, а также допустимые значения переменных алгебраической дроби.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1 Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215 с.: ил.
- Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2 Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006 – 239с.
- Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2009. - 40с.
- Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина 2013. - 112с.
В этой статье мы рассмотрим основные действия с алгебраическими дробями :
- сокращение дробей
- умножение дробей
- деление дробей
Начнем с сокращения алгебраических дробей .
Казалось бы, алгоритм очевиден.
Чтобы сократить алгебраические дроби , нужно
1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.
2. Сократить одинаковые множители.
Однако, школьники часто делают ошибку, "сокращая" не множители, а слагаемые. Например, есть любители, которые в дроби "сокращают" на и получают в результате , что, разумеется, неверно.
Рассмотрим примеры:
1.
Сократить дробь: 
1. Разложим на множители числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель по формуле разности квадратов
2. Разделим числитель и знаменатель на
2.
Сократить дробь: 
1. Разложим на множители числитель. Так как числитель содержит четыре слагаемых, применим группировку.
2. Разложим на множители знаменатель. Так же применим группировку.
3. Запишем дробь, которая у нас получилась и сократим одинаковые множители:
Умножение алгебраических дробей.
При умножении алгебраических дробей мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.
Важно!
Не нужно торопиться выполнять умножение в числителе и знаменателе дроби. После того, как мы записали в числителе произведение числителей дробей, а в знаменателе - произведение знаменателей, нужно разложить на множители каждый множитель и сократить дробь.
Рассмотрим примеры:
3. Упростите выражение:
1. Запишем произведение дробей: в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей:
2. Разложим каждую скобку на множители:
Теперь нам нужно сократить одинаковые множители. Заметим, что выражения и отличаются только знаком:
и в результате деления первого выражения на второе получим -1.
Итак, 
Деление алгебраических дробей мы выполняем по такому правилу:
То есть чтобы разделить на дробь, нужно умножить на "перевернутую".
Мы видим, что деление дробей сводится к умножению, а умножение, в конечном итоге, сводится к сокращению дробей.
Рассмотрим пример:
4. Упростите выражение:
После полученных начальных сведений о дробях перейдем к действиям с алгебраическими дробями. С ними можно выполнять любые действия вплоть до возведения в степень. При их выполнении мы в итоге получаем алгебраическую дробь. Все пункты необходимо разбирать последовательно.
Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями. Поэтому стоит отметить, что правила являются совпадающими при любых выполняемых с ними действиями.
Сложение алгебраических дробей
Сложение может выполняться в двух случаях: при одинаковых знаменателях, при наличии разных знаменателей.
Если необходимо произвести сложение дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить числители, а знаменатель оставить без изменения. Это правило позволяет воспользоваться сложением дробей и многочленов, которые находятся в числителях. Получим, что
a 2 + a · b a · b - 5 + 2 · a · b + 3 a · b - 5 + 2 · b 4 - 4 a · b - 5 = a 2 + a · b + 2 · a · b + 3 + 2 · b 4 - 4 a · b - 5 = = a 2 + 3 · a · b - 1 + 2 · b 4 a · b - 5
Если имеются числители дроби с разными числителями, тогда необходимо применить правило: воспользоваться приведением к общему знаменателю, выполнить сложение полученных дробей.
Пример 1
Нужно произвести сложение дробей x x 2 - 1 и 3 x 2 - x
Решение
Приводим к общему знаменателю вида x 2 x · x - 1 · x + 1 и 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) .
Выполним сложение и получим, что
x 2 x · (x - 1) · (x + 1) + 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) = x 2 + 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) = x 2 + 3 · x + 3 x 3 - x
Ответ: x 2 + 3 · x + 3 x 3 - x
Статья о сложении и вычитании таких дробей имеет подробную информацию, где подробно описано каждое действие, производимое над дробями. При выполнении сложения возможно появление сократимой дроби.
Вычитание
Вычитание выполняется аналогично сложению. При одинаковых знаменателях действия выполняются только в числителе, знаменатель остается неизменным. При различных знаменателях выполняется приведение к общему. Только после этого можно приступать к вычислениям.
Пример 2
Перейдем к вычитанию дробей a + 5 a 2 + 2 и 1 - 2 · a 2 + a a 2 + 2 .
Решение
Видно, что знаменатели идентичны, что означает a + 5 a 2 + 2 - 1 - 2 · a 2 + a a 2 + 2 = a + 5 - (1 - 2 · a 2 + a) a 2 + 2 = 2 · a 2 + 4 a 2 + 2 .
Произведем сокращение дроби 2 · a 2 + 4 a 2 + 2 = 2 · a 2 + 2 a 2 + 2 = 2 .
Ответ: 2
Пример 3
Выполним вычитание 4 5 · x и 3 x - 1 .
Решение
Знаменатели разные, поэтому приведем к общему 5 · x · (x - 1) , получаем 4 5 · x = 4 · x - 1 5 · x · (x - 1) = 4 · x - 4 5 · x · (x - 1) и 3 x - 1 = 3 · 5 · x (x - 1) · 5 · x = 15 · x 5 · x · (x - 1) .
Теперь выполним
4 5 · x - 3 x - 1 = 4 · x - 4 5 · x · (x - 1) - 15 · x 5 · x · (x - 1) = 4 · x - 4 - 15 · x 5 · x · (x - 1) = = - 4 - 11 · x 5 · x · (x - 1) = - 4 - 11 · x 5 · x 2 - 5 · x
Ответ: - 4 - 11 · x 5 · x 2 - 5 · x
Детальная информация указана в статье о сложении и вычитании алгебраических дробей.
Умножение алгебраических дробей
С дробями можно производить умножение аналогичное умножению обыкновенных дробей: для того, чтобы умножить дроби, необходимо произвести умножение числителей и знаменателей отдельно.
Рассмотрим пример такого плана.
Пример 4
При умножении 2 x + 2 на x - x · y y из правила получаем, что 2 x + 2 · x - x · y y = 2 · (x - x · y) (x + 2) · y .
Теперь необходимо выполнить преобразования, то есть умножить одночлен на многочлен. Получаем, что
2 · x - x · y (x + 2) · y = 2 · x - 2 · x · y x · y + 2 · y
Предварительно следует произвести разложение дроби на многочлены для того, чтобы упростить дробь. После можно производить сокращение. Имеем, что
2 · x 3 - 8 · x 3 · x · y - y · 6 · y 5 x 2 + 2 · x = 2 · x · (x - 2) · (x + 2) y · (3 · x - 1) · 6 · y 5 x · (x + 2) = = 2 · x · (x - 2) · (x + 2) · 6 · y 5 y · (3 · x - 1) · x · x + 2 = 12 · (x - 2) · y 4 3 · x - 1 = 12 · x · y 4 - 24 · y 4 3 · x - 1
Подробное рассмотрение данного действия можно найти в статье умножения и деления дробей.
Деление
Рассмотрим деление с алгебраическими дробями. Применим правило: для того, чтобы разделить дроби, необходимо первую умножить на обратную вторую.
Дробь, которая обратная данной считается дробь с поменянными местами числителем и знаменателем. То есть, эта дробь называется взаимообратной.
Рассмотрим пример.
Пример 5
Выполнить деление x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y .
Решение
Тогда обратная 2 · x 3 · y дробь запишется как 3 · y 2 · x . Значит, получим, что x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y = x 2 - x · y 9 · y 2 · 3 · y 2 · x = x · x - y · 3 · y 9 · y 2 · 2 · x = x - y 6 · y .
Ответ: x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y = x - y 6 · y
Возведение алгебраической дроби в степень
Если имеется натуральная степень, тогда необходимо применять правило действий с возведением в натуральную степень. При таких вычислениях используем правило: при возведении в степень нужно числитель и знаменатель отдельно возводить в степени, после чего записать результат.
Пример 6
Рассмотрим на примере дроби 2 · x x - y . Если необходимо возвести ее в степень равную 2 , тогда выполняем действия: 2 · x x - y 2 = 2 · x 2 (x - y) 2 . После чего возводим в степень получившийся одночлен. Выполнив действия, получим, что дроби примет вид 4 · x 2 x 2 - 2 · x · y + y 2 .
Детальное решение подобных примеров рассматривается в статье про возведение алгебраической дроби в степень.
При работе со степенью дроби необходимо помнить, что числитель и знаменатель отдельно возводятся в степень. Это заметно упрощает процесс решения и дальнейшего упрощения дроби. Стоит обращать внимание и на знак перед степенью. Если имеется знак «минус», то такую дробь следует переворачивать для простоты вычисления.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В § 42 было сказано, что если деление многочленов нельзя выполнить нацело, то частное записывается в виде дробного выражения, в котором делимое является числителем, а делитель - знаменателем.
Примеры дробных выражений:
Числитель и знаменатель дробного выражения и сами могут быть дробными выражениями, например:
Из дробных алгебраических выражений наиболее часто приходится иметь дело с такими, в которых числитель и знаменатель являются многочленами (в частности, и одночленами). Каждое такое выражение называется алгебраической дробью.
Определение. Алгебраическое выражение, представляющее собой дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены, называется алгебраической дробью.
Как и в арифметике, числитель и знаменатель алгебраической дроби называются членами дроби.
В дальнейшем, изучив действия над алгебраическими дробями, мы сможем всякое дробное выражение при помощи тождественных преобразований преобразовать в алгебраическую дробь.
Примеры алгебраических дробей:
Заметим, что целое выражение, то есть многочлен, можно записать в виде дроби, для этого достаточно записать в числителе данное выражение, а в знаменателе 1. Например:
2. Допустимые значения букв.
Буквы, входящие только в числитель, могут принимать любые значения (если не введены какие-либо дополнительные ограничения условием задачи).
Для букв же, входящих в знаменатель, допустимыми являются только те значения, которые не обращают в нуль знаменатель. Поэтому в дальнейшем всегда будем считать, что знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.
Тема: Повторение курса алгебры 8-ого класса
Урок: Алгебраические дроби
Для начала давайте вспомним, что же такое алгебраические дроби. Алгебраической дробью называют выражение вида , где - многочлены, - числитель, - знаменатель.
Поскольку - многочлены, то необходимо иметь в виду стандартные действия, возможные с многочленами, а именно: приведение к стандартному виду, разложение на множители, а также сокращение числителя и знаменателя.
Пример №1
Сократите дробь
Воспользуемся формулами сокращённого умножения для квадрата суммы и разности квадратов.
Комментарии: вначале мы разложили дробь на множители с помощью формул сокращённого умножения, а дальше воспользовались одним из основных свойств дроби: и числитель, и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен, в том числе число, который не равен 0. Таким образом получается, что мы и числитель, и знаменатель разделили на многочлен , поэтому обязательно необходимо учесть, что этот многочлен не равен 0, т. е. .
Пример №2
Из условия нам пока не ясно, какая связь между этими двумя функциями. Для этого нам необходимо упростить первую из них методом разложения на множители.
однако необходимо не забыть про условие сокращения дроби, т. е. про то, что
После всех сокращений мы получаем, что
лишь с тем отличием, что 
.
Построим график двух функций.
Мы видим яркое различие этих двух графиков: по сути они одинаковы, но на первом графике нам необходимо выколоть точку с координатой (1;0), поскольку эта точна не входит в ОДЗ первой функции.
Итого, мы с вами рассмотрели, что такое дробь, решили пару примеров о том, как важно следить за областью определения (областью допустимых значений), т. е. за теми значениями, которые может принимать .
Теперь перейдём к вопросу, какие действия можно производить с алгебраическими дроями, помимо тех, которые уже были упомянуты выше.
Естественно, алгебраические дроби, как и арифметические дроби, можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, получая при этом рациональные алгебраические выражения (такие выражения, которые составлены из чисел, переменных с помощью арифметических операций и возведения в натуральную степень ). После определённых упрощений подобные выражения сводятся к дробям, для которых исходными выражениями также являются алгебраические дроби.
Список действий / условий, с которыми можно столкнуться, решая задачи на алгебраические дроби:
Упростить рациональные выражения
Доказать тождества
Решать рациональное уравнение
Упростить/вычислить дробь
Пример №3
Решить простейшее рациональное уравнение
Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. В нашем случае знаменатель равен . Значит, решение дроби сводится к линейному уравнению
Пример №4
Решить уравнение 
В первую очередь попытаемся сократить дробь
При условии, что .
Поскольку мы уже упростили дробь в левой части исходного уравнения, то можем подставить новое значение и решить уравнение.
Теперь давайте попробуем выделить полный квадрат из полученного квадратного уравнения
Воспользуемся формулой сокращённого умножения для разности квадратов
Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. К тому же не забываем, что в начале у нас появилось условие существования нашего выражения в виде . Запишем же систему уравнений.
=> => Мы видим, что противоречит нашему условию, что , поэтому у нас остаётся только один ответ .
Итак, посмотрим на особенности, которые имеет решённый нами выше пример:
1. Числитель с разностью кубов и знаменатель желательно сократить сразу, поскольку это возможно в данном случае и сильно упростит дальнейшее решение уравнения, однако обязательно нужно помнить о том, что знаменатель дроби не может равняться, 0 и записать это условие.
2. Приведя дробь к квадратному уравнению, мы вспомнили один из методов решения квадратных уравнений - метод выделения полного квадрата.
Мы с вами на данном уроке вспомнили, что такое алгебраическая дробь, какие действия необходимо производить с числителем и знаменателем при решении таких дробей, какие действия в общем можно производить с дробями такого вида и решили несколько простых задач.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. - М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.
- Вся элементарная математика ().
- Школьный помощник ().
- Интернет-портал Testmath.com.ua ().
Домашнее задание
