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कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व। "कॉम्बिनेटरिक्स" विषय पर गणित पर प्रस्तुति कॉम्बिनेटरिक्स प्रस्तुति के तत्व

  • कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जो इस सवाल का अध्ययन करती है कि दी गई वस्तुओं से कुछ शर्तों के अधीन कितने अलग-अलग संयोजन बनाए जा सकते हैं।
  • शब्द "कॉम्बिनेटरिक्स" लैटिन शब्द "कॉम्बिनारे" से आया है, जिसका रूसी में अनुवाद "गठबंधन", "जुड़ना" है।
  • "कॉम्बिनेटरिक्स" शब्द की शुरुआत विश्व प्रसिद्ध जर्मन वैज्ञानिक, प्रसिद्ध गॉटफ्राइड विल्हेम लाइबनिज द्वारा की गई थी।
  • कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है,
  • जिसका ज्ञान विभिन्न विशिष्टताओं के प्रतिनिधियों के लिए आवश्यक है। भौतिकविदों, रसायनज्ञों, जीवविज्ञानियों, भाषाविदों, कोड विशेषज्ञों आदि को संयोजन संबंधी समस्याओं से जूझना पड़ता है।
  • संयुक्त विधियाँ कई सैद्धांतिक समस्याओं के समाधान का आधार हैं
  • संभाव्यताएं और
  • इसके अनुप्रयोग.
  • काव्य छंदों में लंबे और छोटे अक्षरों के विभिन्न संयोजनों की संख्या की गणना की, चित्रांकित संख्याओं के सिद्धांत का अध्ययन किया, उन आकृतियों का अध्ययन किया जो भागों से बनाई जा सकती हैं, आदि।
  • समय के साथ, विभिन्न खेल सामने आए हैं
  • (बैकगैमौन, कार्ड, चेकर्स, शतरंज, आदि)
  • इनमें से प्रत्येक खेल में, आंकड़ों के विभिन्न संयोजनों पर विचार किया जाना था, और विजेता वह था जिसने उनका बेहतर अध्ययन किया, जीतने वाले संयोजनों को जानता था और जानता था कि संयोजनों को खोने से कैसे बचा जाए।
  • गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ (07/1/1646 - 11/14/1716)
  • जर्मन वैज्ञानिक जी. लीबनिज 1666 में प्रकाशित अपने काम "ऑन द आर्ट ऑफ कॉम्बिनेटरिक्स" में कॉम्बिनेटरिक्स को गणित की एक स्वतंत्र शाखा के रूप में मानने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने पहली बार "कॉम्बिनेटरिक्स" शब्द भी गढ़ा।
  • लियोनहार्ड यूलर(1707-1783)
  • संख्याओं के विभाजन, मिलान, चक्रीय व्यवस्था, जादू और लैटिन वर्गों के निर्माण के बारे में समस्याओं पर विचार किया, अनुसंधान के एक पूरी तरह से नए क्षेत्र की नींव रखी, जो बाद में एक बड़े और महत्वपूर्ण विज्ञान - टोपोलॉजी में विकसित हुआ, जो अध्ययन करता है सामान्य गुणस्थान और आंकड़े.
यदि किसी वस्तु A को m तरीकों से चुना जा सकता है, और किसी अन्य वस्तु B को n तरीकों से चुना जा सकता है, तो "या तो A या B" का चुनाव (m+n) तरीकों से किया जा सकता है।
  • यदि किसी वस्तु A को m तरीकों से चुना जा सकता है, और किसी अन्य वस्तु B को n तरीकों से चुना जा सकता है, तो "या तो A या B" का चुनाव (m+n) तरीकों से किया जा सकता है।
  • योग नियम का उपयोग करते समय, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि ऑब्जेक्ट ए को चुनने की कोई भी विधि ऑब्जेक्ट बी को चुनने की किसी भी विधि से मेल नहीं खाती है।
  • यदि ऐसे मिलान हैं, तो योग नियम अब मान्य नहीं है, और हमें केवल (एम + एन - के) चयन विधियां मिलती हैं, जहां के मिलान की संख्या है।
बॉक्स में 10 गेंदें हैं: 3 सफेद, 2 काली, 1 नीली और 4 लाल। आप डिब्बे से रंगीन गेंद कितने तरीकों से निकाल सकते हैं?
  • बॉक्स में 10 गेंदें हैं: 3 सफेद, 2 काली, 1 नीली और 4 लाल। आप डिब्बे से रंगीन गेंद कितने तरीकों से निकाल सकते हैं?
  • समाधान:
  • एक रंगीन गेंद या तो नीली या लाल होती है, इसलिए हम योग नियम लागू करते हैं:
यदि वस्तु A का चयन m तरीकों से किया जा सकता है और यदि ऐसी प्रत्येक पसंद के बाद वस्तु B का चयन n तरीकों से किया जा सकता है, तो निर्दिष्ट क्रम में जोड़ी (A, B) का चयन mn तरीकों से किया जा सकता है।
  • यदि वस्तु A का चयन m तरीकों से किया जा सकता है और यदि ऐसी प्रत्येक पसंद के बाद वस्तु B का चयन n तरीकों से किया जा सकता है, तो निर्दिष्ट क्रम में जोड़ी (A, B) का चयन mn तरीकों से किया जा सकता है।
  • इस मामले में, दूसरे तत्व को चुनने के तरीकों की संख्या इस बात पर निर्भर नहीं करती कि पहला तत्व वास्तव में कैसे चुना गया है।
सिक्कों के कितने भिन्न संयोजन हो सकते हैं?
  • सिक्कों के कितने भिन्न संयोजन हो सकते हैं?
  • दो पासे फेंकते समय पक्ष?
  • समाधान:
  • पहले पासे में: 1,2,3,4,5 और 6 अंक हो सकते हैं, यानी। 6 विकल्प.
  • दूसरे में 6 विकल्प हैं.
  • कुल: 6*6=36 विकल्प।
  • योग और उत्पाद नियम किसी भी संख्या में वस्तुओं के लिए सत्य हैं।
नंबर 1. शहर A से शहर B तक जाने वाली 6 सड़कें हैं, और शहर B से शहर C तक जाने वाली 3 सड़कें हैं। आप शहर A से शहर C तक कितने तरीकों से यात्रा कर सकते हैं?
  • नंबर 1. शहर A से शहर B तक जाने वाली 6 सड़कें हैं, और शहर B से शहर C तक जाने वाली 3 सड़कें हैं। आप शहर A से शहर C तक कितने तरीकों से यात्रा कर सकते हैं?
  • नंबर 2. बुकशेल्फ़ पर बीजगणित पर 3, ज्यामिति पर 7 और साहित्य पर 2 पुस्तकें हैं। आप शेल्फ से गणित की एक किताब कितने तरीकों से ले सकते हैं?
  • नंबर 3। मेनू में 4 प्रथम पाठ्यक्रम, 3 मुख्य पाठ्यक्रम और 2 मिठाइयाँ हैं। आप उनसे कितने अलग-अलग लंच बना सकते हैं?
  • "एन फैक्टोरियल" -एन!
  • परिभाषा।
  • क्रमागत प्रथम n का गुणनफल
  • प्राकृत संख्याओं को n द्वारा निरूपित किया जाता है! और कॉल करें
  • "एन फैक्टोरियल": एन!=1 2 3… (एन-1) एन।
  • 1 2 3=
  • 1 2 3 4=
  • 1 2 3 4 5=
  • 1 2 3 4 5 6=
  • 1 2 3 4 5 6 7=
  • n!=(n-1)! एन
  • सुविधाजनक सूत्र!!!
एन-तत्वों के संयोजन जो केवल तत्वों के प्रकट होने के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, क्रमपरिवर्तन कहलाते हैं।
  • एन-तत्वों के संयोजन जो केवल तत्वों के प्रकट होने के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, क्रमपरिवर्तन कहलाते हैं।
  • पीएन द्वारा नामित
  • पुनर्व्यवस्था
  • संख्या 1, 5, 9 से तीन अंकों की एक संख्या बनाएं
  • अंकों को दोहराए बिना एक संख्या।
  • 2 संयोजन
  • 2 संयोजन
  • 2 संयोजन
  • कुल 2 3=6 संयोजन।
K में n-तत्वों के संयोजन, संरचना और क्रम में एक दूसरे से भिन्न, प्लेसमेंट कहलाते हैं।
  • K में n-तत्वों के संयोजन, जो संरचना और क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, प्लेसमेंट कहलाते हैं।
  • प्लेसमेंट
द्वारा n-तत्वों का संयोजन को को.
  • द्वारा n-तत्वों का संयोजन को, जो केवल तत्वों की संरचना में भिन्न होते हैं, के अनुसार n-तत्वों का संयोजन कहलाते हैं को.
  • युग्म
20 छात्रों में से आपको दो ड्यूटी ऑफिसर चुनने होंगे।
  • 20 छात्रों में से आपको दो ड्यूटी ऑफिसर चुनने होंगे।
  • यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?
  • समाधान:
  • आपको 20 में से दो लोगों को चुनना होगा।
  • यह स्पष्ट है कि कुछ भी पसंद के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात,
  • इवानोव - पेत्रोव या पेत्रोव - इवानोव एक है
  • और परिचारकों की वही जोड़ी। इसलिए, ये 20 बटा 2 का संयोजन होगा।
1. शब्द खंड के अक्षरों से कितने शब्द बनाए जा सकते हैं यदि शब्दों में शामिल होना चाहिए: 8 अक्षर; 7 अक्षरों का; 3 अक्षरों का?
  • 1. शब्द खंड के अक्षरों से कितने शब्द बनाए जा सकते हैं यदि शब्दों में शामिल होना चाहिए: 8 अक्षर; 7 अक्षरों का; 3 अक्षरों का?
  • 2. छात्र को दस दिनों के भीतर 4 परीक्षाएं उत्तीर्ण करनी होंगी। आप कितने तरीकों से उसकी परीक्षाएँ निर्धारित कर सकते हैं?
  • 3. आठ व्यक्तियों में से पाँच सदस्यों वाला आयोग कितने तरीकों से चुना जा सकता है?
  • 4. ऐसी कितनी अलग-अलग लाइसेंस प्लेटें हैं जिनमें 5 अंक होते हैं यदि पहला शून्य नहीं है? यदि संख्या में एक अक्षर के बाद चार गैर-शून्य अंक हों तो क्या होगा?
  • 5. ठेकेदार को 4 बढ़ई की आवश्यकता है, और 10 ने अपनी सेवाओं की पेशकश के साथ उससे संपर्क किया है, वह कितने तरीकों से उनमें से चार को चुन सकता है?
  • 6. एक शेल्फ पर सात किताबें कितने तरीकों से रखी जा सकती हैं?
  • 7. 10 अलग-अलग अक्षरों का उपयोग करके कितने 5-अक्षर वाले शब्द बनाए जा सकते हैं।
  • 8. आप कितने तरीकों से सात सेब, चार नींबू और नौ संतरे में से कई फल चुन सकते हैं? (एक ही प्रकार के फल अप्रभेद्य माने जाते हैं।)

अलग-अलग स्लाइडों द्वारा प्रस्तुतिकरण का विवरण:

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कॉम्बिनेटरिक्स मिचुरिंस्क बोल्शकोवा डी., शचरबिनिना एम. शिक्षक दुखनिना ओ.एस. के एमबीओयू सेकेंडरी स्कूल नंबर 7 के छात्रों द्वारा तैयार किया गया।

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शोध की प्रगति: कॉम्बिनेटरिक्स क्या है कॉम्बिनेटरिक्स के उद्भव और विकास के लिए प्रेरणा क्या थी जहां मानव व्यावहारिक गतिविधि में कॉम्बिनेटरिक्स पाया जाता है उद्देश्य समाजशास्त्रीय सर्वेक्षण निष्कर्ष

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कॉम्बिनेटरिक्स क्या है? कॉम्बिनेटरिक्स गणित की एक शाखा है जो इस सवाल का अध्ययन करती है कि दी गई वस्तुओं से कुछ शर्तों के अधीन कितने अलग-अलग संयोजन बनाए जा सकते हैं। शब्द "कॉम्बिनेटरिक्स" को गणितीय उपयोग में लाइबनिज़ द्वारा पेश किया गया था, जिन्होंने 1666 में अपना काम "संयोजन की कला पर प्रवचन" प्रकाशित किया था। कॉम्बिनेटरिक्स (लैटिन कॉम्बिनारे से) का अर्थ है "जुड़ना, गठबंधन करना।"

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कॉम्बिनेटरिक्स का उद्भव चेकर्स, शतरंज, डोमिनोज़, कार्ड, पासा आदि जैसे खेलों के संबंध में कॉम्बिनेटरी समस्याएं भी उत्पन्न हुईं। प्राचीन काल में लोगों को कॉम्बिनेटर समस्याओं का सामना करना पड़ा। प्राचीन चीन में वे संकलन के शौकीन थे जादुई वर्ग. प्राचीन ग्रीस में उन्होंने अंकित संख्याओं के सिद्धांत का अध्ययन किया। प्राचीन ग्रीस में, उन्होंने काव्य मीटरों में लंबे और छोटे अक्षरों के विभिन्न संयोजनों की संख्या की गणना की, अनुमानित संख्याओं के सिद्धांत का अध्ययन किया, उन आंकड़ों का अध्ययन किया जो भागों से बनाए जा सकते थे, आदि।

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कॉम्बिनेटरिक्स का उद्भव लंबे समय तक, राजनयिकों ने, पत्राचार की गोपनीयता के लिए प्रयास करते हुए, जटिल सिफर का आविष्कार किया, और अन्य राज्यों की गुप्त सेवाओं ने इन सिफर को सुलझाने की कोशिश की। संयोजक सिद्धांतों पर आधारित सिफर का उपयोग किया जाने लगा। 1970 – 1980 में कॉम्बिनेटरिक्स ने नई सफलताएँ हासिल की हैं। विशेष रूप से, कंप्यूटर की सहायता से, चार रंगों की समस्या को हल किया गया: यह साबित हुआ कि किसी भी मानचित्र को चार रंगों में चित्रित किया जा सकता है ताकि समान सीमा साझा करने वाले कोई भी दो देश एक ही रंग में चित्रित न हों।

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अनुप्रयोग के क्षेत्र वस्तुओं का चयन और एक क्रम या दूसरे क्रम में उनकी व्यवस्था को मानव गतिविधि के लगभग सभी क्षेत्रों में निपटाया जाना है, उदाहरण के लिए: एक रसायनज्ञ एक दिए गए परमाणु संरचना वाले कार्बनिक अणुओं की संरचना का अध्ययन कर रहा है। एक कृषिविज्ञानी कई क्षेत्रों में फसलों के वितरण की योजना बना रहा है, एक डिज़ाइनर एक तंत्र का नया मॉडल विकसित कर रहा है

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टास्क नंबर 1 कई देशों के राष्ट्रीय झंडों में अलग-अलग रंगों की क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर धारियां होती हैं। कितने अलग-अलग झंडे हैं, जिनमें समान चौड़ाई और अलग-अलग रंगों की दो क्षैतिज पट्टियाँ हैं - सफेद, लाल और नीला? समाधान: मान लीजिए कि झंडे की सबसे ऊपरी पट्टी सफेद है (बी)। फिर नीचे की पट्टी लाल (K) या नीली (C) हो सकती है। हमें दो संयोजन प्राप्त हुए - दो ध्वज विकल्प। यदि झंडे की ऊपरी पट्टी लाल है, तो निचली पट्टी सफेद या नीली हो सकती है। हमें दो और ध्वज विकल्प मिलते हैं। अंत में, ऊपरी पट्टी को नीला होने दें, फिर नीचे वाली पट्टी को सफेद या लाल रंग में बदल दें। ये दो और ध्वज विकल्प हैं। कुल मिलाकर हमें 3 2 = 6 संयोजन मिले - छह ध्वज विकल्प।

स्लाइड 9

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समस्या क्रमांक 2 संख्या 1, 3, 5, 7 से तीन अंकों की कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती हैं? संख्याओं को लिखने में उनमें से प्रत्येक का एक से अधिक बार उपयोग न करें। समाधान: इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए ऐसी सभी संख्याओं को लिखें। मान लीजिए कि संख्या 1 पहले स्थान पर है। संख्या 3, 5, 7 में से कोई भी संख्या दूसरे स्थान पर लिखी जा सकती है। उदाहरण के लिए, संख्या 3 को हम दूसरे स्थान पर लिख सकते हैं। फिर हम 5 या 7 को मान सकते हैं तीसरा अंक। यदि आप दूसरे स्थान पर संख्या 5 लिखते हैं, तो आप संख्या 3 या 7 को तीसरे अंक के रूप में ले सकते हैं। इस स्थिति में, हमें संख्याएँ 153 और 157 मिलती हैं। अंत में, आप संख्या 7 को दूसरे स्थान पर लिखते हैं, आपको संख्याएँ 173 और 175 मिलती हैं। इसलिए, हमने संख्या 1 से शुरू होने वाली सभी संख्याओं को संकलित किया है। ऐसी छह संख्याएँ हैं: 135, 137, 153, 157, 173 , 175. इसी तरह, हम उन संख्याओं की रचना कर सकते हैं जो संख्या 2 से शुरू होती हैं, संख्या 5 से, संख्या 7 से। हम प्राप्त परिणामों को चार पंक्तियों में लिखेंगे, प्रत्येक में छह संख्याएँ होंगी: 135, 137, 153, 157, 173, 175, 315, 317, 351, 357, 371, 375, 513, 517, 531, 537, 571, 573, 713, 715 , 731, 735, 751, 753, इस प्रकार, संख्या 1 से , 3, 5, 7 (संख्याओं को दोहराए बिना) आप 24 तीन अंकों की संख्याएँ बना सकते हैं।

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संभावित विकल्पों का वृक्ष 1 5 7 3 1 3 3 7 5 7 1 5 7 1 3 7 1 3 5 7 5 3 5 7 1 7 1 5 3 7 1 7 1 3 3 1 5 1 5 3 कुल 24 विकल्प कुल 24 विकल्प

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समस्या संख्या 3 शहर A से शहर B तक दो सड़कें हैं, शहर B से शहर C तक तीन सड़कें हैं, और शहर C से घाट तक दो सड़कें हैं। पर्यटक शहर A से शहर B और C होते हुए घाट तक यात्रा करना चाहते हैं। वे कितने तरीकों से एक मार्ग चुन सकते हैं? ए पी सी बी समाधान: पर्यटक ए से बी तक का रास्ता दो तरह से चुन सकते हैं। फिर प्रत्येक स्थिति में वे तीन तरीकों से B से C तक यात्रा कर सकते हैं। इसका मतलब है कि ए से सी तक 2 3 मार्ग विकल्प हैं। चूंकि शहर सी से घाट तक जाने के दो रास्ते हैं, इसलिए कुल मिलाकर 2 3 2 हैं, यानी। पर्यटकों के लिए शहर ए से घाट तक का मार्ग चुनने के 12 तरीके।

कॉम्बिनेटरिक्स के तत्व 9 -11 ग्रेड,एमबीओयू कोचनेव्स्काया माध्यमिक विद्यालय के शिक्षक ग्राज़्नोवा ए.के.मुख्य प्रश्न:

      • कॉम्बिनेटरिक्स क्या है?
        • किन समस्याओं को संयोजक माना जाता है?
      • पुनर्व्यवस्था
      • प्लेसमेंट
      • युग्म
आइए बहस न करें - आइए गणना करें।
  • जी लीबनिट्ज़साहचर्य
- गणित की एक शाखा जो कुछ नियमों के अनुसार बने संयोजनों की संख्या गिनने की समस्याओं से निपटती है।द्वितीय. किन समस्याओं को संयोजक माना जाता है?
  • जी लीबनिट्ज़– संयोजनात्मक समस्याएँ तत्वों की एक सीमित संख्या से संयोजनों की संख्या गिनने की समस्याएँ लैटिन शब्द सेसंयोजक,
  • जिसका अर्थ है "जोड़ना, जोड़ना।"कॉम्बिनेटरिक्स विधियाँ
  • भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र और ज्ञान के अन्य क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।साहचर्य
सेट सिद्धांत के भाग के रूप में माना जा सकता है - किसी भी संयोजन समस्या को परिमित सेट और उनके मानचित्रण के बारे में समस्या में कम किया जा सकता है। I. संयुक्त समस्याओं को हल करने के स्तर 1.प्रवेश के स्तर पर .. 2. .दिए गए गुणों के साथ वस्तुओं की कम से कम एक व्यवस्था, कम से कम एक समाधान खोजने का कार्य पांच खंडों पर दस बिंदुओं की ऐसी व्यवस्था ढूंढना है, जिसमें प्रत्येक खंड पर चार बिंदु हों;
  • 3. - शतरंज की बिसात पर आठ रानियों की ऐसी व्यवस्था जिसमें वे एक-दूसरे को हराती नहीं हैं।.
    • कभी-कभी यह साबित करना संभव है कि इस समस्या का कोई समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, 9 कलशों में 10 गेंदों को व्यवस्थित करना असंभव है ताकि प्रत्येक कलश में एक से अधिक गेंद न हो - कम से कम एक कलश में कम से कम दो गेंदें होंगी)। 2.दूसरा स्तर . यदि किसी संयुक्त समस्या के कई समाधान हैं, तो ऐसे समाधानों की संख्या गिनने और इस समस्या के सभी समाधानों का वर्णन करने का प्रश्न उठता है।

चित्र में. इन शहरों को जोड़ने वाले मार्गों का एक आरेख दिखाता है। अलग-अलग यात्रा विकल्प एक-दूसरे से उस क्रम में भिन्न होते हैं जिसमें वे शहर बी, सी और डी का दौरा करते हैं। यात्रा के छह विकल्प हैं। तालिका प्रत्येक पथ के विकल्प और लंबाई दिखाती है:

  • संयुक्त अनुकूलन समस्याओं को किसी कार्य को जल्द से जल्द पूरा करने का प्रयास करने वाले एक फोरमैन, दिए गए क्षेत्रों में उच्चतम उपज के लिए प्रयास करने वाले एक कृषिविज्ञानी आदि द्वारा हल किया जाना चाहिए।
हम केवल संयोजनात्मक समस्या के समाधानों की संख्या गिनने की समस्याओं पर विचार करेंगे।
  • हम केवल संयोजनात्मक समस्या के समाधानों की संख्या गिनने की समस्याओं पर विचार करेंगे।
    • कॉम्बिनेटरिक्स की इस शाखा को कहा जाता है गणना सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत से निकटता से संबंधित है।
योग और उत्पाद नियम
  • 1. चार ड्रिंक्स को दो की बराबर मात्रा में मिलाकर कितने अलग-अलग कॉकटेल बनाए जा सकते हैं?
  • एबी, एसी, एडी, बीसी, बीडी, सीडी - कुल 6 कॉकटेल
    • दो अंकों की संख्या का पहला अंक 1, 2, 3 में से एक हो सकता है (अंक 0 पहला नहीं हो सकता)। यदि पहला अंक चुना गया है, तो दूसरा अंक 0, 1, 2, 3 में से कोई भी हो सकता है। क्योंकि प्रत्येक चुना गया पहला दूसरे को चुनने के चार तरीकों से मेल खाता है, फिर कुल मिलाकर 4 + 4 + 4 = 4 3 = 12 अलग-अलग हैं दोहरे अंकों की संख्या.

2. अंक 0, 1, 2, 3 से दो अंकों की कितनी भिन्न संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?

  • 2. अंक 0, 1, 2, 3 से दो अंकों की कितनी भिन्न संख्याएँ बनाई जा सकती हैं?
    • 4 + 4 + 4 = 4 3 = 12 विभिन्न दो अंकों की संख्याएँ।
  • पहला अंक दूसरा अंक
प्रॉडक्ट नियम:
  • यदि तत्वों के एक समूह से तत्व A को n तरीकों से चुना जा सकता है और ऐसे प्रत्येक विकल्प के लिए तत्व B को t तरीकों से चुना जा सकता है, तो दो तत्वों (जोड़ी) A और B को n तरीकों से चुना जा सकता है।
"संयुक्त समस्याओं को हल करने के उदाहरण: विकल्पों की गणना, योग नियम, गुणन नियम।"
  • अंतिम दौड़ में भाग लेने वाले चार प्रतिभागियों को चार ट्रेडमिलों पर कितने तरीकों से रखा जा सकता है?

    • आर एन = 4 3 2 1= 24 तरीके (4 तत्वों का क्रमपरिवर्तन)

2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

1 ट्रैक

द्वितीय. क्रमपरिवर्तन (1) के वी ए आर टी ई टीशरारती बंदर, गधा, बकरी और गदाधारी भालू उन्होंने चौकड़ी बजाना शुरू कर दिया।

…………………………………………….

वे धनुष मारते हैं, वे लड़ते हैं, लेकिन कोई मतलब नहीं है।
  • “रुको भाइयों, रुको! - बंदर चिल्लाया. - इंतज़ार! संगीत कैसा होना चाहिए? आख़िरकार, आप उस तरह नहीं बैठे हैं।" 4·3·2·1 = 4! तौर तरीकोंद्वितीय. क्रमपरिवर्तन (2)
  • से क्रमपरिवर्तन
    • एन·( - तत्व ऐसे संयोजन होते हैं जो केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैंपीएन - क्रमपरिवर्तन की संख्या (पी फ्रेंच शब्द क्रमपरिवर्तन का पहला अक्षर है - क्रमपरिवर्तन) - तत्व ऐसे संयोजन होते हैं जो केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैंआरपी= एन - तत्व ऐसे संयोजन होते हैं जो केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैंएन- - तत्व ऐसे संयोजन होते हैं जो केवल तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं 1)·( 2)·( 3)·(= 2)·(
4). . .·3 ·2 ·1=
  • चार सहयात्रियों ने बिजनेस कार्ड का आदान-प्रदान करने का निर्णय लिया। कुल कितने कार्ड उपयोग किये गये?
    • मुझे 12 कार्ड मिले. चारों सहयात्रियों में से प्रत्येक ने तीनों सहयात्रियों में से प्रत्येक को एक बिजनेस कार्ड दिया 4 3 = 12

से बने संयोजन केतत्वों से लिया गया एनतत्व, और संरचना में या तत्वों की व्यवस्था के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं, कहलाते हैं से प्लेसमेंट एनतत्वों द्वारा के(0< k ≤n ).

से आवास एनतत्वों द्वारा केतत्व. और पहला अक्षर

फ़्रेंच शब्द व्यवस्था: "प्लेसमेंट",

"चीजों को क्रम में रखना"

आवास (2)
  • 4 खाली गेंदें और 3 खाली सेल हैं। आइए गेंदों को अक्षरों से नामित करें ए बी सी डी।इस सेट से तीन गेंदों को अलग-अलग तरीकों से खाली कोशिकाओं में रखा जा सकता है।
  • पहली, दूसरी और तीसरी गेंद अलग-अलग चुनने से हमें अलग-अलग गेंदें मिलेंगी आदेश दियातीन गेंदें
  • प्रत्येक आदेश दियात्रिक जो चार तत्वों से बना हो, कहलाता है प्लेसमेंट चार तत्वों में से प्रत्येक में तीन
आवास (3)
  • 4 तत्वों से कितने स्थान बनाए जा सकते हैं ( ए बी सी डी) तीन?
  • एबीसी एबीडी एसीबी एसीडी एडीबी एडीसी
  • बीएसी खराब बीसीए बीसीडी बीडीए बीडीसी
  • कैब सीएडी सीबीए सीबीडी सीडीए सीडीबी
  • डीएबी डीएसी डीबीए डीबीसी डीसीए डीसीबी

विकल्पों की समीक्षा करने का निर्णय लिया गया

आवास (4)
  • आप स्वयं प्लेसमेंट लिखे बिना इसे हल कर सकते हैं:
  • पहला एक तत्व को चार तरीकों से चुना जा सकता है, इसलिए यह चार में से कोई भी तत्व हो सकता है;
  • प्रत्येक प्रथम के लिए दूसरा तीन तरीकों से चुना जा सकता है;
  • प्रत्येक पहले दो के लिए चुनने के दो तरीके हैं तीसरा शेष दो से तत्व.
    • हम पाते हैं

गुणन नियम का उपयोग करके हल किया गया

युग्म
  • का एक संयोजन 4·3·2·1 = 4! तौर तरीकोंतत्वों द्वारा केक्या कोई सेट बना है केसे चुने गए तत्व 4·3·2·1 = 4! तौर तरीकोंतत्वों

संयोजनों में प्लेसमेंट के विपरीत तत्वों का क्रम कोई मायने नहीं रखता. दो संयोजन कम से कम एक तत्व में एक दूसरे से भिन्न होते हैं

समस्याओं को सुलझा रहा: 1. समतल पर 5 बिंदु अंकित हैं।

यदि आप बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं तो आपको कितने खंड मिलेंगे? 4·3·2·1 = 4! तौर तरीकों 2. वृत्त पर अंकित

अंक. इन बिंदुओं पर शीर्षों वाले कितने त्रिभुज हैं?

 
सामग्री द्वाराविषय:
आलू और पनीर पुलाव
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मेरा पसंदीदा विषय - मेरा पसंदीदा विषय अंग्रेजी में मेरा पसंदीदा पाठ
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हम स्कूल में बहुत सारे विविध और दिलचस्प विषयों का अध्ययन करते हैं। उनमें से कुछ मानविकी हैं, अन्य सटीक विज्ञान हैं। मनुष्य अपनी क्षमताओं में समान नहीं हैं, इसलिए हम विभिन्न चीजों में अच्छे हो सकते हैं। मुझे टेक्निकल ड्राइंग सबसे कठिन स्कूल लगता है