Формула полной вероятности: теория и примеры решения задач. Условная вероятность
Мы уже говорили, что в основе определения вероятности события лежит некоторая совокупность условий. Если никаких ограничений, кроме условий, при вычислении вероятности не налагается, то такие вероятности называются безусловными.
Однако в ряде случаев приходится находить вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое событие В, имеющее не нулевую вероятность, т.е. Данные вероятности мы будем называть условными и обозначать символом; это означает вероятность события А при условии, что событие В произошло.
Пример 1. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 8 (событие A), если известно, что эта сумма есть четное число (событие В)?
Все возможные случаи, которые могут представиться при бросании двух костей, мы запишем в таблице 1.7.1, каждая клетка которой содержит запись возможного события: на первом месте в скобках указывается число очков, выпавших на первой кости, на втором месте -- число очков, выпавших на второй кости.
Общее число возможных случаев -- 36, благоприятствующих событию A -- 5. Таким образом, безусловная вероятность.
Если событие В произошло, то осуществилась одна из 18 (а не 36) возможностей и, следовательно, условная вероятность равна.
Пример 2. Из колоды карт последовательно вынуты две карты. Найти: а) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута вначале), и б) условную вероятность, что вторая карта будет тузом, если первоначально был вынут туз.
Обозначим через A событие, состоящее в появлении туза на втором месте, а через В--событие, состоящее в появлении туза на первом месте. Ясно, что имеет место равенство.
В силу несовместимости событий АВ и АВ имеем:
При вынимании двух карт из колоды в 36 карт могут произойти 36*35 (учитывая порядок!) случаев. Из них благоприятствующих событию АВ -- 4*3 случаев, а событию -- 32 * 4 случаев. Таким образом,
Если первая карта есть туз, то в колоде осталось 35 карт и среди них только три туза. Следовательно, .
Общее решение задачи нахождения условной вероятности для классического определения вероятности не представляет труда. В самом деле, пусть из n единственно возможных, несовместимых и равновероятных событий событию А благоприятствует m событий. Если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из событий, благоприятствующих В. При этом условии событию А благоприятствуют r и только r событий Aj, благоприятствующих АВ. Таким образом,
Точно так же можно вывести, что
Понятно, что
т. е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.
Теорема умножения применима и в том случае, когда одно из событий А или В есть невозможное событие, так как в этом случае вместе с имеют место равенства и.
Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности. В этом легко убедиться, проверив, что она удовлетворяет всем свойствам, сформулированных в предыдущих параграфах. Действительно, первое свойство выполняется очевидным образом, поскольку для каждого события А определена неотрицательная функция. Если, то
Проверка третьего свойства также не составляет труда и мы предоставляем читателю ее осуществление.
Заметим, что вероятностное пространство для условных вероятностей задается следующей тройкой.
Определение 1. Говорят, что событие А независимо от события В, если имеет место равенство т. е. если наступление события В не изменяет вероятности появления события А.
Если событие А независимо от В, то имеет место равенство
Отсюда находим: т. е. событие В также независимо от А. Таким образом, свойство независимости событий взаимно.
Если события А и В независимы, то независимы также события А и. Действительно, так как
Отсюда мы делаем важное заключение: если события А и В независимы, то независимы также каждые два события.
Понятие независимости событий играет значительную роль в теории вероятностей и в ее приложениях. В частности, большая часть результатов, изложенных в настоящем пособии, получена в предположении независимости тех или иных рассматриваемых событий.
Так, например, ясно, что выпадение герба на одной монете не изменяет вероятности появления герба (решки) на другой монете, если только эти монеты во время бросания не связаны между собой (например, жестко не скреплены). Точно так же рождение мальчика у одной матери не изменяет вероятности появления мальчика (девочки) у другой матери. Это -- события независимые.
Для независимых событий теорема умножения принимает особенно простой вид, а именно, если события A и В независимы, то
Мы обобщим теперь понятие независимости двух событий на совокупность нескольких событий.
Определение 2. События называются независимыми в совокупности, если для любого события из их числа и произвольных из их же числа события и взаимно независимы. В силу предыдущего это определение эквивалентно: при любых
Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их по парной независимости. В этом можно убедиться на следующем простом примере.
Пример С.Н. Бернштейна. Представим себе, что грани тетраэдра окрашены: 1-я -- в красный цвет (A), 2-я -- в зеленый (В), третья -- в синий (С) и 4-я -- во все эти три цвета (AВС). Легко видеть, что вероятность выпадения грани, на которую упадет тетраэдр при бросании, и своей окраске иметь красный цвет равна 1/2: граней четыре и две из них имеют в окраске красный цвет.
события A,В,С, таким образом, попарно независимы.
Однако, если нам известно, что осуществились события В и С, то заведомо осуществилось и событие A, т. е. .
Таким образом, события A,В,С в совокупности зависимы. Таким образом, в общем случае при по определению
(В случае условная вероятность остается неопределенной.) Это позволяет нам перенести автоматически на общее понятие вероятности все определения и результаты настоящего параграфа.
Нередко в жизни мы сталкиваемся с тем, что нужно оценить шансы наступления какого-либо события. Стоит ли покупать лотерейный билет или нет, каков будет пол третьего ребенка в семье, будет ли завтра ясная погода или снова пойдет дождь - таких примеров можно привести бесчисленное множество. В самом простом случае следует разделить число благоприятных исходов на общее число событий. Если в лотерее 10 билетов выигрышных, а всего их 50, то шансы получить приз равны 10/50 = 0,2, то есть 20 против 100. А как поступать в том случае, если есть несколько событий, и они тесно связаны между собой? В этом случае нас будет интересовать уже не простая, а условная вероятность. Что это за величина и как ее можно посчитать - об этом как раз и будет рассказано в нашей статье.
Понятие
Условная вероятность - это шансы наступления определенного события при условии, что другое связанное с ним событие уже произошло. Рассмотрим простой пример с бросанием монетки. Если жеребьевки еще не было, то шансы выпадения орла или решки будут одинаковыми. Но если раз пять подряд монетка ложилась гербом вверх, то согласитесь ожидать 6-го, 7-го, а тем более 10-го повторения такого исхода будет нелогично. С каждым повторным разом выпадения орла, шансы появления решки растут и рано или поздно она-таки выпадет.
Формула условной вероятности
Давайте теперь разберемся с тем, как эта величина рассчитывается. Обозначим первое событие через В, а второе через А. Если шансы наступления В отличны от нуля, то тогда будет справедливым следующее равенство:
Р (А|В) = Р (АВ) / Р (В), где:
- Р (А|В) - условная вероятность итога А;
- Р (АВ) - вероятность совместного появления событий А и В;
- Р (В) - вероятность события В.
Слегка преобразовав данное соотношение получим Р (АВ) = Р(А|В) * Р (В). А если применить то можно вывести формулу произведения и использовать ее при произвольном числе событий:
Р (А 1 , А 2 , А 3 ,…А п) = Р (А 1 |А 2 …А п)*Р(А 2 |А 3 …А п) * Р (А 3 |А 4 …А п)… Р (А п-1 |А п) * Р (А п).
Практика
Чтобы было легче разобраться с тем, как рассчитывается условная рассмотрим парочку примеров. Предположим имеется ваза, в которой находятся 8 шоколадных конфет и 7 мятных. По размерам они одинаковы и наугад последовательно вытаскиваются две из них. Какие будут шансы того, что обе из них окажутся шоколадными? Введем обозначения. Пусть итог А означает, что первая конфета шоколадная, итог В - вторая конфета шоколадная. Тогда получится следующее:
Р (А) = Р (В) = 8 / 15,
Р (А|В) = Р (В|А) = 7 / 14 = 1/2,
Р (АВ) = 8 /15 х 1/2 = 4/15 ≈ 0,27
Рассмотрим еще один случай. Предположим, есть двухдетная семья и нам известно, что, по крайней мере, один ребенок является девочкой.
Какова условная вероятность того, что мальчиков у этих родителей пока нет? Как и в предыдущем случае, начнем с обозначений. Пусть Р (В) - вероятность того, что в семье есть хотя бы одна девочка, Р (А|В) - вероятность того, что второй ребенок тоже девочка, Р (АВ) - шансы того, что в семье две девочки. Теперь произведем расчёты. Всего может быть 4 разных комбинаций пола детей и при этом лишь в одном случае (когда в семье два мальчика), девочки среди детей не будет. Поэтому вероятность Р (В) = 3/4, а Р (АВ) = 1/4. Тогда следуя нашей формуле получим:
Р (А|В) = 1/4: 3/4 = 1/3.
Интерпретировать результат можно так: если бы нам не было б известно о поле одного из детей, то шансы двух девочек были бы 25 против 100. Но поскольку мы знаем, что один ребенок девочка, вероятность того, что в семье мальчиков нет, возрастает до одной третьей.
Все теоремы и формулы теории вероятностей и математической статистики выводятся из аксиом теории вероятностей. В этой главе дается определение условной вероятности, доказываются наиболее часто используемые теоремы и формулы, основанные на условных вероятностях. Вводится понятие независимости событий, которое затем используется в схеме последовательных независимых испытаний, а также дается описание марковской схемы с зависимыми испытаниями.
УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
В § 1.1 формула условной вероятности была выведена для классической схемы. В общем случае эта формула служит определением условной вероятности события А при условии, что произошло событие В , Р(В) > 0.
Определение 2.1. Условная вероятность события А при условии В
Определение 2.2. Событие А не зависит от события В, если
Независимость событий взаимна, т.е. если событие А не зависит от В, то и событие В не зависит от А. В самом деле, используя определения 2.1 и 2.2, при Р(А) > 0 имеем:
Из определения 2.1 вытекает следующая формула умножения вероятностей:
Для независимых событий вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:
Определение 2.3.
События А, А
2 ,..., А„
образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и вместе образуют достоверное событие, т.е.
Имеет место следующая теорема полной вероятности.
Теорема 2.1. Если события А и ..., А„, Р(А) > 0 образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть представлена как сумма произведений безусловных вероятностей событий полной группы на условные вероятности события В:
События полной группы А„ ..., А„ попарно несовместны, поэтому попарно несовместны и их произведения (пересечения) с событием В, т.е. события В П А/, В П Л, при i Ф j несовместны. Так как событие В можно представить в виде
то, применив к этому разложению события В
аксиому сложения вероятностей, имеем:
Используя формулу умножения вероятностей (2.1.1) для каждого слагаемого, окончательно получаем:
Требование, состоящее в том, что события Л, образуют полную группу событий, может быть заменено более слабым: события попар-
но не пересекаются, Bcz^A r Кроме того, на основе аксиомы счет-
ной аддитивности теорему полной вероятности можно распространить и на счетное множество попарно непересекающихся событий А,-,
Р(А,)> 0, tfcQ/l, :
Из формулы полной вероятности (2.1.3) легко получить формулу Байеса: для события В с Р(В) > 0 и для системы попарно несовмест-
пых событий А„ Р(Л,) > 0,BczJ А,.,
В самом деле, применив формулы условной вероятности и умножения вероятностей, имеем:
теперь, заменив вероятность события В по формуле полной вероятности, получаем формулу (2.1.5).
Вероятности Р(А,) событий И, называют априорными вероятностями, т.е. вероятностями событий до выполнения опыта, а условные вероятности этих событий Р(А,!В) - апостериорными, т.е. уточненными в результате опыта, исходом которого послужило появление события В.
Пример 2.1. Расчет по формула и полной вероятности и Байеса
На предприятии изготовляются изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 20% изделий от всего объема их производства, на второй - 30%, на третьей - 50%. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 95, 98 и 97%. Требуется определить вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным, а также вероятности того, что это бракованное изделие сделано на первой, второй и третьей линиях.
Решение. Обозначим через А„ Л 2 , А } события, состоящие в том, что наугад взятое изделие произведено соответственно на первой, второй и третьей линиях. Согласно условиям задачи Р(А ,) = 0,2; Р(А 2) = 0,3; Р(А }) = 0,5, и эти события образуют полную группу событий, поскольку они попарно несовместны, т.е. Р(А ,) + Р(Л 2) + Р(Л 3) = 1.
Обозначим через В событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным. Согласно условиям задачи P(B/A t) = = 0,05; Р(В/А 2) = 0,02; Р(В/А 3) = 0,03.
т.е. вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 3,1%.
Априорные вероятности того, что наугад взятое изделие изготовлено на первой, второй или третьей линии, равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5.
Допустим, что в результате опыта наугад взятое изделие оказалось бракованным; определим теперь апостериорные вероятности того, что это изделие изготовлено на первой, второй или третьей линиях. По формуле Байеса имеем:
Таким образом, вероятности того, что наугад взятое и оказавшееся бракованным изделие изготовлено на первой, второй или третьей линии, равны соответственно 0,322; 0,194; 0,484.
Формула умножения вероятностей (2.1.1) может быть распространена на случай произвольного конечного числа событий:
Определение 2.4. События А ь А 2 , ..., А„ независимы в совокупности, если для любого их подмножества
Если это условие выполнено только для к = 2, то события попарно независимы.
Из независимости событий в совокупности вытекает попарная независимость, а из попарной независимости не следует независимость в совокупности.
Формула полной вероятности позволяет найти вероятность события A , которое может наступить только с каждым из n исключающих друг друга событий , образующих полную систему, если известны их вероятности , а условные вероятности события A относительно каждого из событий системы равны .
События также называются гипотезами, они являются исключающими друг друга. Поэтому в литературе можно также встретить их обозначение не буквой B , а буквой H (hypothesis).
Для решения задач с такими условиями необходимо рассмотреть 3, 4, 5 или в общем случае n возможностей наступления события A - с каждым событий .
По теоремам сложения и умножения вероятностей получаем сумму произведений вероятности каждого из событий системы на условную вероятность события A относительно каждого из событий системы. То есть, вероятность события A может быть вычислена по формуле
или в общем виде
,
которая и называется формулой полной вероятности .
Формула полной вероятности: примеры решения задач
Пример 1. Имеются три одинаковых на вид урны: в первой 2 белых шара и 3 чёрных, во второй - 4 белых и один чёрный, в третьей - три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Пользуясь формулой полной вероятности , найти вероятность того, что этот шар будет белым.
Решение. Событие A - появление белого шара. Выдвигаем три гипотезы:
Выбрана первая урна;
Выбрана вторая урна;
Выбрана третья урна.
Условные вероятности события A относительно каждой из гипотез:
,
,
.
Применяем формулу полной вероятности, в результате - требуемая вероятность:
.
Пример 2. На первом заводе из каждых 100 лампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором - 95, на третьем - 85, а продукция этих заводов составляет соответственно 50%, 30% и 20% всех электролампочек, поставляемых в магазины некоторого района. Найти вероятность приобретения стандартной электролампочки.
Решение. Обозначим вероятность приобретения стандартной электролампочки
через A
, а события, заключающиеся в том, что
приобретённая лампочка изготовлена соответственно на первом, втором и третьем заводах,
через .
По условию известны вероятности этих событий: ,
,
и
условные вероятности события A
относительно
каждого из них: 
,
,
.
Это вероятности приобретения стандартной лампочки при условии её изготовления
соответственно на первом, втором, третьем заводах.
Событие A наступит, если произойдут или событие K - лампочка изготовлена на первом заводе и стандартна, или событие L - лампочка изготовлена на втором заводе и стандартна, или событие M - лампочка изготовлена на третьем заводе и стандартна. Других возможностей наступления события A нет. Следовательно, событие A является суммой событий K , L и M , которые являются несовместимыми. Применяя теорему сложения вероятностей, представим вероятность события A в виде
а по теореме умножения вероятностей получим
то есть, частный случай формулы полной вероятности .
Подставив в левую часть формулы значения вероятностей, получаем вероятность события A :
Пример 3. Производится посадка самолёта на аэродром. Если позволяет погода, лётчик сажает самолёт, пользуясь, помимо приборов, ещё и визуальным наблюдением. В этом случае вероятность благополучной посадки равна . Если аэродром затянут низкой облачностью, то лётчик сажает самолёт, ориентируясь только по приборам. В этом случае вероятность благополучной посадки равна ; . Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют надёжность (вероятность безотказной работы) P . При наличии низкой облачности и отказавших приборах слепой посадки вероятность благополучной посадки равна ; . Статистика показывает, что в k % случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью. Найти полную вероятность события A - благополучной посадки самолёта.
Решение. Гипотезы:
Низкой облачности нет;
Низкая облачность есть.
Вероятности этих гипотез (событий):
;
Условная вероятность .
Условную вероятность снова найдём по формуле полной вероятности с гипотезами
Приборы слепой посадки действуют;
Приборы слепой посадки отказали.
Вероятности этих гипотез:
По формуле полной вероятности
Пример 4. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, а ненормальный - в 20% случаев. Вероятность выхода прибора из строя за определённое время t равна 0,1; в ненормальном 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя за время t .
Решение. Вновь обозначаем вероятность выхода прибора из строя
через A
.
Итак, относительно работы прибора в каждом режиме (события )
по условию известны вероятности: для нормального режима это 80% (),
для ненормального - 20% (). Вероятность события
A
(то есть, выхода прибора из строя) в зависимости от первого события (нормального режима)
равна 0,1 ();
в зависимости от второго события (ненормального режима) - 0,7 (
). Подставляем эти значения в формулу полной вероятности
(то есть, сумму произведений вероятности каждого из событий системы на условную вероятность события A
относительно
каждого из событий системы) и перед нами - требуемый результат.
Лекция 4
Принцип практической невозможности маловероятных событий
Если случайное событие имеет очень маленькую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит. Все зависит от конкретной задачи. Если вероятность нераскрытия парашюта 0,01, то такой парашют применять нельзя. Если электричка опоздает с вероятностью 0,01 то можно быть уверенным что она прибудет вовремя.
Достаточно малую вероятность, при которой в данной задаче событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости от 0,01 до 0,05.
Если случайное событие имеет вероятность очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.
Условная вероятность
Произведением двух событий A и B называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если A - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событ ий. Например, если A , B , C - появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC - выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти.
Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной ; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.
Например, часто вычисляют вероятность события B при дополнительном условии, что произошло событие A . Безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.
Условной вероятностью Р A (В) или называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило
Условная вероятность вычисляется по формуле
Эту формулу можно доказать исходя из классического определения вероятности.
Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А ).
Решение . После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность Р А (В ) = 3/5.
Этот же результат можно получить по формуле
Р A (В ) =P (АВ )/P (А) (P (А ) > 0).
Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
P (A ) = 3/6 =1/2.
Найдем вероятность P (АВ ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором - белый по формуле (3.1). Общее число исходов - совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений = 6 5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 3=9 исходов. Следовательно, P (АВ ) =9/30 = 3/10.
Условная вероятность P А (В ) =P (АВ )/Р (А ) = (3/10)/(1/2) = 3/5. Получен прежний результат.
